Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 33)

Что такое касание в терминах геометрии? Касание прямой и окружности в терминах школьной геометрии означает, что прямая и (полная) окружность пересекаются в одной точке. Имеют одну общую точку. Как же это можно доказать? Сейчас я вам покажу такое доказательство, что у вас от него пойдут по коже мурашки. Но, во-первых, на экзамене я его не дал; а во-вторых, надо сделать предварительные пояснения, что такое «проективные преобразования» (не входящие в общеобразовательный курс обычной средней школы). Ну и, кстати, это же обоснование можно было сделать обычным «методом Декарта» (то есть, рассмотрев некоторую систему прямоугольных координат). Правда, при этом останется «за кормой» истинная красота решения этой задачи.

Врезка 10. Проективная геометрия — новый мир математики

Что такое «проекция», знают многие. Это — тень, которая отбрасывается на плоскость предметом, освещаемым точечным источником света — либо находящимся недалеко (и тогда лучи света, исходящие из него, расходятся), либо лежащим на бесконечном расстоянии (тогда лучи света параллельны). Пример для первого случая — свет небольшой настольной лампы. Для второго — солнечный свет. Однако тень от непрозрачного предмета может привести к заблуждению. Например, можно изготовить такой предмет, от которого тень, отбрасываемая вдоль оси X, имеет форму квадрата, вдоль оси Y — форму круга, а вдоль оси Z — равнобедренного треугольника. Чтобы изготовить такой предмет, возьмите деревянный цилиндр (с высотой, равной диаметру) и аккуратно стешите топором с двух сторон дерево так, чтобы снизу остался круг, а сверху он превратился бы в отрезок, по длине равный диаметру круга. Поэтому при практическом применении проективной геометрии возникает проблема, как рисовать пунктирные линии, чтобы лучше понять структуру изучаемого предмета и в то же время не сильно загромоздить чертеж этими линиями.

Когда математики попытались дать себе более ясное представление о том, что же такое есть «проекция», они ужаснулись. Оказалось, что тенью от окружности может служить не окружность, а эллипс («сплющенная окружность») и даже просто отрезок. И длина этого отрезка может быть больше диаметра окружности. Но это были еще только цветочки. Оказалось, что проекцией эллипса может оказаться… бесконечная кривая, называемая «ветвь гиперболы». Таким образом, понятие проекции неизбежно включало в себя бесконечно удаленные точки (и они спокойно могли переходить в обычные точки, и наоборот). Но тогда возник вопрос — в каком же «мире» мы изучаем проективную геометрию: на прямой, на плоскости, в пространстве? Ответ: не на прямой, а на проективной прямой. Она получается из обычной прямой добавлением одной новой точки: бесконечно удаленной. Казалось бы, от этого добавления прямая оказалась «еще более бесконечной» (ведь она была бесконечной и без добавления новой точки). Но, как выяснили топологи, полученный объект по своим свойствам совпадает с обычной окружностью. А ведь ее мы не считаем бесконечной!

Второй вопрос: а как теперь быть с плоскостью? ОТВЕТ: не с плоскостью, а с проективной плоскостью. Она получается из обычной плоскости «подклеиванием» к ней «бесконечно удаленной прямой», составленной из различных бесконечно удаленных точек. Так она, наверное, бесконечная? Нет, не бесконечная. Но очень необычная. Гуляя по проективной плоскости, можно совершенно незаметно перейти с одной стороны плоскости на другую. Точнее говоря, на ней НЕТ «одной» и «другой стороны» — сторона у нее только одна. Подумайте над этим! Допустим, гуляли по этой плоскости два совершенно одинаковых близнеца: Alexey Savvateev и Алексей Савватеев. Кто-то из них остался стоять на месте, а другой тем временем быстро пробежался по проективной плоскости и оказался с другой стороны — как раз под первым из близнецов. Представляете, как они жестоко поспорили — кто из них стоит нормально, а кто — вниз головой? ПОДСКАЗКА. Раз они живут на этой плоскости, то их рост (как и толщина проективной плоскости) равен 0 см.

Насчет проективного пространства. Вы уже догадались, что для его получения надо к обычному пространству «подклеить» бесконечно удаленную плоскость, состоящую из бесконечно удаленных точек. Во всех случаях при проективном преобразовании вновь добавленные точки могут спокойно переходить в старые точки, и наоборот. Они никак не отличаются друг от друга. Вы скажете: «Такого не может быть, потому что не может быть никогда! Как же можно одну перепутать с другой? Ведь прежние точки были близким к нам, а эта связана с бесконечностью, то есть очень далекая».

Так вот. В проективной геометрии НЕТ таких понятий, как «близкий» и «далекий». Ее выдумали для других целей. Так что все точки (в пределах понятий этой науки) одинаковы. Зато в ней есть свои важные понятия: прямая, плоскость, точка, двойное отношение и многое другое. Например, есть такое понятие, как КОНИКА. Что это за зверь? Это не один зверь, а сразу три — в нашей обычной геометрии они назывались «эллипс», «гипербола» и «парабола». А в этой геометрии они НЕРАЗЛИЧИМЫ.

И в заключение полезно сообщить важную информацию и важную теорему.

Информация. При проективном отображении одной проективной плоскости на другую проективную плоскость любые три точки, лежавшие на одной прямой, превратятся в три точки, ТОЖЕ лежащие на одной прямой.

Теорема. Для любых двух четверок точек А, В, С, D и М, N, Р, Q (в каждой из четверок любые три точки не лежат на одной прямой) существует ровно одно проективное преобразование ƒ, для которого ƒ(A) = М, ƒ(B) = N, ƒ(C) = Р, ƒ(D) = Q.

А теперь как НАДО было решать эту задачу (построить касательную из точки к окружности одной линейкой, см. рис. 121).

Прежде всего, мы выходим из плоскости в пространство. Выбираем там еще одну плоскость. Я проецирую на нее мою картинку (рис. 123) из некоторой точки А. Причем точка А и новая плоскость расположены так, что прямая АО и эта плоскость параллельны. (О — это точка, в которой пересекаются три произвольно проведенные мною прямые, а также касательная, пока еще мною не построенная.)

Рис. 123. Исходная картинка с гипотетическим построением касательной расположена в «левой» плоскости. Точка пересечения всех прямых на ней обозначена за «О». Точка А еще левее. Прямая АО параллельна правой плоскости, и в ней мы видим ту самую картинку, которая всё и объясняет.

Моя точка О уйдет на бесконечность, так как ей не найдется места на новой плоскости (для того мы и брали прямую АО параллельной новой плоскости), окружность превратится в эллипс, а все прямые, проходившие через точку О — в параллельные прямые. Их точка пересечения ушла на бесконечность, прямые не пересекаются, а значит, в геометрии Евклида они параллельны. (Мне, конечно, не могли дать эту задачу на школьном экзамене в рамках неевклидовой геометрии.)

А теперь смотрите, как все просто. Наша окружность с прямыми перешла в следующую конструкцию (рис. 124). На ней пучок параллельных прямых сечет эллипс. Требуется построить прямую того же пучка, касательную к эллипсу. Очевидно (и подробно обосновано в пояснении к рисунку), что построение, аналогичное сделанному мной, решает данную задачу.

Рис. 124. На новой плоскости картина проясняется. Все пять прямых (здесь я провел обе касательные) теперь пересекаются в бесконечно удаленной точке (то есть, по-школьному, не пересекаются). Окружность превратилась в эллипс (а могла бы превратиться и в параболу; но нам этого не нужно). Точки касания находятся в самой верхней и в самой нижней точке эллипса. «Кресты» на этом рисунке стали симметричными, поэтому ясно, что их центральные точки, а также точки касания лежат на одной прямой. Значит, и прообразы этих точек лежали на одной прямой. Это и есть обоснование того метода решения, который я использовал в этой задаче.

Но свойство касания сохраняется при проектировании: раз прямая с эллипсом имеет одну точку пересечения, значит, на прообразе (то есть, на исходной плоскости) тоже должна быть одна общая точка. Следовательно, это точка касания. Теорема доказана.

Надо только выйти в пространство. Проектируете, превращаете в параллельный поток, и всё очевидно.

Почему же я не придумал в школе такое простое решение? Дело в том, что в 11 классе, в котором изучались проективные преобразования (а это — проективное преобразование), наша учительница литературы Зоя Александровна Блюмина решила набрать гуманитарный класс. Чем отличается гуманитарный класс от математического класса? Конечно же, количеством девушек. Понятно, что вся математика для 11 класса была отменена явочным порядком! Все бегали к гуманитарному классу, поболтать. Я всю проективную геометрию прогулял.

Давайте немножко разбавим проективную геометрию. В математике есть некоторое количество неожиданно прикольных задач! Они просто падают с неба. Я помню одну задачу, которую мне дали на олимпиаде в 7 классе. Задача про ученика, который сбежал с урока и плавает в круглом бассейне. Учитель его обнаружил в бассейне, подходит к границе бассейна с розгами в руках и говорит: «Я тебе сейчас всыплю. Сейчас ты только выйдешь из бассейна, и я тебе всыплю». А ученик отвечает: «Нет, Вы же не умеете по земле бегать быстрее меня. По земле я от Вас убегу». — «Конечно, ты от меня убежишь, но ты же где-то должен высадиться из воды на землю, правильно? Вот там-то я тебя и схвачу за шиворот и выпорю розгами». — «Ну да, если Вы сможете меня перехватить в момент, когда я буду вылезать из бассейна, то да. Я вылезу в таком месте, где Вас не будет». — «Нет, ничего у тебя не выйдет». — «Нет, выйдет».