Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 22)

m и (m + 1) — два соседних числа. Значит, одно из них точно четное, а значит, делится на 2. Значит m(m + 1)/2 — произведение двух целых чисел. Четное поделится на 2, а нечетное не поделится. Важно так же, что у соседних чисел не может быть общих делителей.

15 делится на 3, 16 нет. На 3 делится каждое третье число.

16 делится на 2 и на 4, но на 3 не делится.

Слушатель: А единица?

А.С.: Да. Единица. Но единицу мы за делитель не считаем, на нее всё делится. Еще пример. 28 делится на 7. Следующее число, которое делится на 7 — 35, а предыдущее — 21. Значит 27 на 7 не делится. То есть m и (m + 1) точно не имеют общих делителей.

В другой части нашего уравнения написан квадрат: n².

Его можно разложить на простые множители. И каждый такой множитель будет входить в разложение n² в четной степени. Например, если n делится на 5, то n² делится на 5².

Значит, чтобы выполнялось наше равенство, m(m + 1)/2 тоже должно делиться на 5². То есть на 25. Но m и (m + 1) не имеют общих делителей, значит одно из них делится сразу на 5².

И это будет верно для каждого простого делителя числа п. Иными словами наше равенство возможно, только если каждый из m и (m + 1) является квадратом[20].

Я, между прочим, в этой лекции обошел одну тонкость, которая называется основная теорема арифметики. В школе ее тоже обходят. Звучит она так: любое число однозначным образом раскладывается на простые множители. Школьников обманывают, говорят: «Ну, это очевидно». Действительно очевидно — если вы посидите, как я, и пораскладываете все числа от одного до 1000 на множители, то вы, конечно, убедитесь в этом. Но к абсолютному доказательству такая очевидность отношения не имеет.

Если же поверить в эту теорему, то получается следующее. Если n делится, скажем, на 11, то n² делится на 11², на 121. Значит, и m(m+1) делится на 11². Но 11 не может входить и в m, и в (m+1). Либо m делится на 11 в квадрате, либо (m + 1) делится на 11 в квадрате.

Эта важная истина говорит о том, что если m(m + 1)/2 = n², то либо m = а² и (m + 1)/2 = b² в случае если m — нечетное, а (m + 1) — четное, либо наоборот m + 1 = b² и m/2 = а² (если наоборот).

Отсюда уже один шаг до уравнения Пелля x² − 2у² = 1.

В первом случае получаем:

m = а² и (m + 1)/2 = b²  ⇒ m + 1 = 2b²,

а так как m и m + 1 соседние числа, то а² − 2b² = − 1.

Во втором случае получаем:

m + 1 = b² и m/2 = а² ⇒ m = 2а² ⇒ b² − 2а² = 1.

Оба раза мы пришли к уравнению Пелля x² − 2у² = ±1.

То есть, решая это уравнение, мы будем получать квадратно-треугольные числа.

Ребенок, который играет в эти кружочки и хочет составить одновременно квадратное и треугольное число, вынужден решать уравнение Пелля.

Давайте посмотрим. Какие у нас были решения? 41 и 29.

41² − 2 · 29² = −1.

Следовательно

(m + 1)/2 = 29², m = 41², n² = 29²41², n = 1189.

Кто бы мог подумать, что когда-нибудь мальчик выложит такой треугольник. В нём должна быть 1681 строка. Представляете, какую площадь займет этот треугольник!

Но я всё ухожу от ответа про (√2 + 1)², хотя и обещал его вам. Итак. Почему же, независимо от степени, у нас всегда получалось решение уравнения

x² − 2у² = 1?

Возвожу, например, в 4-ю степень. (На самом деле, можно возвести в любую.)

Это классический бином Ньютона. Чтобы раскрыть все эти скобки, нам нужно каждый раз из каждой скобки взять либо √2, либо 1. Представьте себе, какие из этих операций дадут целое число, а какие будут давать число с корнем из двух. Во-первых, целое получается, если я отовсюду взял единичку. С другой стороны, если я из 2 скобок взял корень из двух, а из 2 единичку, тоже будет целое. Если я из 4 скобок возьму √2 — тоже целое. А вот если из 3 скобок взять или из одной, то получится число с корнем. И после того, как я сложу, у меня получится выражение вида m + n√2.

В m сидят все способы раскрытия скобки, где я беру с корнем четное число скобок, а все остальные разы единичку. А в n — все, в которых я взял с корнем нечетное количество скобок, а из остальных — единичку.

А теперь посмотрим на скобку с минусом. Получится то же самое, за одним исключением. Когда я возьму √2 нечетное число раз, у меня получится число с минусом. Таким образом, при перемножении получается знак минус ровно у тех слагаемых, которые кратны √2. Поэтому после того, как мы всё сложим, у нас получится m − n√2

А теперь давайте перемножим две наши строчки.

(m + n√2)(m − n√2) = m² − 2n².

Напоминает Уравнение Пелля, не правда ли?

Наконец, перемножим правые стороны уравнений. Я не зря вам тут про Гаусса рассказывал. От перестановки множителей ведь ничего не меняется. Поэтому я могу в моем произведении перемножать скобки в любом порядке. Перемножу их по столбцам:

Ну и тогда у нас получается после перемножения по столбцам

в ответе (−1)(−1)(−1)(−1).

А что получится, если (−1) умножается на себя много раз? 1 или (−1). То есть, когда мы будем возводить (1 + √2) в четную степень, будет (+1), а в нечетную (−1).

Но с другой стороны уравнения у нас стояло m²−2n². Получаем m² − 2n² = ±1.

То есть мы доказали, что в любой степени (1 + √2)ⁿ порождает решение нашего уравнения Пелля.

Теперь несколько вопросов до следующей лекции.

1. Вы залезли на вершину Хибинских гор. Высота их примерно 1 км. И посмотрели вдаль. А там — дома. Вам померещилось, или это Мурманск? Могли ли вы увидеть Мурманск? На сколько километров вдаль можно увидеть с километровой горы? Обратите внимание, земля круглая, поэтому сильно далеко не увидишь. На сколько километров видно с Эвереста? С 20-этажного дома? Если кто-нибудь, например, говорит: «Я тут пролетал из Тбилиси в Дели и Москву на горизонте видел». Он врет или возможно такое? Это задача, которая возникает, когда вы идете в горы.

2. Вы стали астрономом. И наблюдали за звездами. Наблюдали, живя в городе Москве, а потом по семейным обстоятельствам перебрались в Санкт-Петербург. Вы обнаружили какие-нибудь новые звезды, которые из Москвы не видно? Как устроены между собой два множества звезд этих двух городов? (Множество звезд, которые видны из Петербурга, и множество звезд, которые видны из Москвы.) Случилось солнечное затмение. Летним днем в Москве стали видны звезды, которые никогда не видны летним днем в Москве. Это новые звезды, например, «Южный крест», или это те звезды, которые вы уже видели над Москвой?

3. Вы идете на лыжах 22 марта. Начинает темнеть, и вы вспоминаете, что 22 декабря, когда вы шли на лыжах, и солнце зашло за горизонт, вы успели добежать до деревни Морозки до полной темноты. Вы идете в том же самом месте. Успеете ли вы добежать до деревни Морозки или нет? Тот же вопрос про 22 июня и 22 сентября (но уже вряд ли на лыжах). Когда быстрее всего наступает темнота после захода солнца, когда медленнее?

4. Вы подошли с вашей маленькой двухлетней дочкой к детской площадке. И обнаружили там некоторое количество качелей разного вида.

Картинка: качели, рассчитанные на двоих детей. Одни с ручкой для рук (см. рис. 83), другие с ручкой для ног (см. рис. 84). А также совсем простые качели в виде обычной доски (см. рис. 85).

Рис. 83. Качели с ручками для рук.

Рис. 84. Качели с ручками для ног.

Рис. 85. Качели без ручек — в виде обычной доски.

Какие качели в порядке (то есть в горизонтальном состоянии), а какие качели вы увидели, скорее всего, в перекошенном состоянии? Как это зависит от расположения спинки?

Вы опять пришли и увидели, что качели устроены как абсолютно плоская доска. Просто обтесанное с двух сторон бревно, и больше ничего. Но одни качели в положении равновесия висят, вторые всё время скатываются набок. Почему?

5. Алиса летит сквозь Землю. Помните сюжет книги Л. Кэррола «Алиса в стране чудес»?

Алиса летит сквозь Землю и думает, что она к антиподам прилетит. В самом центре Земли выбегает гномик и дает ей пинок так, что увеличивает скорость ее полета на 1 метр в секунду. Вопрос: на какое расстояние она вылетит из Земли вверх благодаря этому дополнительному метру в секунду?

6. В лиге чемпионов в группе 4 команды. Они играют каждая с каждой. Причем каждая с каждой играет и у себя, и в гостях. То есть в каждой группе между каждой парой команд произойдет ровно 2 матча. В случае ничьей каждой команде дают 1 очко. Тот, кто победил, получает 3 очка. Проигравший — ноль очков. А теперь — внимание! С каким минимальным количеством очков еще можно попасть в следующий раунд? В следующий раунд попадают 2 команды из 4. Вы должны привести конкретный расклад. Кто с кем играл, какие баллы получил. И доказать, что с меньшим числом очков «выйти из группы нельзя».

7. Каково максимально возможное количество родных прапрабабушек?

Обсуждение ответов — на лекции 5.

Лекция 5

От непонятного к неизвестному: Дикий Запад царицы наук

А.С.: Сначала обсудим задачи, заданные на дом в конце лекции 4. Они не являются обязательными и ничего не проверяют (в отличие от ЕГЭ). Просто они показывают особенности математического подхода в различных жизненных ситуациях. Всего задач было семь: 1) Обзор окрестностей с вершины горы; 2) Наблюдение московских звезд во время затмения; 3) Скорость наступления темноты в различные дни года; 4) Странное поведение детских качелей; 5) Полет девочки Алисы к антиподам; 6) Математика футбольного чемпионата; 7) А сколько у человека прапрабабушек?