Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 23)

Все разобрались, сколько у «среднего человека» прапрабабушек? (Несредним человеком будем называть такого, у которого две прапрабабушки (или два прадедушки) совпадают в одном лице. Всякое бывает. Например, изучение росписи русских дворянских родов приводит к выводу, что у А. С. Пушкина и Н. А. Романова (то бишь Николая I) были общие предки.)

Рис. 86. «Дерево» бабушек и прабабушек.

С каждым коленом удваивается количество как дедушек, так и бабушек (см. рис. 86). Папа один, мама одна, дедушек два, бабушек две, прадедушек уже четыре, и прабабушек тоже четыре, ну, а прапрабабушек, соответственно, получается восемь.

Теперь разберем задачу про футбол (рис. 87).

С каким минимальным количеством баллов можно выйти из группы в следующий раунд? Ниже приведен пример, когда это количество равно четырем (рис. 87, справа).

Рис. 87. Слева: Матчи команд самих с собой не имеют смысла. Справа: финальные счета в матчах, где А всех победил, в то время как прочие игры сыграны вничью.

Итак. «А» выигрывает все игры. Все остальные матчи сыграны вничью. (Напомним, что за победу дается 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0.)

Получается, что выходит из группы в следующий раунд лучшая команда «А» и еще одна из команд с 4 баллами. Я не знаю, было ли такое в лиге чемпионов, но с 6 баллами точно выходили.

Встает другой вопрос. Как доказать, что с 3 баллами выйти нельзя! Конечно, можно было бы перебрать все З¹² вариантов розыгрышей матчей (ибо имеется 12 незаполненных мест, и на каждом месте может быть 3 различных исхода). Но хотелось бы этого избежать. Давайте попробуем формально рассуждать. Как мы будем это делать? От противного. Предположим, что какая-то команда вышла с 3 баллами. Какие в этом случае количества баллов могут быть у всех команд? Вышеуказанный вариант для команд А, В, С, D был 18, 4, 4, 4. Если какая-то команда вышла в следующий раунд с 3 баллами, значит, как минимум у двух команд должно быть тоже не больше 3 баллов. Потому что иначе наша команда не вышла бы из группы. Раз она вышла, следовательно, у двух других команд баллов меньше или равно 3.

Вопрос: сколько баллов у команды, которая больше всех набрала?

В каждом матче разыгрывается суммарно или 2, или 3 балла (ничья дает 1 + 1, победа дает 3 + 0). Поэтому за все матчи все команды могут набрать минимум 2 · 12 = 24 балла, если все сыграли вничью, максимум — 3 · 12 = 36, если каждый матч был выигран.

В нашей ситуации три команды набрали не более, чем по 3 балла, в сумме 9, значит у четвертой команды не меньше 21 − 9 = 15 баллов.

Значит, она выиграла почти все матчи.

Давайте уточним, как команда могла набрать 3 балла. Она либо три раза сыграла вничью, либо один раз выиграла. Больше способов нет. Одна победа и 5 проигрышей, либо 3 ничьих и 3 проигрыша. Обозначим это так:

Вариант 1. + − − − − −

либо

Вариант 2. 0 0 0 − − −

Слушатель: Это значит, что 18 очков в розыгрыше.

А.С.: Рассмотрим вариант 1. В 6 матчах было разыграно 18 очков, значит, в оставшихся 6 матчах будет не менее 12 баллов, так как в каждом матче разыгрывается не менее 2 баллов. Значит, в сумме получается не меньше 30 баллов. Значит, у четвертой команды не менее 30−9 = 21, чего быть не может, так как максимальный результат любой команды равен 18, то есть все выигранные матчи.

Итак, вариант с одним выигрышем отпадает. Рассмотрим другой вариант: три ничьи.

Вариант 2. Четвертая команда набрала не меньше 15 баллов (минимальное количество 24, три команды набрали в сумме 9, получаем 21 − 9 = 15). Значит, она одержала минимум 5 побед. (Меньше не может быть, так как всего 6 матчей. Даже если 4 победы и 2 ничьи, получится 4 · 3 + 2 < 15).

Получается минимум, который команды могли набрать вместе: не 24, а 29 (ибо пять матчей с победами принесли 15 очков, а остальные 7 матчей — не меньше 14 очков). Значит у четвертой команды минимум 29 − 9 = 20 баллов. 20 > 18, где 18 — максимально возможное количество баллов. Противоречие.

Другой вопрос, так сказать, «обратный» к первому. С каким максимальным количеством очков можно не выйти из группы в следующий раунд?

Слушатель: 12.

А.С.: Да. И как должна быть устроена таблица? Одна команда (скажем, команда D) всем проиграла — 0 очков. Остальные 3 команды выигрывали по кругу: А у В, В у С, С у А. Тогда у трех команд будет по 12 очков. И одна из них должна будет покинуть чемпионат.

Почему нельзя не выйти в следующий этап с 13 очками? Предположим, что вы набрали 13 или больше очков, почему вы точно знаете, что вы вышли в следующий этап?

Подсказка. Если бы кто-то с 13 баллами не вышел, то две команды, которые вышли, имели бы не меньше, чем 13.

Теперь поговорим о том, с какой горы на сколько километров видно.

Я залез на Хибинские горы, могу ли я видеть Мурманск, который находится на расстоянии 100 км от гор? Ответ: на самом горизонте — смогу (если сопки около Мурманска не помешают).

Сейчас мы получим точную формулу для максимальной видимости.

Уже первые шаги вверх от земли сразу дают очень большую видимость.

С поверхности ничего не видно. Ноль, он и есть ноль. Горизонт стянулся в точку. Чуть-чуть выше нуля поднялись, на 10 сантиметров, и сразу видно примерно на километр (это если Земля — идеальный шар). Обозначим высоту горы за h. Расстояние до центра земли обозначим за R и 6400 км. Эта числовая величина нам также пригодится, когда мы будем решать задачу про Алису.

Посмотрим на рис. 88. Я хочу знать, чему равно L, то есть на сколько километров видно? Здесь есть одна тонкость.

Рис. 88. Земля в разрезе. Расстояние от центра до вершины горы R + h, расстояние от центра до точки касания R. Через L обозначено расстояние от вершины до точки касания.

Вдали будет горизонт. А вот если с другой стороны (за горизонтом) имеется такая же гора высоты h, то ее видно вдвое дальше. А если там гора высоты h/2 то всё равно гораздо дальше, чем просто до горизонта (рис. 89).

Рис. 89. «Взгляд за горизонт».

Один раз при мне на Байкале видный ученый совершил детскую ошибку. Он сказал: «Мы никак не можем видеть горы, которые находятся в районе Улан-Удэ. Не можем, потому что…» — и дальше привел вычисления по формуле, которую мы сейчас выведем. Я говорю: «Ты не учитываешь, что мы сами сейчас не на Байкале, а на сильном возвышении». — «О…». — говорит: «Конечно, это всё удваивает». На Байкале очень здорово наблюдать, что Земля круглая. Племена, которые жили на Байкале, наверняка издавна знали, что Земля круглая.

Помните теорему Пифагора? У нас образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой R + h и катетами R и L. Значит,

(R + h)² = R² + L².

 Теперь раскроем скобки:

R² + 2Rh + h² = R² + L².

Страшная величина (квадрат радиуса Земли) сокращается, и остается:

L² = h² + 2Rh.

Здесь нужно быть не только математиком, но и физиком — для того, чтобы сказать, что h², в общем-то, равно нулю.

Потому что по сравнению с двойным радиусом земли h² очень маленькое число. Это вещи несопоставимые, в том смысле, что первая подавляюще больше, чем вторая. Поэтому, чтобы без лишних усилий оценить, на сколько километров видно, достаточно положить h² = 0 и написать:

 L = √(2Rh).

Что здесь важно понимать? Что 2R величина постоянная, корень из нее равен 113. А если совсем грубо то просто 100.

Есть такая оценочная формула:

L = 100√h

√h — эта функция, которая сначала очень быстро возрастает, а после отхода от нуля увеличивается медленно (см. рис. 90).

Рис. 90. «О! Уже хорошо видно! А наших лыж что-то не видно…»

Чуть-чуть h отлично от нуля, прямо самую малость, а корень уже очень большой. Поэтому и получается, что вы чуть-чуть подняли голову от Земли и: «О! Уже хорошо видно!» Давайте немного покрутим эту формулу.

Вот при h = 1 км с Хибин видно на 100 км, а более точный результат — действительно — на 113 километров. 113 километров вполне достаточно, чтобы увидеть Мурманск с Хибинских гор.

Слушатель: То есть на один градус, а точнее, на 1,0128 градуса.

А.С.: Да, на один градус. С километра видно на 1 градус.

Другой слушатель: Вы схалтурили.

А.С.: Где?

Слушатель: Расстояние между Хибинами и Мурманском. Вы считаете по прямой. А на самом деле надо считать длину дуги.

А.С.: Да. Разница будет примерно одна сотая процента. Она почти равна нулю.

Слушатель: А при Джомолунгме?

А.С.: Будет примерно 10 или 15 метров[21]. Давайте еще что-нибудь пощупаем. Джомолунгма, какая высота?

Слушатель: 8848 метров.

А.С.: Да. 8848. Округлим до 9 километров.

h = 9, L = 300.

Заметьте, что вершина Джомолунгмы — это то, на какой высоте летит самолет, поэтому с самолета вы видите примерно на 300-350 километров. Если лететь из Петербурга в Москву, то, чисто теоретически, пролетая Бологое, можно увидеть и Москву, и Санкт-Петербург, правда, для этого самолет должен развернуться. Но если кто-то говорит, что он видел Ташкент, летя из Москвы в Питер, он вас обманывает.