Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 24)

Когда вы летите на «гагаринской высоте», на высоте 100 км, соответственно, вы видите на 1000 километров. С 40-метровой вышки видно на 20 километров. Что, конечно, довольно много.

А вышка в 10 метров даст обзор на 10 километров во все стороны. Вышка уменьшилась в 4 раза, а обзор в 2. Если увеличить вышку в 9 раз, обзор увеличится в 3 раза. Обратите внимание, не линейная зависимость, а корневая.

Переходим к Алисе.

Это — пример того, как не работает наша интуиция. Вот она иногда работает, а иногда… Сейчас я вам расскажу чисто физическую вещь. Итак, давайте сделаем следующее.

Рис. 91. Алиса начинает падать в шахту. Но не волнуйтесь, она не погибнет. Шахта ровная, проходит всю Землю насквозь. Земля не раскаленная внутри, а саму Алису можно считать материальной точкой массы 40 кг. Ее уже ждут на той стороне американские ребята! А от ее массы в этой задаче вообще ничего не зависит.

Что происходит? Алиса падает (рис. 91). У нее меняется скорость. С какой скоростью меняется ее скорость? То есть какое у Алисы ускорение? Оно в первые моменты равно ускорению свободного падения g; оно, грубо говоря, такое: g ≈ 10 м/с² (точнее, 9,81).

То есть за одну секунду полета падающий человек увеличивает скорость на 10 м/с каждую секунду.

Слушатель: А у нее юбки парусят, это никак не влияет?

А.С.: Влияет. Поэтому пусть не парусят.

Слушатель: В вакууме…

А.С.: Да, это вакуумная Алиса. Потому что если есть сопротивление воздуха, то на некоторой скорости прекращается всякий рост скорости (например, для парашютиста, падающего без парашюта, скорость быстро стабилизируется на значении примерно 50 м/с). Вот. Поэтому пусть у нашей Алисы не парусят. И вообще… она ведь бросилась в шахту вниз головой, чтобы удобнее было вылетать из нее на другой стороне Земли.

Рис. 92. А если отважная Алиса летит не сквозь Землю, а сквозь Юпитер? У него радиус в 11,2 раза больше земного. И она уже пролетела до глубины в 2,2 земных радиуса. Тогда всю массу Юпитера можно поделить на две части: внутренний шар радиуса 9 (земных радиусов) и наружный шаровой слой толщины в 2,2 (земных радиуса). Точный математический подсчет показывает, что суммарная сила, с которой шаровой слой притягивает к себе летящую Алису (да вы мне всё равно ведь не поверите!..) РАВНА НУЛЮ. А внутренний шар, через который Алисе осталось пролететь, притягивает ее к себе так же, как притягивала бы её к себе точка, равная массе этого шара и находящаяся в центре шара.

Но есть одна важная физическая тонкость. Проблема в том, что когда вы начинаете падать в такого рода «колодец», у вас g начинает меняться. Ускорение свободного падения тем меньше, чем ближе вы к центру. В центре ваша скорость не меняется вообще, ибо там силы тяготения в сумме дают нулевой вектор. Есть такой физический закон, который утверждает, что ускорение свободного падения пропорционально расстоянию до центра планеты, если плотность планеты постоянна. (То есть если осталось пролететь долю «x» от поверхности до центра, то ускорение свободного падения будет равно gх. При х = 1 будет просто g, при х = 0,1 будет g/10.)

Пояснение и лирическое отступление «о футболе на Луне». Например, радиус Юпитера в 11,2 раза больше радиуса Земли (рис. 92). Ускорение свободного падения на Юпитере в 2,52 раза больше, чем на Земле (оно, кроме радиуса, зависит и от массы планеты). Радиус же Луны меньше радиуса Земли в 3,67 раза, и на ней в 6,05 раза меньше ускорение свободного падения. Я представил себе лунный футбол, это, должно быть, совершенно замечательно. Огромные ворота высотой 12 метров и шириной 40 метров, и в них медленно летающий вратарь. Но бьют-то по мячу с той же силой. Должно быть, очень занятно. Я не знаю, может быть, в будущем когда-нибудь будет лунный футбол.

У нас ускорение получается такое: а = −gх, и надо пояснить, что означает знак «минус».

Сначала попытаемся понять, какое движение совершала бы Алиса в шахте, просверленной по диаметру земного шара, если бы в центре Земли никакой гномик не толкал бы ее в спину для увеличения скорости. Она полетела бы «вниз» (ощущение у нее было бы такое же, как у человека, упавшего в колодец). До момента достижения центра Земли скорость всё время нарастала бы (в этой задаче считается, что сопротивление воздуха отсутствует); максимальная скорость будет при пролете через центр Земли (в этой точке Алиса будет лететь по инерции, так как сила тяготения обратится в нуль). Затем начнет проявлять себя сила тяжести, направленная против движения. Она будет постепенно нарастать, всё сильнее уменьшая скорость полета Алисы. Ее скорость станет нулевой как раз в тот момент, когда Алиса пролетит всю Землю насквозь. Теперь сила тяжести направлена в противоположную сторону. И затем всё будет повторяться. Такое движение называется «колебательным». Чтобы оно могло возникнуть, тело должно испытывать действие так называемой возвращающей силы. Эта сила всегда направлена в сторону положения равновесия (в этой задаче точкой равновесия является центр Земли). При расчетах именно центр Земли удобно выбрать за начало координат, а ось иксов направить вдоль шахты от начала шахты (место вылета) к ее концу на другом краю Земли. Именно при таких условиях и была написана формула а = −gх.

В этой формуле 0 < х < 1 (доля пути, оставшаяся до положения равновесия). Но обычно в теории колебаний этой буквой обозначают отклонение от положения равновесия (то есть от нуля). В этом случае появление знака «минус» становится понятным: возвращающая сила противоположна направлению отклонения, и она тем больше, чем больше отклонилась точка от центра. Она похожа по своему действию на заботливого пастуха: чем больше овца отклонилась от лужайки с травой, тем сильнее он гонит ее обратно. Скорость изменения какой-нибудь физической величины «х» обозначается в учебниках физики точкой вверху x; а ускорение (то есть «скорость изменения скорости») — двумя точками х. При расчете любого движения точки вдоль прямой (в том числе и колебательного) математики заимствуют из физики второй закон Ньютона: «сила равна массе, умноженной на ускорение». Если «х» означает (как в нашей задаче про Алису) отклонение от начала координат, то уравнение движения материальной точки имеет вид

где m — масса точки, ƒ(x) — закон изменения силы, управляющей движением точки, при изменении ее положения «x». Простейшее колебательное движение («гармоническое колебание») получается при

ƒ(x) = −kx

(линейная возвращающая сила). В этом случае закон движения x(t) (где t — время, прошедшее с момента начала движения) выражается суммой синуса и косинуса с некоторыми коэффициентами (отражающими информацию о начальном отклонении точки от центра и о начальной скорости движения точки). То, что физики называют скоростью, математики называют первой производной. А то, что физики называют ускорением, математики называют второй производной. Математики имеют в своем «арсенале» большой запас математических методов для решения различных уравнений движения. В частности, самое простое колебание описывается с помощью изменения значений косинуса (или синуса).

Если ускорение точки, движущейся вправо, отрицательное, значит, она тормозит, уменьшая свою скорость. Может быть такое, что при неизменном ускорении точка достигнет нулевой скорости и затем, остановившись на мгновение, будет двигаться в отрицательном направлении. Аналогичная ситуация может быть при движении точки влево и воздействии на нее положительного ускорения.

Слушатель: А «x» в каких единицах измеряется?

А.С.: Вопрос о единицах очень важный и правомерный. Можно измерять x в метрах, можно в километрах. В нашем случае х — доля радиуса — безразмерная величина. Решением уравнения, описывающего полет Алисы от падения в шахту и до достижения центра Земли, на самом деле служит обычный косинус.

Однако следует иметь в виду, что бывают задачи и с другими единицами измерения переменной «x».

Например, если «x» означает запас бензина в баке автомобиля (он изменяется с течением времени), то единицей измерения будет литр, а скорость расхода бензина будет тогда измеряться в литр/час. Но математики всё равно называли бы скорость расхода бензина «первой производной».

Вначале координата будет меняться медленно, потом Алиса будет набирать всё большую и большую скорость, ускорение же будет уменьшаться. Алиса сначала долетит до центра, а потом и до поверхности Земли с другой стороны (рис. 93), преодолевая нарастающую силу тяжести («возвращающую силу»), потом опять полетит обратно, и так до бесконечности.

Рис. 93. Вот так Алиса миновала центр Земли и долетела до Америки.

Так вот. Спрашивается, какая скорость в центре Земли? Скорость в центре Земли очень серьезная. Там много, много метров в секунду. (Вычисления с помощью косинуса показывают, что эта скорость (независимо от массы тела Алисы) составляет 7910 м/с.) Что же происходит с энергией в полете то туда, то обратно? Есть такой закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую, и наоборот. На поверхности Земли есть только потенциальная, в центре только кинетическая. В полете к центру Земли потенциальная энергия постепенно уменьшается, а кинетическая на такую же величину увеличивается.