Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 21)

Это вроде как игра. Я беру вот эти две карты и думаю, как бы мне положить верхнюю на нижнюю, а вы приходите и иглой протыкаете, где захотите; если вы проткнули иглой одну и ту же точку (дом 37 по улице Профсоюзной), значит, вы выиграли, а если нет, то выиграл я. Теорема утверждает, что в этой игре проигрывает тот, кто кладет карту. То есть, как бы ни положить карты, всегда можно указать нужную точку.

Доказательство — в одну строчку. Методом «взгляни — и поймешь».

Рис. 77. Ничто по предвещало появления Ее величества Бесконечности..

Нарисуем на маленькой карте ту территорию местности, которую на большой карте закрыла маленькая карта.

Теперь нарисуем на нарисованной карте ту территорию, которую она занимает на маленькой (рис. 78).

Рис. 18. И завертелись карты города аж до бесконечности!

Дальше они будут вертеться до бесконечности, но в пересечении всех этих карт будет точка. В нее и надо воткнуть иголку.

А теперь немножко сложнее: я беру две абсолютно одинаковые карты города. Верхнюю снимаю, сжимаю, комкаю, складываю, но не рву. Теперь кидаю на оставшуюся лежать карту так, чтобы верхняя не вылезла за пределы нижней (рис. 79).

Рис. 79. Иллюстрация к теореме Брауэра.

Теорема. Всё равно можно проткнуть иголкой эти две карты в одном место. Всегда, что бы вы ни делали (единственное только нельзя резать и рвать). Если вы карту порвали, то можно добиться того, чтобы проткнуть было негде. А вот если мы не рвали, то всегда найдется общая точка, иногда их будет несколько, но одна найдется обязательно. При условии, что смятая до неузнаваемости (и сплющенная) верхняя карта целиком лежит на нижней. Эта теорема очень эффектна. На самом деле, она утверждает нечто про произвольное непрерывное отображение объекта в себя. Эта теорема не очень простая, я ее рассказываю на курсе «математика для экономистов» и в школе анализа данных Яндекса. Называется она Теорема Брауэра.

На самом деле, пока она не была доказана, в нее не очень верили. Любое непрерывное отображение (разрешено всё, кроме разрывания) замкнутого выпуклого объекта (в теореме Брауэра говорится о замкнутом шаре) в себя всегда обладает неподвижной точкой. То есть точкой, которая никуда ни сдвинулась. Вы что-то растягиваете, что-то сжимаете, что-то складываете, но вы никогда, никогда не добьетесь того, чтобы все точки изменили свое положение. Этого нельзя сделать. Этому есть математическое препятствие, и оно называется «теорема Брауэра о неподвижной точке».

Вернемся к задаче, которой мы закончили предыдущую лекцию.

(1 + √2)², (1 + √2)³, … (1 + √2)ⁿ

— эти вот выражения почему-то тоже помогали нам решать уравнение Пелля.

Сейчас как раз самое время открыть секрет. Заодно получим еще одно оправдание изучению уравнения Пелля:

x² − 2у² = 1.

Греки мыслили геометрическими образами. Старались увидеть число, увидеть теорему Пифагора. У них были «квадратные» и «треугольные» числа.

Например, 4 или 9 — это квадратные числа (рис. 80).

Рис. 80. Из 4 или из 9 кружков можно сложить квадрат.

Что такое треугольное число? Это когда из такого количества кружочков можно треугольник собрать. 3, 6, 10 — числа треугольные (см. рис. 81).

Рис. 81. Перед началом партии в биллиард шары укладывают в «треугольник».

Следующее 15, потом 21. Каждый раз прибавляем на 1 больше, чем в предыдущий раз.

Сам собой возникает вопрос: бывает ли так, что одно и то же число и квадратное, и треугольное? То есть количество фишек таково, что можно собрать из них квадратик, а можно перемешать и собрать треугольник.

Слушатель: Число 1 и такое, и такое.

А.С.: Безусловно. Человек, который говорит «число 1», обладает математическим мышлением. Не пропустить даже простейшего случая. Это очень важно.

Однажды я ехал в поезде из Иркутска в город Тулун. И со мной в плацкарте ехала женщина с дочкой лет пяти. Мама явно не математик, но при этом хочет дочку чему-то научить. И она спрашивает: «Вот, смотри. У тебя пять кукол. Как их можно разложить? 3 и 2». — «Ну, да». — «А еще можно как-нибудь?» Я с интересом наблюдаю. Тут дочка и говорит: «Можно 5 + 0».

Я вскакиваю с полки, спускаюсь и говорю: «Ваша дочь имеет нетривиальные, очень хорошие математические способности».

Мама немножко помолчала, а потом согласилась. Но она не поняла. Ведь назвать 5 + 0 может только человек, у которого четко развита логика, другой человек не назовет, это нетривиальный вариант.

Вернемся к треугольным и квадратным числам. Какое следующее, после 1? Следующее «и такое, и такое» число — это 36 (см. рис. 82).

Рис. 82. Число 36 — «дважды чемпион» среди натуральных чисел.

Давайте найдем общую формулу для всех чисел такого рода.

Слушатель: 36 на 6, ну, 36 на 36 умножить?

А.С.: Давайте, во-первых, выведем формулу для треугольных чисел. То есть, грубо говоря, есть формула для всех квадратных: n². Подставляете любое число, получается квадрат. А вот как написать общую формулу для чисел 1, 3, 6, 10, 15… Вот что нужно сделать с m, чтобы получить треугольное число?

Что получается? 1 + 2 + 3 + 4 + … + m.

Нужно посчитать такую сумму. Вот оно, треугольное число. Как посчитать такую сумму? Есть знаменитая история про то, как Гаусс быстро в уме подсчитал сумму первых подряд идущих ста чисел. (Но это, мне кажется, байка.) Маленький Гаусс учился в школе в 3-м классе. В школе к учителю или к учительнице пришел знакомый. Учительница решила дать задачу такую, чтобы дети занялись на весь урок. «Дети, а теперь посчитайте 1 + 2 + 3+ и так далее до 100». И ушла довольная. Выбегает маленький Гаусс через 5 минут, говорит: «Я посчитал: 5050».

«А как ты посчитал? А ты можешь доказать?» — «Ну конечно, могу. Смотрите. Я пишу две строки:

1 + 2 + 3 + … + 100,

100 + … + 3 + 2 + 1.

По-другому просто перенумеровал. Сумма внизу та же самая будет. Пусть она равна x. И сверху х и снизу х.

1 + 2 + 3 + … + 100 = x,

100 +… + 3 + 2 + 1 = x».

Давайте теперь сложим строчки по столбикам: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, …

Слушатель: Всегда получится 101.

А.С.: Конечно. А сколько штук?

Слушатель: 100.

А.С.: 100. Значит, удвоенное значение нашего выражения равно 50 умножить на 100. Откуда после сокращения на 2, естественно, и получается х равно 50 умножить на 101.

2х = 10100,

отсюда

x = 5050.

Вот Гаусс и сказал 5050. И был совершенно прав, ничего не считая. Математика — это искусство лени. Математик — это тот, кто никогда не будет делать рутинных действий, он всегда придумает что-то машинное. Вот вы познали какой-то рутинный метод. Всё. Вы теперь на нём не зацикливаетесь, на нём будет зацикливаться компьютер. Компьютер ничего не выдумает, а математик, он свалит на компьютер всю рутину и найдет закономерность. В Брауншвейге Гауссу стоит памятник: бронзовый 17-угольник, на котором стоит математик. А почему он стоит на 17-угольнике? Потому что Гаусс придумал, как строить правильный 17-угольник циркулем и линейкой. «Правильный» — значит с равными сторонами и углами.

До него эту задачу не могли решить. Можно построить правильный треугольник, 4-угольник. На самом деле, если вы умеете строить многоугольник с простыми сторонами, то остальное легко. То есть надо строить: правильный треугольник, 5-угольник, 7-угольник. А 7-угольник никто строить не умеет. Все мучились и думали: «Что ж такое? Какие-то мы глупые, наверное. Почему мы не можем построить правильный 7-угольник циркулем и линейкой?»

А потом уже после Гаусса пришел Ванцель и сказал: «Это невозможно. Математически невозможно». И доказал это. Так же, как нельзя построить правильный 11- и 13-угольник. Помните, я рассказывал про теорему Галуа? Про то, что для уравнения выше 4-й степени нельзя написать общую формулу корней. Здесь та же ситуация, вы можете взять циркуль и линейку, вооружиться ими и хоть всю жизнь строить какие-то дуги, что-то пересекать, но вы никогда не сможете построить правильный 7-угольник. Ванцель доказал это в 1836 году. Но еще значительно раньше девятнадцатилетний Гаусс сумел построить правильный 17-угольник. Какая следующая фигура строится циркулем и линейкой из правильных многоугольников? После 17-угольника? Оказывается, 257-угольник. Это очень долго и сложно, но можно.

Вернемся к треугольным числам.

Понятно теперь, как мы будем выводить общую формулу? Мы запишем всё наоборот. Мы здесь запишем

1 + 2 + 3 + 4 + … + m = х,

m + (m − 1) + (m − 2) + … + 1 = х.

Теперь сложим и получим m экземпляров какого числа? Числа (m + 1):

(m + 1)m = 2х.

Поэтому формула вот такая:

Теперь можно подставлять вместо m любые натуральные числа и получать треугольные.

А вот теперь задается вопрос. Итак, число является треугольным, значит оно имеет такой вид

С другой стороны, оно квадратное, то есть имеет вид: n².

Получается замечательное уравнение для решения в целых числах

m(m + 1)/2 = n².

А теперь смотрите? Может быть, вы помните, что такое делители числа? Делитель числа а — это такое число, на которое а делится (без остатка).