Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 17)

И вот вы получили прямой угол кустарными средствами. Это очень важно.

Землемеру этого хватит. Всё. У него веревка с 12 узлами есть, и отлично. Но математик всегда хочет пойти до конца. Все варианты найти, все целые а, b, с — такие, что получается прямоугольный треугольник. Задача древнейшая. Ответ был известен еще древним индусам. «Пифагоровы тройки» — вот как называются эти решения. Интересно то, что в этом месте слева на полях было написано рукой Ферма приблизительно следующее: «Вместе с тем, невозможно разложить никакой куб в сумму двух кубов, никакую четвертую степень в сумму двух четвертых степеней и вообще никакую произвольную степень числа в сумму двух таких же степеней. Я нашел этому факту поистине удивительное доказательство, но на полях оно не поместится». Это — начало истории величайшей загадки математики — великой теоремы Ферма.

Ферма утверждает, что при n большем, чем 2, уравнение

хⁿ + уⁿ = zⁿ

не имеет решения в целых числах. То есть, конечно, можно взять х = у = z = 0. Или, если мы поставим х = 0, тогда у и z могут быть любыми одинаковыми. Но это всё неинтересно. А вот если ноль запретить, то если мы ищем среди положительных целых чисел х, у, z решения этого уравнения, то их нет, вообще нет. Ни одного, ни одной тройки (x, у, z), ни для какого n, большего чем 2, то есть ни при n = 3, ни при n = 4, ни при каком n.

Эта загадка была страшно популярной среди широких масс населения — уж больно просто формулируется эта теорема (да еще какой-то чудак завещал крупную сумму тому, кто справится с доказательством теоремы Ферма). Но и опытные математики были озадачены. Дело в том, что все утверждения, которые Ферма оставил без доказательства, оказались правильными (их все доказали после его смерти), а с этим творилось черт знает что: начали все сходить с ума, потому что всё кажется просто, и хочется взять ручку и начать писать. Вот вы мне не поверите, но когда мне было 10 лет, я этим занимался, честно. Но всё это безумие продолжалось только до 1994 года.

В 1994 году она была полностью доказана нашим с вами современником математиком Эндрю Уайлзом. На самом деле ему предшествовали 30 разных имен, которые долго в разных местах подстраивали большое здание. А он просто понял, в каком месте нужно сшить то, что уже известно. В частности, безусловную важность здесь сыграла московская школа алгебраической геометрии. Последним был Уайлз, но в принципе это — всемирное творение.

Сейчас доказательство великой (или, как еще говорят, последней) теоремы Ферма входит в книгу А. А. Панчишкина, Ю. И. Манина «Введение в современную теорию чисел». Толстенная сложнейшая книга по теории чисел, 7-я глава целиком посвящена теореме Ферма.

Ну а теперь фокус-покус, ладно? А то лекция уже кончается.

Берем нашу цепную дробь для «корня из двух»:

Обрубаем, получаем приближенное значение для корня из двух:

Такую дробь можно превратить в некоторое рациональное число, то есть в некоторое отношение двух целых чисел. Получается 41/29.

Всё отлично.

А вот теперь берите калькулятор, пожалуйста. И возводите в квадрат 41 и 29. He забудьте, что 29 в квадрате при этом надо умножить на 2, «по просьбе Диофанта»:

41² = 1681,

29² = 841,

841 · 2 = 1682.

Ура! Они отличаются на единицу. Это те самые решения нашего уравнения

m² = 2n² ± 1. (4)

Мы нашли решение этого уравнения. Причем нетривиальное.

Теорема, которую я доказывать не буду (хотя она и не очень сложная), гласит: Где бы вы ни обрубили данную цепную дробь, всегда получается решение нашего днофантова уравнения.

Слушатель: Любое число разложу в цепную дробь, обрублю и получу решение какого-то похожего уравнения?

А.С.: Не для любого. Для любого числа, не являющегося квадратом. И обрубать надо будет аккуратнее, не в любом месте, как в случае с корнем из двух.

Например, уравнение m² = 9n² ± 1 не получится решить таким способом (впрочем, несложно показать, что у него всего два тривиальных решения (1, 0) и (−1, 0)). Но таких чисел довольно мало. Что же я могу подставить вместо 2 в уравнение (4): 3 — могу, 4 — не могу, так как квадрат; 5, 6, 7, 8 — могу, 9 — не могу, 10, 11, 12, 13, 14, 15 — могу, 16 — не могу, и так далее. Уравнение такого вида (см. подробнее об этом в следующей лекции) носит название уравнение Пелля. И, как обычно это бывает, Пелль не имеет к нему никакого отношения. В математике очень много фактов названо именами людей, которые никакого отношения к этому факту не имели. Шутки ради это явление математики тоже назвали «теоремой». Вот, получилось так, что эту теорему назвали теоремой Арнольда. Она самоприменимая (то есть Арнольд не является автором этой теоремы). Шутливую «Теорему Арнольда» придумал, вроде бы, Николай Николаевич Константинов и назвал теоремой Арнольда специально для того, чтобы она была самоприменимой, чтобы она тоже называлась не именем человека, который ее выдумал, а другим. Математики мыслят логически, даже когда они шутят!

Давайте все-таки, чтобы вас убедить, пообрубаем эту дробь в разных местах. Смотрите. 1 — это ведь «1 разделить на 1». Если подставить в уравнение (4) m = n = 1, то что получится?

1² = 2 · 1² − 1

(то есть (4) выполняется).

Обрубаем дальше. Будет 3/2.

Подставляем: 9 = 2 · 4 + 1.

Обрубаем еще раз. Получаем 7/5. Подставляем.

49 = 2 · 25 − 1.

Вы видите, что теорема верна.

Гуманитарию уже не надо доказывать теорему, он уже «видит», что она верна. Но математику нужно ее доказать, нужно установить, что это действительно всегда будет так. Мало того, оказывается, что все такие обрубания дадут вам решения этого уравнения, и других решений в задаче нет. Вообще никаких.

Слушатель: Ну, или мы просто не нашли?

А.С.: Нет. Доказали, что больше не существует.

Ну, последний фокус-покус. Но берегитесь, он страшный. Знаете ли вы, что такое бином Ньютона? Это — правило, по которому раскладываются выражения, в которых вы много раз умножили одну скобку на себя. В школе проходят (а + b)(a + b) = а² + 2аb + b². Еще проходят: (а + b)(а + b)(а + b) = а³ + 3а²b + 3ab² + b³. Но есть некая формула, которая верна всегда, для любого количества скобок. Считается, что ее придумал Ньютон, но на самом деле ее, скорее всего, знали и до него. Просто он ее огласил. Так вот, бином Ньютона тоже помогает искать решения уравнения m² − 2n² = ±1. Ниже мы снова за К обозначим корень из двух.

Возьму (1 + К)² = 1 + 2К + 2 = 3 + 2К. Решением будет пара (m = 3, n = 2), и мы уже выше встречались с ним. Но, может, это случайно так совпало?

Возведение в куб вас должно уже убедить. Имеем:

(1 + К)³ = 1 + ЗК + 6 + 2К = 7 + 5К.

Не правда ли, это следующее решение нашего уравнения? Здесь m = 7, n = 5.

Возведем в четвертую степень. А это всё равно, что возвести два раза во вторую, один раз в нее мы уже возводили.

(1 + К)⁴ = (3 + 2К)² = 9 + 12К + 8 = 17 + 12К.

Проверяем:

17² = 289,

12² = 144,

144 · 2 = 288.

Получается: 289 = 288 + 1.

Это работает!

До встречи на лекции 4.

Лекция 4

Всего вам взаимно-однозначного!

А.С.: На прошлой лекции я сказал кое-что про решение уравнения вида х² − 2у² = ±1. Тогда обозначения были другие. Но на то это и математика, что «хоть горшком назови». В этой лекции переменные, значения которых мы ищем, будут обозначаться «x» и «у». Теперь кое-что уточним. Можно взять вместо числа 2 любое натуральное число m и записать аналогичное уравнение: х² − mу² = ±1.

В принципе, почти ничего не изменится в общем ходе решения. Единственный вариант, при котором будут различия, это когда m представляется в виде квадрата натурального числа (4, 9, 16, 25…), — тогда такое уравнение по неким очевидным причинам никаких решений, кроме x = ±1, а у = 0, не имеет.

В самом деле, попробуем найти нетривиальные решения уравнения х² − 9у² = ±1, то есть x · x = (3у) · (3у) ± 1. При «у», не равном нулю, получается, что квадраты двух целых чисел «x» и «3у» отличаются на единицу. Так мало они отличаться НЕ МОГУТ. Даже квадраты соседних целых ненулевых чисел (скажем, М и М + 1) отличаются больше, чем на 1, а именно: отличие их равно 2М + 1, причем М не равно 0.

Для всех остальных m прием, которым мы пользовались ранее при решении этой задачи, срабатывает. А прием этот был такой: нужно корень из m разложить в цепную дробь. То есть выделяем целую часть, потом «переворачиваем» оставшуюся дробную часть, получаем число, большее единицы, в нём опять выделяем целую часть, и так далее:

Я сказал в лекции 3, что для получения решения уравнения мы можем обрубить дробь в любом месте, привести к виду «целое число разделить на целое», и числа, которые получатся в числителе и знаменателе, будут нашими решениями. И для m = 2 это действительно можно делать на любом месте. Но если это утверждение применить для других значений m, то получится, что я немного обманул вас. Есть теорема, доказанная Ж. Л. Лагранжем, которая утверждает, что если мы разложим корень из числа, не являющегося квадратом, в цепную дробь, то цепная дробь начиная с некоторого места начнет повторяться. Появится период.

Врезка 6. О бессилии «наблюдения» без «доказательства»

Понятие периода последовательности не такое простое, как хотелось бы думать. Более того, это понятие демонстрирует бессилие прикладной математики для установления фактов чистой математики. Например, допустим, что прикладной математик изучает поведение следующей последовательности десятичных цифр: 2223222322232223.. Что скажет при этом «совсем простой наблюдатель»? То, что имеется период «2223», состоящий из 4 цифр. Более «утонченный наблюдатель» возразит: не будем спешить, понаблюдаем дальше за поведением этих цифр хотя бы до 34-го места. Сказано-сделано: получили