Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 19)

Слушатель: Посадить учеников на стулья.

Рис. 69. Начнем с точки (0, 0) и будем обходить ее постепенно расширяющимися оборотами. Каждому из узлов при этом присваивается какой-нибудь не повторяющийся номер: точке (0, 0) номер 1, точке (1, 1) номер 2, и так далее.

А.С.: И если они займут все стулья, каждый ученик сидит на одном стуле, все стулья заняты, и стоящих учеников нет, то вы констатируете тот факт, что стульев и учеников одинаковое количество.

Врезка 7. Как Кантор размышлял о «взаимно-однозначных» процессах

Выше было доказано, что учеников «ровно столько, сколько стульев» (притом и тех, и других — бесконечное количество). Но ведь тем же способом я сейчас докажу, что учеников (то бишь натуральных чисел) БОЛЬШЕ, чем стульев (то бишь целочисленных точек на плоскости). В самом деле: ученика номер 1 я вообще отправлю домой «как лишнего», на первый стул посажу ученика № 2, на второй — ученика № 3, и так далее. Итак, я доказал два взаимоисключающих факта: 1) что учеников и стульев одинаковое количество; и 2) что учеников БОЛЬШЕ, чем стульев. А захотел бы — доказал бы и что 3) стульев БОЛЬШЕ, чем учеников. Так что же, для бесконечных множеств, что ли, в принципе нельзя сказать, какое из них «больше»?!

Другой бы ученый на том и успокоился. Но гениальность Кантора позволила ему найти верную дорогу в этом мраке. Он спросил себя: а как было с этими теоремами для конечных множеств? Для конечных эти три теоремы несовместимы друг с другом, и любая из них может быть использована для выяснения, какое из множеств больше: учеников или стульев. А какой же из трех надо пользоваться для сравнения бесконечных множеств? Оказалось, что для бесконечных множеств надо взять за основу способ 1: если хоть каким-то образом удалось установить взаимно-однозначное соответствие между учениками и стульями, значит, торжественно объявляем эти два множества «равномощными» и не поддаемся ни на какие провокации типа «способа 2» или «способа 3». Только так можно построить непротиворечивое сравнение множеств по мощностям. «В наказание» за это Кантору пришлось доказать несколько труднейших теорем, которые, к сожалению, не только нельзя «по-простому» пояснить гуманитариям, но даже и у будущих математиков (студентов 2-го курса мехмата МГУ) с пониманием их доказательства возникают большие проблемы. Но хотя их трудно понять и воспроизвести, их уже нельзя «запретить» подобно тому, как пифагорейцы хотели «запретить» иррациональные числа — ведь Кантор всё обосновал строго математически, а другие с этим согласились.

Слушатель: А если у нас, допустим, две сферы, маленькая и большая?

А.С.: Как множества точек это одно и то же (то есть они равномощны). Объясню на примере окружностей (вместо сфер). Установим взаимно однозначное соответствие (рис. 70).

Рис. 70. Проводя лучи из общего центра двух окружностей, устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между их точками. (Более того, оно же отвечает важному условию: близким точкам одной окружности соответствуют близкие точки другой.)

Школьник маткласса узнаёт всё это, скажем, в 9-м классе. И вот тут у него, как и у Кантора, возникает мысль: а может, любое бесконечное множество можно пересчитать? Тогда все бесконечные множества одинаковые. Возьмем отрезок [0, 1] и пересчитаем его. Получат ли все точки отрезка номера?

Нет. И это можно формально доказать (Кантор сделал это). Пересчитать точки отрезка невозможно. И так как внутри отрезка заведомо уживается бесконечное число точек вида параметризуемое натуральными числами — например, множество чисел вида 1/n, то мы говорим о том, что отрезок имеет как бесконечное множество большую мощность, он больше как бесконечное множество, чем множество натуральных чисел. На отрезке, на окружности, на плоскости больше точек, строго больше, чем натуральных чисел. Где-то в конце XIX века Г. Кантор понял, что бесконечности бывают разные.

Сейчас я докажу, что множество, любое множество (какое бы оно ни было, конечное или бесконечное), и множество его подмножеств не одинаковы. (Второе множество ОБЯЗАТЕЛЬНО будет больше по мощности.)

Сначала возьмем конечный случай. Пусть у нас есть множество. Оно состоит (например) из трех чисел: 0, 1 и 2. Подмножество это какая-то компания, составленная из них. Какие могут быть компании? Во-первых, может быть компания, в которой нет ни одного числа. Ну, как говорят, пустое множество. «Никого в нём нет» называется компания. Но математики никак не могут без этого обойтись, они просто не могут. Без нуля и без пустого множества математика не живет. Что значит «На день рождения пришло пустое подмножество гостей»? Это означает, что вы накрыли стол, и никто не явился. Математик скажет: «Ко мне на день рождения пришло пустое множество гостей». Потом, возможно, пришел только господин 0. И сразу множество перестало быть пустым!

Продолжаем «придумывать “компании”. Так сказать, кампания по нахождению компаний (шутка). Возможно, в гости пришел не Господин 0, а Господин 1 или Господин 2. Вот вам уже целых четыре компании: одна пустая и три из одного «человека». Эти последние могут даже побеседовать… сами с собой («с умным человеком и поговорить приятно»).

∅ (пустое множество),

{0}, {1}, {2}.

Какие еще варианты?

{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}.

Все варианты перечислили?

Еще могли прийти все. Итого — 8 разных компаний.

{0, 1, 2}.

Или такая задача. Вы начальник группы. И вы хотите кого-то наградить. Сколькими способами вы можете решить эту задачу? Вы можете наградить одного, можете не награждать никого. Можете наградить двух, можете всех трех. Сколько у вас способов решить эту задачу? У вас 8 вариантов, потому что 8 подмножеств.

Так вот, ни для какого (ни конечного, ни бесконечного) множества нельзя пересчитать подмножества, используя элементы исходного множества. Подмножеств гораздо больше, чем элементов. У нас элементов всего 3, а подмножеств оказалось 8. Не хватит. Если элементов было бы 5, то подмножеств будет 32 штуки. Для конечных понятно — не пересчитаешь. Я хочу сказать, что такого не может быть ни для каких вообще множеств. Это доказал Г. Кантор.

Смотрите. Как мы могли бы доказывать теорему о том, что множество и множество его подмножеств не одинаковы.

Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4… И множество всех подмножеств этого множества, например, все четные, или все делящиеся на 3, или все кубы чисел, начиная с тысячи, и т. д.

Используем доказательство от противного (но в несколько необычной обстановке). Предположим, что мы смогли пересчитать множество подмножеств. Подмножество четных чисел получило, скажем, номер 15. Подмножество нечетных получило номер 3. Подмножество «Все четные, начиная с десятки» получило номер 156. Числа, делящиеся на 3, как множество, получили номер 1376, отдельно взятое подмножество из чисел, которые между ста и тысячью лежат, получило номер 1000000 и т. д.

Допустим, мы пересчитали все подмножества. Приведем это допущение к противоречию.

Рассмотрим все натуральные числа, для которых «их» подмножество (то есть подмножество с таким номером) не содержит этого числа.

Скажем, четные числа получили номер 15, 15 — нечетное число, то есть, подмножество, ему соответствующее, его не содержит. Значит, 15 — это как раз нужное нам число.

А если, например, подмножество состоит из чисел {101,102, 103…., 200} и получило номер 195, оно нам не подходит, так как 195 лежит внутри своего подмножества. Значит, натуральное число 195 нам не подходит.

Далее Кантор сделал шаг к следующему этапу рассуждения. Он рассмотрел все такие числа, собрал их в кучу и обозвал это подмножеством В.

Подмножество В вполне конкретное — это все числа, которые сами не входят в подмножество с их номером. То есть 15 вошло в В, 195 — не вошло. И так далее. Этому подмножеству В тоже должен быть присвоен некий натуральный номер b. Это же подмножество. Но если каждому подмножеству присвоен номер (по нашему предположению), то такому подмножеству тоже присвоен номер. Вопрос: число b входит ли в подмножество В? С какой вероятностью вы встретите крокодила на улице (если вы не знаете вообще, что такое «крокодил»)?

Слушатели: 50 на 50.

А.С.: Да, правильно, девушки дорогие! Вот это вы правильно говорите. Либо встретите, либо не встретите. Правда? Значит, номер b либо принадлежит подмножеству В, либо не принадлежит. Сейчас я докажу, что не может быть ни того, ни другого. То есть сейчас я докажу, что вы не можете ни встретить крокодила, ни не встретить. Ни то, ни другое не может произойти. И это будет то самое противоречие, которое будет устанавливать тот факт, что соответствия между множеством и множеством его подмножеств не бывает. Потому что оно выведено, исходя из того, что мы смогли устроить такое соответствие.

Поехали. Я утверждаю, что «инвентарный» номер подмножества, которое состоит из таких натуральных чисел, что их собственное подмножество их не содержит, не может ни содержаться в В, ни не содержаться в В. Предположим, что номер b содержится в В. Это значит, что он не может входить в множество тех чисел, которые в своих множествах не содержатся.

Слушатель: И значит, он не содержится в множестве В.

А.С.: И значит, он не содержится в В. А теперь представьте себе, что он не содержится в В.