Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 18)

22232223222322237 22232223222322237…

Что, убедились?! Период-то имеет длину не четыре, а семнадцать! Но обиженный «простой наблюдатель» возразит: погодите радоваться. Понаблюдаем теперь хотя бы до сотого места. И увидели, что на 69-м месте (после семерки на 68-м месте) стоит не цифра 2 (как они оба ожидали), а цифра 0. Вот тут-то они призадумались… А есть ли вообще период у этой последовательности? И может ли «простое наблюдение» дать обоснованный ответ на этот вопрос? КОНЕЧНО, НЕТ! — скажет им чистый математик. Если у нас в результате наблюдения появилась гипотеза, что период равен 2223, то надо остановиться, проверить, есть ли научные предпосылки для доказательства этого (либо для опровержения этого), и продолжать исследование дальше. И если возможную длину периода не удалось определить или ограничить сверху никакими «наблюдениями», это вовсе не означает, что последовательность непериодическая! Это означает, что пока что чистому математику не удалось решить эту проблему (может, потому, что он плохо ее решал).

Это, конечно, не означает, будто бы мы не доказали, что для разложения «корня из двух» период начинается сразу, и длина его равна единице, а сам период равен «2». В данном случае не просто повторяются числа 2222…, начиная со второго места, а повторяются условия для повторения этого числа. Ниже мы не будем углубляться в эту философскую проблему, а просто предположим, что уже «кем-то» доказано наличие именно периода такой длины, и именно из таких чисел.

Мы раскладывали для самого простого случая, и в нём сразу пошел период: целые части со второго места равны 2, 2, 2, и т. д. Если бы я обрубал цепную дробь в любом месте для любого m, я совершил бы ошибку. А на самом деле обрубать нужно ровно в конце периода, то есть в том месте, где начинается повторение. Начало периода — это как раз самое большое число. В этом месте и нужно обрубать, игнорируя весь последний отрезок дроби, начиная с самого большого числа. Например, в идущем ниже примере мы доходим до 4 и обрубаем. В следующий раз можем обрубить перед второй четверкой, и т. д.

Но это был модельный пример, не относящийся ни к какому m.

Например, бывает, что повторение начнется на 7 или 8 ступеньке дроби, или еще дальше. Число 61, среди первых 100 чисел, самое неприятное в нашем смысле. Ибо √61 очень долго раскладывается в цепную дробь, пока не повторятся условия, обеспечивающие циклическое повторение всех выделяемых далее целых частей. И поэтому самые маленькие решения уравнения x² − 61у² = ±1 будут больше миллиарда.

В костромской области каждые полгода проводится школа для сильных школьников. Вот они у нас где-то за часик этот корень из 61 раскладывали. Потом еще минут десять сворачивали дробь, и на выходе получали два числа порядка миллиарда. Которые, если подставить в наше уравнение, чудесным образом дают решение уравнения Пелля.

Цепная дробь (или алгоритм Евклида, который ее породил) может быть изложена геометрическим образом. Полезно знать, какая геометрия за этим стоит. Ниже я ее изображу.

Немного уточню теорему Лагранжа, что приблизит нас к термину алгебраические числа. Что такое рациональное число? Мы договорились, что это «целое делить на целое» (то есть m/n). Можно написать и по-другому. Рациональное число — это корень (то есть решение) уравнения m − nх = 0.

Например, 17/15 — корень уравнения 17 − 5x = 0. Подставьте х = 17/15 и проверьте это.

К чему мы приходим? К более широкому подходу. Рациональные числа — это корни вот таких линейных уравнений, то есть уравнений первой степени с целыми коэффициентами.

Корнем какого уравнения является число «корень из двух» (обозначим его просто К)? Нужно написать выражение с иксом, у которого целые коэффициенты, такое, что при подстановке получится 0. Вот оно: x² − 2 = 0.

Оно 2-й степени. Вот я и говорю поэтому: К — число не рациональное. Ведь это уравнение нелинейное, оно второй степени.

А если я напишу: x¹⁰ − 3 = 0?

Что я получу на выходе? Корень 10-й степени из 3. Число не рациональное, удовлетворяющее уравнению, где слева стоит многочлен с целыми коэффициентами.

Напишем произвольное уравнение 2-й степени: ах² + bх + с = 0 (тут, конечно, «а» не равно нулю).

Такое уравнение вы, без сомнения, изучали в школе. Но вы изучали его для произвольных а, b, с. А мы будем рассматривать только целые. То есть многочлен, в котором целое число раз взята единица (либо минус единица) — получилось «с», потом целое число раз взят х (с тем или иным знаком) — это будет «b», и целое число раз взят x² (это — «а»). Решаем квадратное уравнение по известной формуле:

Мы получили выражение, использующее при своем построении операцию извлечения квадратного корня один раз. Так вот, теорема Лагранжа звучит так: если х является решением уравнения

ах² + bх + с = 0

с целыми коэффициентами, то тогда его цепная дробь будет либо конечной (если вдруг решение окажется рациональным), либо периодической. Верно также обратное утверждение. Если цепная дробь устроена так, что у нее, начиная с некоторого места, возникает периодическое повторение целых частей, то она удовлетворяет такому уравнению с целыми коэффициентами.

А вот теперь, опираясь на эту теорему, я могу вам дать основное определение. Число называется алгебраическим, если оно является корнем хотя бы одного уравнения с целыми коэффициентами произвольной длины. Не обязательно квадратного, как у нас, а произвольного (многочлен любой степени).

А трансцендентное число — это число, которое не является алгебраическим. С этим связана долгая история. Стоял вопрос, существуют ли трансцендентные числа вообще. Древним грекам было известно, что длина диагонали квадрата не является рациональным числом. Это было очень неудобно древним. Но, с другой стороны, она удовлетворяет элементарному квадратному уравнению, то есть является алгебраическим числом. Возникает вопрос: все ли числа алгебраические? Ответ — нет. Математик Ж. Лиувилль, живший в середине XIX века, просто выписал конкретное число и доказал, что оно не является алгебраическим. С этого всё и началось. На самом деле алгебраических чисел неизмеримо меньше, чем не алгебраических, то есть трансцендентных.

Грубо говоря, если вы возьмете вещественную ось и случайно воткнете в нее булавочку нулевой толщины, вы практически наверняка попадете в неалгебраическое число.

Мы с вами на 3 лекции какую-то задачу решали с какой-то железкой (помните? — которую надо куда-то отправить, чтобы она встала в вертикальное положение). Если вы эту железку наугад взяли где-то, со свалки, установили на шарнир и стали отправлять ровно с той силой, чтобы она за бесконечное время встала в вертикальное положение, то сила, наугад взятая, будет трансцендентная. На самом деле сама железка тоже будет трансцендентной по своей длине. Есть самая большая загадка, которая обычно совершенно не понятна людям, не занимающимся математикой. Как это — бесконечности могут быть разные? Вот как можно представить, что бесконечности разные? Вроде бесконечность, она и есть бесконечность. Они все одинаковые. Это один наивный взгляд. Другой наивный взгляд на вещи состоит в том, что, наоборот, почти все бесконечности разные. Вот, скажем, возьмем множество всех натуральных чисел и множество всех целых чисел. Каких больше?

Слушатель: Целых.

А.С.: «В два раза больше», если вы думаете «в наивном ключе» о бесконечности. Или, так же наивно: «Чисел, которые делятся на 3, в 3 раза меньше, чем всех натуральных чисел». А и тех, и других — бесконечно много.

Оказывается, математика дает безжалостный ответ, совершенно безжалостный: целых чисел столько же, сколько натуральных. Как говорил один шутник: «На этот вопрос есть два мнения — одно из них Мое, а другое — Неверное». В отличие от обычного шутника, с которым можно и поспорить, с математическими «шутками» не поспоришь, ибо они обоснованы строгими доказательствами.

Слушатель: Кстати, и алгебраических чисел столько же.

А.С.: И алгебраических чисел тоже столько же, сколько натуральных. И рациональных чисел столько же, сколько натуральных, потому что единственный правильный способ, единственный непротиворечивый способ придать значению «столько же» какой-то научный смысл это установить между двумя множествами взаимно однозначное соответствие. То есть каждому целому сопоставить некоторое натуральное и наоборот. Сделать это для множеств целых и натуральных чисел весьма просто (рис. 68):

Рис. 68. Натуральных чисел хватает, чтобы перенумеровать все целые числа.

То есть вы сможете все целые числа перенумеровать. У вас каждое целое число в конце концов получит один однозначно определенный номер. Да, кажется, что целых чисел вдвое больше, чем натуральных, но это неправда, на самом деле и тех, и других одинаковое количество. Мы их пересчитали (и ни одного не пропустили). Грубо говоря, целые числа можно перечислить. Все целые точки плоскости тоже можно перечислить (рис. 69).

Начинаю с точки (0, 0) это будет моя 1-я точка, и дальше по спирали. И в конце концов каждая целая точка плоскости получит свой один-единственный уникальный номер. Все номера будут заняты, все целые точки плоскости будут перечислены. Представьте себе, что у вас есть комната, в которой бесконечное количество стульев, и в нее заходит бесконечное количество учеников, как понять, что это одинаковые количества?