Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 16)

Я представлю вам два разных доказательства: ОДНО будет длинным, но геометрическим (и оно будет полезно для изучения других тем), второе — короткое стандартное доказательство.

Я проведу некую процедуру; ну, сделал это не я, а не кто иной, как Евклид 2,5 тысячи лет назад. Называется эта процедура алгоритмом Евклида. Разновидность алгоритма Евклида называется цепной дробью. Цепная дробь — это очень просто. Любое число можно разложить в цепную дробь. Ниже я покажу, что числа вида m/n в цепную дробь раскладываются конечным образом, а корень из двух в цепную дробь раскладывается только бесконечным образом.

Приведу пример: дробь 21/13.

Давайте посмотрим, как превращать это число в цепную дробь.

Выделим из этой дроби целую часть. Между какими двумя целыми числами она расположена?

Слушатель: Между 1 и 2.

А.С.: Правильно. Значит оно равно 1 плюс сколько?

Слушатель: Мне трудно из 21 вычесть 13.

А.С.: Ничего. Я вычту.

Слушатель: 8, да?

А.С.: Правильно, да.

21/13 = 1 +  8/13

Но это не всё, что я хотел сказать. Потому что я напишу так. Один плюс один разделить на тринадцать восьмых:

Этот фокус с переворачиванием дроби «вверх ногами» и выделением целой части из знаменателя мы будем повторять до тех пор, пока будет возможно. А возможность такая будет нам представляться до тех пор, пока на очередном шагу после выделения целой части дробная часть не окажется равна нулю. Если этого никогда не случится, то исходное число окажется разложенным в бесконечную цепную дробь.

Итак, продолжим разложение числа 21/13 в цепную дробь:

Стоп, машина. После выделения целой части из числа 2 дробная часть равна нулю. Значит, числу 21/13 «суждено» разлагаться в конечную цепную дробь. Если кто не верит, можете упростить эту «6-этажную» дробь, сделав из нее обыкновенную. Конечно, она будет равна 21/13.

Эту операцию придумал Евклид. Называется она — разложение числа в «цепную дробь». Обратите внимание. На последнем шаге мы попали в целое число 2 при переворачивании дроби 1/2. На этом всё заканчивается, так как из целого числа не удастся выудить дробную часть.

Другой пример:

Опять пришли к целому числу. Ура. Закончили.

Евклид утверждал, что для любой дроби за конечное число шагов мы придем к целому числу. Попробую это пояснить «без формул». Вы берете какую-то очень большую дробь, например, 17284/3415.

Что происходит в процессе, предложенном Евклидом? Мы просто несколько раз делим с остатком, и всё. На каждом шагу мы получаем «нечто» плюс что-то меньшее, чем то, на что мы делим. Идея в том, что на каждом шагу числа будут уменьшаться. Числитель и знаменатель — целые положительные числа, и они будут уменьшаться. Но целое число, любое положительное целое число, не может бесконечно долго уменьшаться, оно в конце концов «закончится». Оно придет к нулю за конечное число шагов.

То есть любое рациональное число непременно порождает конечную цепную дробь. А теперь я возьму и покажу, что корень из двух порождает бесконечную цепную дробь.

Вот этот фокус-покус. Если «корень из двух» — рациональное число, то процедура, которую я только что проводил, должна закончиться. Берем корень из двух. Между какими целыми числами он расположен? Вспомним, что, согласно теореме Пифагора, корень из двух — это длина диагонали квадрата с единичной стороной. Поэтому он расположен между 1 и 2 (см. рис. 65).

Рис. 65. Ловись, дробная часть — большая и маленькая! Видно, что диагональ больше стороны, но меньше сумм сторон.

Значит, корень из двух = 1 + дробная часть (она примерно равна 1,4142 − 1 = 0,4142).

Что я сделал? Прибавил единицу и отнял единицу. Больше ничего не делал. То есть я выделил целую часть из «корня из двух» (дробная же часть записана в скобках; она равна примерно 0,414).

Рис. 66. Выделенный отрезок и есть «корень из двух минус один».

Для получения дробной части я взял окружность радиуса 1, провел ее до пересечения с диагональю, и всё (см. рис. 66). Эта часть, без сомнения, меньше единицы. Далее для краткости обозначим «корень из двух» через К. А выражение К − 1 обозначим за С. Значит, С < 1. Поэтому будем эту часть «переворачивать»:

Поясню, почему 1/C превратилось в К + 1.

Я возьму числитель и знаменатель и домножу на одно и то же число (это не изменит значения дроби). Я числитель и знаменатель умножу вот на такое число: К + 1. Помним, что К · К = 2.

Начинаем открывать скобки:

А теперь, по общему правилу, выделяем целую часть.

Между каким двумя целыми числами находится √2 + 1?

Слушатель: Между двойкой и тройкой.

А.С.: Конечно. Поэтому, если я по правилу Евклида выделяю из него целую часть, то она равна?

Слушатель: 2.

А.С.: Значит я должен написать так:

Не правда ли, мы уже сталкивались выше с такой дробной частью?

Слушатель: И так до бесконечности будет повторяться?

А.С.: И так до бесконечности. Значит, исходное число — не рациональное.

Мы получим бесконечную цепную дробь:

Только бесконечное число шагов приведет вас к числу, равному К[19]. Но не конечное — а значит, число К иррационально, что и требовалось доказать. Теперь вы знаете, что есть такие числа, страшные числа, которые не представляются в виде «количество яблок поделить на количество гостей».

Мы еще вернемся к цепным дробям, ибо в них прячется истинная бесконечность.

Пока что дадим стандартное книжное доказательство того, что корень из двух — число не рациональное. Проводится оно от противного.

Предположим, что

K = m/n.

Тогда, если можно, сократим эту дробь. То есть, если m делится на простое число p, и n делится на то же самое простое число p, поделим и числитель, и знаменатель на p. После того как мы сократили всё, что только можно, одно из чисел обязательно будет нечетным. Может быть, оба нечетные, но по крайней мере одно из них точно будет нечетным. Потому что если оба четные, значит, можно было еще раз сократить на 2.

Рассмотрим квадрат равенства (3):

2 = m²/n²

Получим m² = 2n².

Это значит, что если на сетке нарисован квадратик с целочисленной стороной, то в нём количество единичных квадратиков такое же, как удвоенное количество квадратиков какого-то другого квадрата с целочисленной стороной (рис. 67).

Рис. 67. Что-то не получается нарисовать два таких квадрата. И это неспроста!

Значит, если К — рациональное число, то m² = 2n² — верное равенство. Тогда m — число четное, потому что оно делится на 2. Но если m делится на 2, то это значит, что m = 2к для некоторого целого числа к. Тогда m² = 4к².

Подставим в m² = 2n² значение для m². Получим 4к² = 2n².

Сократим на 2, получится 2k² = n².

Но тогда n тоже делится на 2. А значит, мы в начале этого процесса недосократили. Но мы же договорились досократить всё, что возможно. В этом и заключается противоречие — с тем фактом, что в выражении — √2 = m/n можно добиться того, что хотя бы одно из чисел m, n будет нечетным.

То, что √2 никогда не представляется в виде m/n, на самом деле означает то же самое, что равенство m² = 2n² всегда неверно. Никогда не получится взять один квадрат с целыми сторонами, умножить его площадь на два и получить другой квадрат с целыми сторонами (удвоенной площади). Ни для каких целых чисел.

Попробуем копнуть этот вопрос поглубже.

А может ли быть так, что они почти будут равны, например, m² = 2n² ± 1?

Вдруг мы сможем взять какие-нибудь огромные числа, возвести их в квадрат, умножить одно из них на 2 и выяснить, что результаты отличаются на 1. Может ли такое быть или нет? И если может быть, то насколько часто такое бывает? И можно ли полностью описать все пары целых чисел (m, n), которые удовлетворяют уравнению m² = 2n² ±1? Вопрос, который ставился еще древними — он называется «решение Диофантовых уравнений в целых числах».

Диофант жил в Александрии в III веке нашей эры. Он оставил после себя 13 томов математических изысканий, 6 из них худо-бедно, но дошли до нас, 7 — полностью и безвозвратно потеряны. 6 томов его изысканий до сих пор питают умы математиков. Диофант писал всё словесно. Примерно так: «Может ли быть такое, что одно число, будучи взятое то же самое число раз (то есть n · n) и еще столько же раз (то есть 2n · n), отличалось бы от другого числа, взятого другое же число раз (то есть m · m) всего лишь на единицу?» Так он записывал уравнение

2n² = m² ± 1.

Можно ли такое уравнение решить в целых числах или нет? Мы пишем символами, поэтому далеко продвинулись в математике. Но все идеи буквально, буквально все подряд были в этих шести томах. Если чего-то в них не было, то, видимо, оно было в пропавших. Но мы уже не узнаем этого.

Диофант — человек, оставивший фантастическое наследие. В 1651 году Пьер Ферма читал книгу Диофанта по целочисленной арифметике. Читал и комментировал ее на полях. А сын Ферма издал книгу с комментариями своего отца. На полях был кладезь математических сокровищ. В частности, в одном месте было обнаружено следующее. У Диофанта решалось в целых числах уравнение а² + b² = с². То есть он пытался выяснить, может ли быть так, что все числа целые? Древним было хорошо известно, что такое может быть. Например, числа (3, 4, 5), и много-много других примеров.

Первое решение, возможно, даже имело практическое применение 2,5 тысячи лет назад. Берем веревку, делим ее на 12 равных частей, завязываем узелки в местах деления. После чего связываем веревку в кольцо и делаем из нее треугольник так, чтобы на одной стороне было 5 узелков, на другой 4, а на третьей — 3.