Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 15)

Действительно, у нас и трехлетние дети знают, что такое −5 и −3. Это когда снег, и мама на голову шапку надевает.

Рис. 58. Наружный термометр — инструмент для освоения отрицательных чисел.

Это вот ваш градусник (рис. 58).

Нулевая температура. А может, 1, 2, 3, −1, −2, −3… градусов. Но между ними тоже что-то есть.

Слушатель: Да.

А.С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?

Слушатель: Да.

А.С.: Или три и три четверти градуса.

Слушатель: Да.

А.С.: То есть я могу назвать доли. Их сейчас даже в детсаду рассматривают.

Пришло ко мне на день рождения 15 детей. И, допустим, у меня есть 23 яблока. Я взял нож и аккуратно разрезал яблоки на 15 равных частей каждое. Каждому ребенку достанется 23/15 яблока, то есть по 23 дольки.

Это — число между единицей и двойкой:

1 < 23/15 < 2.

Такие числа древние отлично знали. Мы их называем рациональными, а они их называли дробями или просто числами. Рациональное число — это число, которое может выражать количество яблок, разделенное на количество детей. Пришло вот к вам «n», целое ненулевое число детей, а у вас имеется «m» — целое число яблок. Получаем рациональное число m/n. Числитель дроби может быть меньше нуля.

Ну, скажем, у вас было −5 яблок, и пришло 7 детей. Каждый получил −5/7 яблок.

Слушатель: Бедные дети…

А.С.: Или вы позвали 30 гостей на день рождения и сказали: «У меня −700 тысяч рублей, в смысле, я должен за квартиру 700 тысяч рублей. Скиньтесь, пожалуйста, поровну». Вот вам и минус: −700/30. Когда вы говорите о таких вещах, как долги, то сразу вылезают отрицательные числа. Я предлагаю вам понять, что все эти числа живут где-то на числовой прямой. Число 5/7 живет где-то между нулем и единицей (рис. 59). Давайте начнем шагать по оси шагами в одну сотую. Мы, на наш взгляд, целиком замостим нашу прямую: 211/100, −135/100 и т. д.

Puc. 59. Шаги-то получились меньше, чем точка от мелка!

И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь шагать шагами, равными 1/1000 или 1/000000. Где бы вы ни сидели на числовой оси, где-то рядом с вами, очень близко живет число вида m/n.

Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть числа, заведомо не представимые в виде m/n, ни при каких целых m и n (врезка 5).

Врезка 5. «Причина смерти — корень из двух!»[17]

Говорят, что пифагорейцы (ученики знаменитого философа и математика Пифагора) сначала верили, что для вычислений вполне хватает положительных рациональных чисел, и что в этом проявляется божественная гармония окружающего мира. Однако «не в меру способный» ученик Пифагора додумался до того, что строго доказал НЕИЗМЕРИМОСТЬ диагонали квадрата (с единичной стороной) с помощью рациональных чисел. Пифагорейцы в гробовом молчании выслушали его доказательство и не смогли его опровергнуть. Гармония мира оказалась под угрозой! Поэтому было принято решение: никому про это не рассказывать, а нарушителя мировой гармонии наказали… утоплением в реке, на берегу которой всё это и происходило. К счастью для математики, истина потом всё равно «воссияла».

Вот я и утверждаю, что корень из двух именно такое число. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат (рис. 60).

Рис. 60. Нарушители мировой гармонии — за работой.

Какой площади один маленький квадратик?

Слушатель: 1.

Какой площади будет получившаяся фигура?

Слушатель: 4.

А.С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали (см. рис. 61) и спрашиваю вас, чему равна площадь получившегося внутри квадрата?

Рис. 61. Внутренний квадрат — вдвое меньше по площади.

Слушатель: 2.

А.С.: Почему? Потому что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем у большого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона a, то площадь его равна a · a = a².

Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух» (рис. 62).

Рис. 62. Сторона внутреннего квадрата равна корню из двух по двум причинам: алгебраическая причина — теорема Пифагора и определение корня; геометрическая причина — соотношение площадей наружного и внутреннего квадратов равно двум.

А.С.: Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.

Слушатели: Да.

А.С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов[18]. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказывать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: a² + b² = c².

Мне нужно его доказать для любого прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c (рис. 63).

Рис. 63. Для каждого треугольника мы ниже покажем теорему Пифагора методом «Взгляни на чертеж — из него все ясно».

Беру два квадрата со стороной a + b.

Они будут одинаковы, но я их по-разному разобью на части (рис. 64).

Рис. 64. Слева и справа виден квадрат со стороной a + b. Он по-разному разбит на части, но и там, и тут мы видим 4 одинаковых треугольника (их стороны указаны на рис. 63). Убирая эти треугольники, слева видим квадрат гипотенузы, а справа — сумму квадратов катетов. Вот и всё доказательство.

Площадь внутри левого квадрата равна c².

Площади квадратов внутри правого квадрата равны a² и b².

Теперь смотрите, правый квадрат состоит из 4 треугольников и двух квадратов, а левый — из четырех таких же треугольников и одного квадрата. Но внешние квадраты имеют одинаковые площади. Из площади правого квадрата я вычел 4 одинаковые площади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площади оставшегося должны быть одинаковыми. В одном случае остается с², а в другом — сумма а² + b². Значит,

a² + b² = c².

Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, согласно тому, что я нарисовал, она и в самом деле ему равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный нашей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида m/n. Ни при каких m и n. Вы переберете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух.

Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы разберем ниже два разных доказательства.

Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы применим к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это число не может быть рациональным

Слушатель: То есть это несуществующее число?

А.С.: Существующее, но не в этом круге подозреваемых лиц. Это число существует, и оно очень нервировало греков, они не хотели допустить, что оно существует. Однако они отлично знали, что оно нужно для вычислений, но не выражается в виде отношения целых чисел. Они не понимали, что с ним делать. Вроде число не существует, а оно-таки есть. Оно не должно существовать, но оно существует. Числа, которые не представляются в виде m/n, называются иррациональными.

Что такое вообще «иррациональность»? Нелогичность. Неразумность. Иррациональное поведение, например. Но в математике, в отличие от философии, есть совершенно конкретные объекты, иррациональные числа. Это такие числа которые не представляются в виде m/n. Тем не менее, они вполне себе логичные и очень даже разумные.

Слушатель: А числа m и n, они целые?

А.С.: Целые. Непременно целые числа. Иррациональные числа — это числа, которые не являются отношением двух целых чисел. Рациональное число — это отношение двух целых.

Есть еще одно труднопроизносимое слово, оно тоже в философском смысле кое-что означает. Слово «трансцендентно». Что же оно означает в житейском (не математическом) смысле?

Слушатель: Находится за пределами.

А.С.: За пределами чего бы то ни было.

Слушатель: То есть иррациональное поведение — это поведение странное, но всё же в каких-то рамках. А трансцендентное — это что-то за пределами понимания окружающих.

А.С.: В математике трансцендентные числа — это тоже определенный термин. Им противопоставляются алгебраические числа. Согласно строгому математическому определению, алгебраическое число — это корень многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентным числом называется такое число, что ни один многочлен с целыми коэффициентами не обнуляется при подстановке вместо переменной х этого числа.

Внутри множества алгебраических чисел живут как все рациональные, так и корни любой степени и много, много чего еще. Очень много разных чисел. И вот трансцендентные — это те числа, которые не являются алгебраическими. Выдумать неалгебраическое число достаточно трудно. Сначала думали, что все числа алгебраические. А в XIX веке произошел взрыв в математике, было обнаружено огромное количество неалгебраических чисел — но это было только в XIX веке. Примером трансцендентного числа является знаменитое число «пи» — длина окружности с диаметром, равным 1. Доказательство трансцендентности одного-единственного числа «пи» занимает 10 лекций на 4-м курсе мехмата МГУ. Очень мало людей на Земле, которые знают это доказательство. Это — труднейшая теорема. А вот про иррациональность корня из двух всё очень просто.