Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 14)

Теперь представьте обратную задачу. Вы берете уже упавшую или под некоторым углом висящую палку. После чего придаете ей некоторый импульс — толкаете ее снизу вверх (рис. 55).

Рис. 55. Слева — слабый удар по стержню (он упадет обратно). Справа — сильный удар (стержень упадет с другой стороны от точки прикрепления).

Какие возможны варианты? Во-первых, толчок может быть слишком слабый. Что произойдет с палкой? Поднялась и упала обратно. Теперь, допустим, подошел какой-нибудь бугай. Бабах по этой палке. Она р-раз — и перелетела на другую сторону. Подходит кто-то немножко более сильный, чем я, но слабее, чем бугай. Толкает палку, а она всё равно падает.

Вы качались на качелях-перевертышах? Мое детство отчасти проходило в городе Мценске. И в парке там была такая закрывающаяся изнутри кабинка с противовесом наверху, которую раскачиваешь, раскачиваешь, раскачиваешь, и она «переворачивается»; противовес оказывается внизу, а кабинка сверху (но благодаря свободному подвесу кабинка при этом вверх ногами не переворачивается). Я замечал, что наверху она долго движется с более-менее постоянной скоростью. Мы знаем, что с постоянной скоростью движутся тела, на которые не действуют силы. На кабинку силы, конечно, действуют, но вертикально вниз. В момент, когда кабинка проезжает верхушку, сила перпендикулярна линии движения, поэтому скорость почти не меняется. И если аккуратно выверить движение, то кабинка практически остановится наверху.

Вернемся к нашей палке и нарисуем график. По горизонтальной оси — сила удара, по вертикальной — результат (рис. 56).

Рис. 56. Построение графика ступенчатого вида («отклик на удар»).

Если вы ударили слишком слабо, то результат будет палка — упадет обратно. Если очень сильно ударить, то результат — палка перевернется на другую сторону. И есть ровно одно вещественное число, одна сила удара, которую нужно придать палке, чтобы она остановилась вертикально. Вопрос. Сколько нужно времени в идеальном мире, в котором нет воздуха, трения и так далее, чтобы палка заняла вертикальное положение?

Слушатель: Смотря под каким углом было изначально.

А.С.: Нет. От того, под каким углом была изначально палка, зависит только то, с какой силой нам надо толкнуть палку. А времени понадобится бесконечный промежуток. Строгая математическая бесконечность. То есть, если палке придать такую силу, которая в точности достаточна для того, чтобы она достигла положения вертикального равновесия, то время, за которое палка будет достигать этого положения, равно плюс бесконечности. В условиях задачи, когда мы говорим об идеальной математике, мы, естественно, не учитываем, что вокруг меняются обстоятельства. В идеальной ситуации время равно бесконечности. Я посчитал всё это в 2000 году, потом рассказал физикам, а они сказали, что это очевидно, и всё они это давно знали. Наверное, кому-нибудь не хочется верить, что потребуется бесконечное количество времени. Я дам еще одно подтверждение. Давайте вернемся к тележке. Пусть это будет вагон, внутри которого находится наша палка на шарнире. Вагон едет по маршруту Москва — Петербург. И мне сообщили, с точностью до 100% (так, как у математиков бывает, а в жизни нет) информацию о скорости, с которой вагон будет двигаться (рис. 57).

Рис. 57. График изменения скорости поезда Москва — Петербург: скорость, с которой поезд выезжает, сначала слегка увеличивается, а потом достигает максимума и далее обращается в нуль (остановка в Бологом). После этого скорость снова растет, чтобы не было опоздания в пункт назначения.

Утверждение. Существует такое положение палки, такой угол, в котором я могу ее выпустить из рук в начальный момент времени, что она не упадет в течение всей дороги. Существует такой угол альфа, что, если я придам железке на шарнире этот угол, то она всю дорогу будет болтаться туда-сюда, но никогда не упадет. Обоснование этого факта изложено ниже.

Эта задача разобрана в книге, которую я всем рекомендую: Р. Курант, Г. Роббинс, «Что такое математика?». Еще раз отмечу, что мне в этой задаче известен точный график движения поезда.

Ключ к решению этой задачи — в использовании идеи непрерывности. Мы один раз уже с ней столкнулись в предыдущей задаче: есть такой импульс, получив который, палка не упадет ни направо, ни налево. Она встанет вертикально, но через бесконечное время. Задача про вагон, в котором движется железный стержень на шарнире, напрямую относится к предыдущей. Давайте посмотрим. Если палка уже лежит, то она будет всегда лежать. Она никогда никуда не встанет. А теперь рассмотрим для каждого начального угла поворота этой палки, в какое положение она в конечном счете ляжет: направо или налево. А если она останется висеть, значит, мы нашли то, что нам нужно.

Если палка ляжет, то она ляжет в одно из этих двух положений. Причем уравнения движения таковы, что если чуть-чуть поменять угол, совсем чуть-чуть, сторона падения не изменится. Если палка падала направо, то чуть-чуть изменив угол, вы не измените результата. Она всё равно упадет направо. Тем самым, если в одном положении она падала, скажем, направо, значит, и в близких начальных положениях она тоже должна падать направо. То есть, как говорят математики, множество положений, в которых она упадет направо — открытое множество. «Открытое» — значит, вместе с какой-то точкой содержит все близкие к ней точки. Если из какого-то положения палка падает, то из всех достаточно близких положений она упадет в ту же сторону.

Интуитивно понятно, что мы можем всегда приподнять палку настолько мало, что она непременно упадет обратно. Давайте медленно изменять положение палки. В каких-то положениях она будет падать направо, а в каких-то — налево. Значит, где-то есть переход, угол, такой, что всюду справа она падает направо, всюду слева — налево[14]. Что же это за угол? Единственный факт, который мы можем сообщить про этот угол, это что для такого угла палка не упадет вообще. Ничего другого про него не известно. Парадоксально, но это факт! Если вы в это поверили (а я вас не обманываю), тогда в том, что в близком к вертикальному положению палка может находиться сколь угодно долго, вас убедит следующее соображение. На стоянке в Бологом поезд может стоять 10 минут, а может — час. И в течение этого часа палка не упала. Она ведь не падала всю дорогу, в частности, она не упала и в течение стоянки. Что же она делала в это время?

Слушатель: Двигалась.

А.С.: Она находилась очень близко к вертикальному положению. Потому что, если бы она чуть-чуть от него отклонилась, она рухнула бы. Поэтому во время стоянки она была очень близко к вертикальному положению. А так как стоянка может быть сколь угодно долгой, из этого следует, что палка в районе вертикального положения может находиться сколь угодно долго. Поэтому-то она будет подниматься в него бесконечное время.

Это — наше второе знакомство с бесконечностью. Сейчас будет третье.

Слушатель: Гвоздь программы.

А.С.: Бесконечность — это гвоздь программы, безусловно. Потому что бесконечность — это центральное понятие в математике. Математика — это шаг через бесконечность. Освоение математики — это когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это — наука о бесконечности. В этом смысле математика и религия дополняют друг друга. Религия — это знание о бесконечности, математика — это наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.

Сейчас мы поговорим о бесконечности в некотором другом разрезе, геометрическом.

Помните ли вы, что такое квадратный корень? Корень квадратный из 100 — это 10. Потому что 10 х 10 = 100. А вот что такое корень квадратный из двух — это не так понятно. А что такое рациональное число? Если вы не знаете, не страшно. Но что такое целое число, знают все. Целые числа — это ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее в положительную сторону, но также минус один, минус два, минус три, минус четыре и так далее — в отрицательную. У древних была большая проблема с отрицательными числами. Число, бесконечность, уравнение — это всё то, с чем математики всё время имеют дело. Что такое число? Для древних число — это то, чем мы считаем предметы. Более того, до сих пор натуральными числами часто называют числа, используемые для подсчета предметов. Ноль — это для древних уже было что-то странное. Число или не число? Натуральное ли оно? Ноль — это отсутствие предметов. Отсутствие — это количество или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Значит, вы считаете, что ноль все-таки натуральное число[15]. А отрицательных чисел у древних греков не было. Вот если бы математика началась в России, то проблем с этим не было бы. Потому что −1, −10 — это мороз, снег идет. Всё понятно — на улице отрицательная температура.

Когда я учился в школе, к нам как-то приехали американцы. И они сказали, что уровни умственного развития школьников в России и в Америке различаются как небо и земля[16]. На что я заметил, что всё очень просто. В Америке редко бывают отрицательные температуры, и поэтому у школьников есть проблема с постижением отрицательных чисел. Американец сильно задумался (тем более, что у нас градусы Цельсия, а у них Фаренгейта!).