Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 13)

А.С.: А если я проделаю это бесконечное количество раз? Тогда что я получу?

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1.

Слушатель: Ноль.

Другой слушатель: Единицу.

А.С.: Я получу число один, причем в точности число 1.

Почему в точности? Потому что каждый раз число получалось не больше единицы, это очевидно. Значит, мы не можем получить число больше единицы. Но какое бы маленькое число мы не взяли, в конце концов 1/n станет меньше его. На самом деле у нас в знаменателе вместо n стоят степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192…

Они очень быстро растут, поэтому 1/2ⁿ — очень быстро уменьшается. И в итоге очередное расстояние до числа «1» станет меньше любого наперед заданного числа. То есть они уходят в ноль. Получается, что наша сумма неограниченно приближается к единице, и вот тогда математик говорит: «Следовательно, она равна единице». Всё. Вот он, предельный переход. Это то, что учат в матанализе на любом факультете любого вуза. Больше ничего в нём нет[13].

Слушатель: А если здесь просто включить житейскую мудрость и подумать, что мы отрезали от одного целого яблока?

А.С.: Да. В данном случае можно. Но житейская мудрость — она такая штука, что она иногда не работает. Давайте решим такую задачу.

Кузнечик сначала прыгает на один метр, а потом на 1/2 метра, а потом — на 1/3, а потом — на 1/4, а потом — на 1/5, и так далее… Вот он прыгает и прыгает. Есть ли предел того, куда он может допрыгать?

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...

Слушатель: Да.

А.С.: При наивном подходе кажется, что есть, потому что «шажки все меньше и меньше». Но тем не менее, друзья мои, вы будете смеяться, или удивляться, или поражаться, или возмущаться, но

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... = +∞

(т. е. эта сумма равна бесконечности).

Нет никакого предела тому, куда может дойти этот кузнечик. Никакого. Он может дойти до Луны, может дойти до Солнца, и далее, прямо в Космос!

В прошлом примере у нас шажки были всё меньше и меньше, они стремились к нулю, но в сумме получилось число, равное единице. А эти шажки, хотя и тоже всё меньше и меньше, но уйти этими шажками можно до бесконечности, вот такая загадка природы. Хотите, покажу, почему?

Слушатели: Да.

А.С.: Вот смотрите, сейчас я с кузнечиком сделаю страшную штуку, я сейчас его заменю на кузнечика, который шагает еще медленнее. А именно: кузнечик этот будет шагать следующим образом.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/4,

то есть вместо одной трети, он шагает на одну четверть. Не правда ли, такой кузнечик будет отставать от первого?

Слушатель: Да.

А.С.: А теперь вместо одной пятой я сразу одну восьмую поставлю. То есть первый кузнечик на одну пятую шагает, а мой, второй — он сразу прямо раз — и «скис» — только на одну восьмую. И так 4 раза по одной восьмой:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8.

А вместо одной девятой я напишу что?

Слушатели: Одну шестнадцатую?

А.С.: Правильно. Одну шестнадцатую, и так повторим эту добавку 8 раз. А дальше я что напишу? Вместо одной семнадцатой?

Слушатель: Одна тридцать вторая.

А.С.: Одну тридцать вторую. Отлично. И повторим ее 16 раз!

1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/32 + ...

Похоже, что второй кузнечик всё время отстает от первого. Небось, он совсем отстанет от него: ведь первый, как мы утверждаем, ускачет на бесконечное расстояние. Нет, самое страшное здесь вот что. Хоть второй и отстает, но он ТОЖЕ ускачет на бесконечное расстояние. Чему равна сумма 1/4 + 1/4 (двух равных слагаемых)?

Слушатель: 1/2.

А.С.: Отлично. А такая: 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8?

Слушатель: Одна вторая.

А.С.: Тоже одна вторая! А для шестнадцатых долей?

Слушатель: Тоже одна вторая.

А.С.: Теперь вы поняли, почему он дойдет до бесконечности?

Слушатель: Нет.

А.С.: Потому что мы каждый раз, в каждой очередной группе шагов, будем получать в сумме 1/2. Значит, он всё снова и снова отходит на 0,5. А таких «одних вторых»-то бесконечное количество штук. Вот он и уйдет на бесконечность.

и так далее. Значит, на бесконечность тем более ускачет и первый кузнечик!

Но самое неожиданное я приберег на конец. (Берёт в руки мяч и держит его над полом.) Уроним этот мяч и послушаем, сколько раз он ударится.

Слушатель: Бесконечность.

А.С.: Правильно. Бесконечность, но она будет «преодолена» за конечный промежуток времени. Законы физики это подтвердят. Единственное, что, к сожалению, в атомных размерах законы физики меняются (надо применять квантовую механику), и эта идиллия прекращается. Но если бы ньютоновская механика была верна до самого конца, то любой мяч, если его отпускают, за конечное время делал бы бесконечное число подскоков. То есть он устроен, как задача с яблоком. Потому что каждый следующий подскок, по законам физики, составляет по высоте некоторый процент от предыдущего. Но процент от любой положительной величины — это положительная величина. Поэтому каждый следующий подскок — это тоже положительная величина, а значит, их будет бесконечное количество. Но они суммируются по времени. Время подскоков суммируется, а сумма стремится к некоторому числу. Временные промежутки будут всё короче и короче и, грубо говоря, за 2 секунды мяч уже бесконечное число раз подпрыгнет и ляжет на землю тихо. За конечное время бесконечное количество прыжков…

До встречи на лекции 3!

Лекция 3

На просторах бесконечности

А.С.: В прошлый раз я успел поговорить про бесконечность. Умение работать с бесконечностью, умение через бесконечность перешагивать, умение различать разные бесконечности — это основная работа в математике. Как могут быть разные бесконечности? Кажется, что либо что-то конечное, либо бесконечное. Но нет. На самом деле бесконечности бывают разные. На прошлой лекции мы говорили про сходящиеся и расходящиеся ряды. То есть рассматривали суммы с бесконечным количеством слагаемых.

Например, сумма 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., как выяснилось, стремится к бесконечности. То есть становится больше любого наперёд заданного числа. Скажите ей: «Будь больше 1000». Тогда нужно взять много слагаемых.

Возьмем 2²⁰⁰⁰ членов. Оказывается, тогда их сумма будет больше 1000. Скажете: «Будь больше 1000000». Тогда нужно взять 2^2000000 членов. Их сумма будет больше миллиона. И так далее.

А вот этот ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … тоже состоит из бесконечного числа членов, но его сумма никогда не станет больше, чем двойка.

Теперь еще одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где-то зимой, мы были в лесу в районе станции Радищево, праздновали чей-то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершенно сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пилить. Пилили-пилили, пилили-пилили и допилили. Дерево сделало «тцук…» и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а полностью спиленное дерево стоит и падать не собирается (рис. 52).

Рис. 52. Пальцем слегка толкнем это дерево.

Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадет — совершенно не предсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «внимание, внимание, до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное дерево и прислонили его к спиленному где-то на высоте десяти метров. Навалились, и оно поддалось (рис. 53).

Рис. 53. Дерево с контрфорсом.

Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чудовищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва-едва. Где-то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и только потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рухнуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под действием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными. Это означает, что скорость изменения скорости, то есть то, что называется ускорением, зависит от сил, которые действуют на тело. Это — один из основных законов физики, он позволяет свести всё, что есть в обычной, не квантовой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, исследовав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.

Я начинаю рассуждать, что дерево — это просто вертикальная палка, без толщины. Она стоит совершенно вертикально, но обладает массой. Массивная вертикальная палка. Кто-то толкает ее сверху. Ударит человек — палка падает (скажем) 1 минуту. Пролетит голубь, заденет — будет падать 10 минут. Начальная скорость верхней точки будет, скажем, 1 мм/с. И очень долго скорость почти не будет меняться. А если врежется муха, то палка будет падать час. Уравнение выдает удивительный результат: на самом деле нет никакой границы на время падения дерева, вообще никакой.

Рассмотрим похожую задачу. Есть вагончик, в котором на шарнире установлена тонкая железная вертикальная палка. Чуть-чуть вправо или влево она падает, так же, как и рассмотренное выше дерево.

Рис. 54. Падающее дерево едет в вагоне…