Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 44)

Одна из вариаций на тему Фурье открыла нам путь к современным медицинским сканерам. Ее изобретателем был Иоганн Радон. Родился он в 1887 году в городе Течен в Богемии, области Австро-Венгрии (ныне это Дечин в Чешской Республике). По всем отзывам это был дружелюбный и симпатичный человек, спокойный, воспитанный и легко сходившийся с другими. Подобно многим ученым и людям свободных профессий, он любил музыку, а в те времена, до появления радио и телевидения, люди часто собирались у кого-нибудь дома и музицировали. Радон хорошо играл на скрипке и прекрасно пел. Как математик, он поначалу работал над вариационным исчислением – именно ему была посвящена его докторская диссертация – и естественным образом переключился на новую быстро растущую область функционального анализа. В этой области, начало которой положили польские математики под руководством Стефана Банаха, ключевые идеи классического анализа интерпретировались заново с точки зрения функциональных пространств бесконечной размерности.

На начальном этапе развития математического анализа математики сосредоточивались на вычислении таких вещей, как производная функции, то есть скорость ее изменения, и ее интеграл, то есть площадь под графиком функции. С развитием предмета фокус сместился на общие свойства операций дифференцирования и интегрирования и на то, как они ведут себя в случае комбинации функций. Если сложить две функции, что произойдет с их интегралами? На передний план вышли особые свойства функций. Непрерывна ли функция (нет ли у нее скачков)? Дифференцируема ли она (плавно ли изменяется)? Интегрируема ли (имеет ли смысл площадь)? Как связаны друг с другом эти свойства? Как все это работает, если взять предел последовательности функций или сумму бесконечного ряда? Какого рода предел или сумму?

Банах и его коллеги сформулировали эти более общие вопросы с точки зрения «операторов». Точно так же, как функция превращает одно число в другое, оператор превращает функцию в число или в другую функцию. Примеры – «взять интеграл» или «продифференцировать». Польские и другие математики обнаружили, что можно взять теоремы о числовых функциях и превратить их в теоремы об операторах функций. Получившееся в результате утверждение может быть истинным, а может и не быть: самое интересное здесь – понять, что, собственно, происходит. Идея получила развитие, потому что довольно скучные теоремы о функциях превращаются в очевидно более глубокие теоремы об операторах, но при этом доказать их зачастую можно теми же простыми методами. Еще один прием состоял в отбрасывании формальных вопросов о том, как интегрировать сложные формулы с синусами, логарифмами и т. п., и в переосмыслении основ. Чем на самом деле занимается математический анализ? Самым фундаментальным вопросом анализа оказалось измерение близости двух чисел. Она определяется разностью между ними в том порядке, который позволяет сделать разность положительной. Функция непрерывна, если маленькая разность между числами на входе дает маленькую разность между числами на выходе. Чтобы найти производную функции, нужно увеличить переменную на маленькую величину и посмотреть, как меняется значение функции в пропорции к этой маленькой величине. Чтобы играть в подобные игры на следующем уровне, с операторами, следует определить, что означает близость между двумя функциями. Сделать это можно множеством способов. Можно посмотреть на разность их значений в любой заданной точке и сделать так, чтобы эта разность была маленькой (во всех точках). Можно сделать интеграл этой разницы маленьким. Каждый вариант ведет нас к иному «функциональному пространству», содержащему все функции с заданными свойствами и снабженному собственной «метрикой» или «нормой». Если вернуться к аналогии между числами и функциями, то функциональное пространство играет роль множества действительных или комплексных чисел, а оператор – это правило преобразования функции из одного функционального пространства в функцию из другого функционального пространства. Преобразование Фурье – особенно важный пример оператора, преобразующего функцию в последовательность коэффициентов Фурье. Обратное действие преобразует последовательности чисел в функции.

С этой точки зрения большие фрагменты классического анализа внезапно становятся частью единой картины как примеры функционального анализа. Функции одной или нескольких действительных или комплексных переменных можно рассматривать как довольно простые операторы на довольно простых пространствах – на множестве действительных чисел, множестве комплексных чисел или векторных пространствах конечной размерности, образованных последовательностями таких чисел. Функция трех переменных – это всего лишь функция, или оператор, определенная на пространстве всех троек действительных чисел. Более заумные операторы, такие как «проинтегрировать», определены на (скажем) пространстве всех непрерывных функций, переводящих трехмерное пространство в пространство действительных чисел, с метрикой «интегрировать квадрат разности значений двух функций, о которых идет речь». Основное различие здесь в пространствах: пространство действительных чисел и трехмерное пространство имеют конечную размерность, а размерность пространства всех непрерывных функций бесконечна. Функциональный анализ во всем похож на обычный математический анализ, но применяемый к пространству бесконечной размерности.

Еще одна крупная инновация того периода тоже аккуратно встала на свое место в этой картине: это новая, более общая и более гибкая теория интегрирования, предложенная Анри Лебегом под названием «теория меры». Мера – это величина вроде площади или объема, позволяющая присвоить число множеству точек в пространстве. Интересная особенность здесь в том, что это множество может быть чрезвычайно сложным, хотя некоторые множества настолько сложны, что даже концепция меры Лебега к ним неприменима.

Вариационное исчисление, тема диссертации Радона, буквально «кричит» об операторах, как только мы видим, что речь в нем идет о поиске функций (не чисел) с оптимальными свойствами. Так что для Радона отход от классического вариационного исчисления и погружение в функциональный анализ были вполне естественным шагом. Это привело его к большому успеху – несколько важных идей и теорем в теории меры и функциональном анализе названы в его честь.

Среди них преобразование Радона, на которое он наткнулся в 1917 году. С точки зрения функционального анализа оно – близкий математический родственник преобразования Фурье. Для начала берется изображение на плоскости, которое рассматривается как черно-белая картинка с областями, окрашенными в различные оттенки серого. Любой оттенок может быть представлен действительным числом от 0 (черный) до 1 (белый). Можно сжать изображение в линию в любом направлении, сложив при этом числа, представляющие темные и светлые области и получив проекцию изображения. Преобразование Радона охватывает все эти сжатые проекции во всех направлениях. По-настоящему важная идея – обратное преобразование, позволяющее восстановить первоначальное изображение по этим проекциям.

Насколько я могу судить, Радон изучал свое преобразование из чисто математических соображений. В его статье, посвященной преобразованию, не упоминается какое-либо его практическое применение. Ближе всего к реальной жизни подходит краткое упоминание о связи преобразования с математической физикой, а именно с теорией потенциала, где сходятся электричество, магнетизм и тяготение. Радона, кажется, куда больше интересовала математика и возможные обобщения. В более поздней работе он исследовал трехмерный аналог этого преобразования, в котором распределение светлых и темных областей в пространстве сжимается до плоскости во всех возможных направлениях, и нашел формулу восстановления для этой операции. Позже другие математики отыскали обобщения для более высоких размерностей. Радон мог ориентироваться на рентгеновские лучи, которые порождают именно такого рода проекции органов и костей в человеческом теле: «светлое» и «темное» здесь интерпретируются как разница в прозрачности для рентгеновских лучей. Но потребовалось целое столетие, чтобы его открытие нашло применение в устройствах, способность которых зондировать внутренности человека кажется почти чудесной.

Аппараты компьютерной томографии (КТ) используют рентгеновские лучи для создания трехмерных изображений внутренностей человека. Эти изображения хранятся в компьютере, ими можно манипулировать, чтобы показывать кости и мышцы или чтобы обнаруживать раковые опухоли. Широко используются и другие типы сканеров, например ультразвуковые. Но как сканер выясняет, что находится внутри нашего тела, не вскрывая его? Мы все знаем, что рентгеновские лучи легко проходят сквозь мягкие ткани, тогда как более плотные ткани, например кости, менее проницаемы для них. Но рентгеновское изображение, полученное с определенного направления, показывает только среднюю плотность тканей на пути луча. Как подобный снимок превратить в трехмерное изображение? Радон начинает свою статью с заявления о том, что ему удалось решить эту проблему: