Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 43)
Это заявление сразу же окунуло Фурье с головой в спор, который шел уже несколько десятилетий. Тот же вопрос – мало того, с той же интегральной формулой – уже всплывал в исследованиях Эйлера и Бернулли, посвященных уравнению волнового движения. Там обычно в качестве любимого примера выступала идеальная скрипичная струна – и понятно, что нельзя заставить струну звучать, нарушив ее непрерывность: она просто порвется. Поэтому физическая интуиция подсказывает, что с представлением функций с разрывами могут возникнуть проблемы, а математическая интуиция усиливает сомнения, заставляя тревожиться о том,
Как получить прямоугольный график из синусов и косинусов.
Не желая никого обижать, замечу, что часть проблемы заключалась в том, что Фурье думал как физик, а его критики – как математики. Физически прямоугольный импульс имеет смысл как модель теплоты. Металлический стержень рассматривается как отрезок идеальной прямой – именно так, кстати говоря, Эйлер и Бернулли рассматривали скрипичную струну. Если теплота распределена равномерно по половине этого отрезка, а вторая половина намного холоднее и перепад между ними резок, то естественной моделью для такого распределения становится прямоугольная ступенька.
Ни одна модель не может быть абсолютно точным представлением реальности, но механика в те дни всегда работала с идеализированными объектами, такими как точечные массы, идеально упругие столкновения, бесконечно тонкие идеально жесткие стержни и т. д. Прямоугольная волна едва ли оказалась бы лишней в такой компании. Более того, математически решение Фурье предсказывает, что нарушение непрерывности сразу же сглаживается диффузией и превращается в резко изгибающуюся, но непрерывную кривую, которая постепенно уплощается, что разумно с физической точки зрения и устраняет математический разрыв. К несчастью, подобные аргументы были слишком неопределенными, чтобы убедить математиков – ведь те знали, что бесконечные ряды часто ставят тонкие и сложные вопросы. Представители Академии пришли к компромиссу: Фурье получил приз, но его работа так и не была опубликована.
Неунывающий Фурье опубликовал эту работу в 1822 году в виде книги «Аналитическая теория теплоты». Затем, чтобы всех подразнить, он умудрился получить должность секретаря Академии и сразу же напечатал свою оригинальную выигравшую приз статью в журнале Академии.
Потребовалось около 100 лет, чтобы окончательно разрешить математические вопросы, поднятые заявлениями Фурье. Говоря в целом, он был во многом прав, но ошибался в нескольких принципиальных вопросах. Его метод в самом деле работал для прямоугольного импульса, плюс-минус кое-какие поправки в отношении того, что происходит непосредственно в точке разрыва. Но метод определенно не работал для более сложных начальных распределений. Полное понимание ситуации пришло лишь после того, как математики разработали более общее понятие интеграла, наряду с топологическими понятиями, которые лучше всего формулируются в контексте теории множеств.
Задолго до того, как математическое сообщество разобралось наконец с тем, на что замахнулся Фурье, инженеры ухватились за его базовую идею и, по существу, присвоили ее и начали активно использовать. Они поняли, что сутью его работы было то, что ныне называют преобразованием Фурье, при котором сложный сигнал, изменяющийся во времени, может быть интерпретирован как комбинация простых сигналов с различными частотами. Формула интеграла Фурье подсказывает, как перенести точку наблюдения из временно́й области в частотную и обратно – при этом используется почти та же самая формула, что устанавливает «дуализм» между двумя представлениями.
Этот дуализм означает, что преобразование обратимо, то есть можно восстановить первоначальный сигнал по частотам, которые он создает. Это как перевернуть монету с орла на решку, а затем обратно. Полезность этой процедуры для инженерного дела состоит в том, что некоторые свойства, которые трудно обнаружить во временно́й области, становятся очевидными в частотной области. Это может работать и в обратную сторону, так что мы получаем два очень разных метода анализа одних и тех же данных, и каждый из них естественным образом выявляет именно те черты, которые упускает второй.
Например, реакция высотного здания на землетрясение во временной области кажется случайной и хаотичной. Однако в частотной области можно увидеть несколько больших пиков на определенных частотах. Эти пики позволяют выявить резонансные частоты, которые вызывают особенно сильную реакцию здания. Чтобы здание не рухнуло при землетрясении, необходимо подавить эти частоты. На практике здание ставят на массивное бетонное основание, имеющее возможность двигаться из стороны в сторону. Затем это боковое движение «гасится» гигантскими грузами или пружинами.
Еще одно применение преобразования Фурье восходит к открытию структуры ДНК Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном. Ключевым свидетельством, подтвердившим их правоту, тогда стала фотография дифракции рентгеновских лучей на кристалле ДНК. Для получения такого снимка пучок рентгеновских лучей пропускают сквозь кристалл, который заставляет их отклоняться и отражаться, – такое поведение и называют дифракцией. Волны, как правило, собираются в группы под определенными углами, согласно закону дифракции Лоуренса и Уильяма Брэгга, и на снимке появляется сложная геометрическая композиция из множества точек. Дифракционная картина представляет собой, по существу, своего рода преобразование Фурье позиций атомов в молекуле ДНК. Применив обратное преобразование (сложный расчет, реализовать который сегодня намного проще, чем тогда), можно получить форму молекулы. Как я уже сказал, преобразование иногда делает структурные особенности очевидными, хотя разглядеть их в оригинале довольно трудно. В данном случае опыт работы с другими рентгеновскими дифракционными картинами помог Крику и Уотсону сразу же, без вычисления обратного преобразования, понять, что молекула представляет собой спираль. Другие идеи позволили уточнить это представление, что и привело в конечном итоге к открытию знаменитой двойной спирали, существование которой позже удалось подтвердить при помощи преобразования Фурье.
Это всего лишь два случая практического применения преобразования Фурье и его многочисленной родни. В числе других можно назвать улучшение радиоприема, устранение шума, создаваемого царапинами на старых виниловых пластинках, улучшение эффективности и чувствительности гидролокационных систем, используемых подводными лодками, и устранение нежелательных колебаний в автомобилях на стадии их конструирования.
И все это, как вы можете заметить, не имеет никакого отношения к теплопередаче. Непостижимая эффективность. Главное – это не физическая интерпретация задачи, хотя она вполне могла серьезно повлиять на оригинальную работу, а ее математическая структура. Одни и те же методы применяются при решении задач с одинаковой или похожей структурой, и здесь на сцене появляются сканеры.
Математиков тоже заинтересовало преобразование Фурье, и они перевели его на язык функций. В общем случае функция – это математическое правило превращения одного числа в другое, например «возведение в квадрат» или «извлечение кубического корня». Все традиционные функции, такие как многочлены, корни, экспоненты, логарифмы, и тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) включены в это понятие, но могут существовать и более сложные «правила», которые не выражаются формулами, – взять хотя бы прямоугольный импульс, принесший Фурье так много огорчений.
С этой точки зрения преобразование Фурье берет функцию одного типа (первоначальный сигнал) и преобразует ее в функцию иного типа (список частот). Существует также обратное преобразование, компенсирующее действие прямого. А их двойственность – тот факт, что обратное преобразование почти совпадает с прямым, – представляет собой первоклассный бонус. Корректным контекстом для подобных вещей являются пространства функций с определенными свойствами: функциональные пространства. Гильбертовы пространства, используемые в квантовой теории (глава 6), – это функциональные пространства, где значениями функций являются комплексные числа, а их математика находится в близком родстве с математикой преобразования Фурье.
Математики-исследователи неизменно приобретают устойчивый рефлекс. Когда предлагают новую идею, обладающую замечательными и полезными свойствами, они сразу же задумываются, а нет ли аналогичных идей, которые использовали бы тот же прием в иных обстоятельствах. Существуют ли другие преобразования, подобные преобразованию Фурье? Другие варианты двойственности? Специалисты по теоретической математике ищут ответы на эти вопросы абстрактными и обобщенными способами, тогда как прикладники (а также инженеры, физики и бог знает кто еще) сразу начинают думать о том, как все это можно использовать. В данном случае хитроумный прием Фурье положил начало целой отрасли преобразований и двойственностей, не исчерпавшей свои возможности и по сей день.