Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 45)
При интегрировании функции двух переменных
Ответ – обратное преобразование Радона, то есть формула, восстанавливающая внутреннее распределение тканей (точнее говоря, степени их непроницаемости для рентгеновских лучей) по множеству проекций со всех направлений.
Чтобы понять, как это работает, для начала опишем, что можно увидеть на единственном скане (проекции) тела. Такой скан берется на одном двумерном срезе тела. На картинке схематически изображены параллельные рентгеновские лучи, проходящие через срез тела, содержащий несколько внутренних органов с разной степенью непроницаемости для рентгеновских лучей. Проходя сквозь эти органы, лучи меняют интенсивность. Чем более непроницаем орган, встретившийся на пути луча, тем ниже интенсивность луча на выходе. Мы можем построить график изменения наблюдаемой интенсивности в зависимости от положения луча.
Чем темнее область, тем менее она проницаема.
В результате одно изображение такого рода сжимает распределение серого внутри тела вдоль направления луча в точку. Технически мы получаем проекцию распределения в этом направлении. Понятно, что одна проекция такого рода не может сказать в точности, как расположены органы внутри тела. Например, если сдвинуть черный орган в направлении луча, проекция не изменится. Однако если сделать еще один скан, рассматривая тело в вертикальном направлении, то изменение положения черного кружочка будет заметно на графике непроницаемости. Интуитивно понятно, что можно получить еще больше информации о пространственном расположении органов и тканей, сделав серию сканов, слегка повернутых относительно друг друга. Но достаточно ли будет информации, чтобы определить положение всех значимых деталей в точности?
Превращение графика непроницаемости в серию полос, окрашенных в оттенки серого и выстроенных в направлении рентгеновского луча
Как доказал Радон, если имеются графики непроницаемости для случаев, когда срез тела рассматривается со всех возможных направлений, то можно определить двумерное черно-белое распределение тканей и органов в точности. Мало того, существует очень простой способ сделать это – обратная проекция. Он позволяет как бы размазать черно-белое распределение вдоль направления луча, причем размазать однородно. Так что мы получаем квадратную область, заполненную серыми полосками разных оттенков. Чем выше в данном месте график, тем темнее получается полоска. Мы интуитивно размазываем серый цвет вдоль полоски, поскольку не можем определить из одной проекции, где именно располагаются конкретные внутренние органы.
Мы можем проделать эту операцию для каждого направления оригинальной серии сканов. Обратная формула Радона говорит, что, если наклонить все эти полосатые картинки на соответствующий угол и наложить друг на друга, так чтобы в каждой точке оттенки серого сложились, то результат – надлежащим образом отмасштабированный – покажет первоначальное распределение внутренних органов. На следующем рисунке видно, как это работает, если первоначальное изображение – квадрат и мы восстанавливаем его при помощи обратной проекции с нескольких (от 5 до 100) направлений. Чем больше направлений, тем лучше результат.
Восстановив распределение тканей в одном срезе, мы сдвигаем тело вдоль оси прибора на небольшое расстояние и проделываем эту же операцию еще раз. И еще, и еще, пока не нарежем тело условными плоскостями на ломти, как батон внарезку. После этого можно собрать ломтики, сложить их в компьютере и получить полное описание трехмерного распределения тканей. Этот метод определения трехмерной структуры по серии двумерных срезов известен как томография и давно используется микроскопистами, поскольку позволяет заглянуть внутрь твердых объектов, таких как насекомые или растения. Объект при этом заливают воском, а затем отрезают от него тончайшие ломтики при помощи устройства, похожего на миниатюрную машинку для нарезки колбасы и называемого микротомом (от греческих слов
После этого остается только прибегнуть к рутинным математическим методам обработки трехмерных данных и получения всевозможной информации. Мы можем посмотреть, как выглядели бы ткани на сечении, взятом под совершенно другим углом, или показать только ткани определенного типа, или обозначить условными цветами мышцы, органы и кости. В общем, любые украшательства, на ваш вкус. Главные инструменты здесь – стандартные методы обработки изображений, опирающиеся в конечном итоге на трехмерную координатную геометрию.
На практике все далеко не так просто. Сканер, конечно, делает не бесконечное число снимков с непрерывного множества направлений, а просто большое конечное их число с близких дискретных направлений. Алгоритмы математической обработки приходится модифицировать, чтобы учесть этот факт. Полезно, например, фильтровать данные, чтобы избежать помех на изображении, возникающих в результате использования дискретного множества направлений. Но базовый принцип остается тем же, что выработал Радон более чем за 50 лет до изобретения первого сканера. Английский инженер-электрик Годфри Хаунсфилд построил первый работоспособный сканер в 1971 году. Теорию разработал в 1956–1957 годах американский физик южноафриканского происхождения Аллан Кормак, а опубликована она была в 1963–1964 годах. В то время Кормак не знал о результатах Радона, так что он вывел все, что требовалось, самостоятельно, но позже наткнулся на статью Радона, которая носит более общий характер. Разработка метода и прибора для компьютерной томографии принесла Хаунсфилду и Кормаку в 1979 году Нобелевскую премию по физиологии и медицине. Их аппарат стоил $300. Сегодня стоимость коммерческого КТ-сканера составляет порядка $1,5 млн[9].
Сканеры используются не только в медицине. Египтологи, например, теперь привычно прибегают к их помощи при изучении мумий. Они могут осмотреть скелет и оставшиеся внутренние органы, поискать признаки переломов и болезней и выяснить, где спрятаны религиозные амулеты. Музеи часто добавляют в свои экспозиции виртуальные мумии, снабдив их тачскрином, которым могут управлять посетители: они могут сами снять полотняные пелены слой за слоем, затем удалить кожу, затем мышцы, пока не останутся одни кости. Все это делается при помощи математики, воплощенной в компьютере: трехмерная геометрия, обработка изображения, методы отображения графической информации.
Существует немало и других типов сканеров. Есть ультразвуковые аппараты; аппараты позитронно-эмиссионной томографии (ПЭТ), регистрирующие элементарные частицы, испускаемые радиоактивными веществами, которые вводятся в организм; магнитно-резонансные томографы (МРТ), регистрирующие магнитные эффекты в ядрах атомов. Последние одно время называли сканерами на эффекте ядерного магнитного резонанса (ЯМР), пока рекламщики не сообразили, что слово «ядерный» может отпугивать людей. И у каждого типа сканера своя математическая история.
10
Улыбнитесь, пожалуйста!
Единственная задача камеры – не мешать процессу создания фотографии.
Каждый год человечество загружает в интернет около триллиона фотографий. Судя по этой цифре, мы излишне оптимистично оцениваем интерес других людей к нашим отпускным селфи, родившемуся в семье ребенку и другим объектам, некоторые из которых даже упоминать не стоит. А снимают сейчас все: делается это быстро и просто, а в телефоне у каждого имеется камера. В работе и производстве этих камер огромную роль играет математика. Крохотные высокоточные объективы – настоящее чудо техники, невозможное без сложнейшей математической физики, связанной с преломлением света трехмерными телами с изогнутыми поверхностями. В этой главе я хочу сосредоточиться всего на одном аспекте современной фотографии: сжатии изображений. Цифровые камеры, самостоятельные или встроенные в телефон, хранят очень подробные изображения в виде двоичных файлов. Создается впечатление, что карты памяти способны хранить больше информации, чем должно на них помещаться. Как же удается заключить так много детальных картинок в небольшой компьютерный файл?