Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 14)

Слева: начальный этап геометрической интерпретации заполняющей пространство кривой Пеано. Справа: начальный этап построения заполняющей пространство кривой Гильберта

Заполняющие пространство кривые применяются в компьютерных вычислениях, в частности при хранении и считывании многомерных данных{27}. Базовая идея состоит в том, что мы можем обходить многомерный массив по приближенной заполняющей пространство кривой, упрощая таким образом задачу и сводя ее к одномерному случаю. Еще одно практическое применение – это быстрое и приблизительное решение задачи коммивояжера. Идея заключается в наложении конечной аппроксимации заполняющей пространство кривой на область с городами, определении последовательности городов на кривой, а затем в посещении их в этом порядке, пользуясь на каждом этапе кратчайшим связующим путем. В результате получается маршрут, который обычно не более чем на 25 % превышает по длине оптимальный{28}.

Какие еще фигуры может заполнить кривая? Построение Гильберта можно расширить на три измерения, получив кривую, заполняющую единичный куб, а вообще, кривые могут заполнять гиперкубы любой размерности. Последнее слово в этом вопросе – теорема, которую доказали Ханс Хан и Стефан Мазуркевич. Она полностью характеризует топологические пространства, которые может заполнить кривая{29}. Как оказалось, эти пространства могут быть практически любыми при условии, что они компактны (имеют конечную протяженность) и удовлетворяют нескольким формальным условиям, позволяющим исключить всякие глупости.

Возможно, последнее слово все еще остается за коммивояжером. В 1992 году Санджив Арора и его коллеги{30} обнаружили, что класс сложности NP («легко проверяемые») обладает любопытным свойством, которое ставит под сомнение перспективы нахождения алгоритмов класса P («легко вычислимые»), дающих хорошие приближенные решения. Они доказали, что если P ≠ NP и размер задачи превышает пороговое значение, то вычислить хорошее приближение к ответу не проще, чем найти сам ответ. Единственной альтернативой этому выводу могло бы стать равенство P = NP, что могло бы принести доказавшим миллион долларов, но так и остается гипотезой.

Работа ученых связана с поистине замечательной идеей: прозрачными доказательствами. Доказательства – суть настоящей математики. В большинстве областей науки теории можно сверить с реальностью при помощи наблюдений или экспериментов. Математика лишена такой роскоши, но у нее есть свой способ проверки результатов. Во-первых, они должны подтверждаться логическим доказательством. Во-вторых, это доказательство необходимо проверить, чтобы убедиться в отсутствии ошибок и упущений. Такого идеального состояния трудно добиться, и на самом деле математики делают не совсем это, но, по крайней мере, цель они ставят перед собой именно такую. Все, что не проходит такой тест, сразу же объявляется «неверным», хотя и может оказаться полезным как шаг в нужном направлении – к получению доказательства, которое будет верным. Так что со времен Евклида и до наших дней математики тратят много времени на тщательное рассмотрение и проверку доказательств, как своих собственных, так и чужих. Они проверяют доказательства строка за строкой в поисках того, с чем они согласны, и того, что кажется не слишком правдоподобным.

В последние годы появился еще один способ проверки доказательств: при помощи компьютера. Для этого нужно написать доказательство на языке, который компьютер способен обрабатывать алгоритмически. Метод работает, и на его счету уже ряд серьезных успехов в проверке труднейших доказательств, но пока он не вытеснил более традиционные методы. Побочным эффектом этой идеи стало повышение внимания к представлению доказательств в удобном для компьютера виде, который зачастую совершенно непохож на то, что приемлемо для человека. Компьютеры не возражают, когда от них требуют выполнения одного и того же миллионы раз подряд или проверки идентичности двух строк по тысяче двоичных символов в каждой. Они просто делают эту работу.

Математикам больше всего нравятся доказательства с ясным началом, серединой и концовкой, захватывающей историей от формулировки гипотезы до выведения теоремы. Повествование здесь важнее, чем придирчивая логика. Цели должны быть ясными, четкими и, самое главное, убедительными. При этом следует помнить, что математиков всегда было очень трудно убедить.

Специалисты по информатике, изучающие машинную проверку доказательств, предложили совершенно иной подход: интерактивные доказательства. Вместо того чтобы представлять доказательство как повествование, написанное одним математиком и читаемое другим, этот подход превращает доказательство в диспут. Один математик, традиционно его называют Пат, хочет убедить Ванну в том, что его доказательство корректно. Ванна, напротив, хочет убедить его, что он ошибается. Они задают друг другу вопросы и дают на них ответы, пока один из них не уступит. (Пат Саджак и Ванна Уайт были ведущими популярного американского телешоу «Колесо фортуны».) Все это напоминает партию в шахматы, где Пат обещает «мат в четыре хода». Ванна не соглашается, так что Пат делает ход. Ванна ходит в ответ: «А что, если я пойду так?» И Пат делает следующий ход. Этот обмен репликами продолжается до тех пор, пока Ванна не проиграет. После этого она начинает отыгрывать назад. «А если бы мой последний ход был таким на самом деле?» Пат ходит по-другому, шах и мат! И так продолжается до тех пор, пока Ванна не исчерпает возможные ответы, а Пат не выиграет, или до тех пор, пока он не признает, что мат в четыре хода невозможен. Согласно моему опыту, именно так ведут себя настоящие математики, когда работают вместе над решением исследовательской задачи, и споры разгораются нешуточные. А нарратив нужен, чтобы представить окончательный результат на семинаре.

Ласло Бабаи и другие ученые ввели методы «диалогового» доказательства такого типа в концепцию прозрачного доказательства, использовав при этом такие математические инструменты, как многочлены над конечными полями и корректирующие коды{31}. После отладки этих методов выяснилось, что компьютеры способны использовать одно свойство, которое несовместимо с ясностью и лаконичностью, а именно избыточность. Оказывается, любое логическое доказательство можно переписать таким образом, что оно станет намного длиннее, но при этом и ошибка, если она в нем присутствует, проявится едва ли не всюду. Каждый логический шаг размазывается по всему доказательству в виде многочисленных взаимосвязанных почти идентичных копий. Это немного напоминает принцип голограммы, где изображение преобразуется так, что его можно восстановить по любой небольшой части данных. После этого доказательство можно проверить, взяв из него небольшой случайный образец. Ошибка почти наверняка окажется в нем. Сделайте это, и вы получите прозрачное доказательство. Интересующая нас теорема о невозможности существования приближенных решений класса P – следствие этой процедуры.

Вернемся к голубиной статье Гибсона, Уилкинсона и Келли в журнале Animal Cognition. Авторы начинают с замечания о том, что в последнее время задача коммивояжера используется для исследования некоторых аспектов когнитивных процессов у людей и животных, в первую очередь способности планировать действия до их осуществления. Однако долгое время было неясно, ограничивается ли эта способность приматами. Могут ли другие животные тоже планировать действия заранее, или они просто следуют жестким правилам, выработанным в процессе эволюции? Исследователи решили использовать голубей в лабораторных испытаниях с двумя или тремя точками-кормушками. Голуби стартуют из одного места, посещают все кормушки в каком-то порядке и улетают к финишу. Исследователи пришли к выводу, что «голуби отдавали предпочтение ближайшей локации, но, судя по всему, планировали на несколько шагов вперед, когда издержки неэффективного поведения очевидно возрастали. Результаты ясно свидетельствуют, что не только приматы способны планировать сложные маршруты передвижения».

В одном из интервью исследователи объяснили связь с голубем, мечтавшим водить автобус. По их мнению, водителя автобуса может беспокоить, что голубь не способен безопасно вести автобус. Еще больше его может беспокоить то, что голубь не сумеет выбрать маршрут, позволяющий подобрать всех пассажиров на остановках города. Судя по заголовку статьи, ученые сделали вывод, что вторая причина для беспокойства не имеет под собой оснований.

Пусть голубь ведет автобус.

Если правительствам стран мира и автопроизводителям удастся добиться своего, то очень скоро для управления автобусом не нужен будет ни водитель, ни голубь. Автобус будет ездить сам по себе. Мы на всех парах идем в дивную новую эпоху беспилотных транспортных средств.

А может быть, и нет.

Самым сложным аспектом для беспилотного транспорта является корректная интерпретация окружающей местности и обстановки. Снабдить авто собственными «глазами» несложно, поскольку маленькие камеры высокого разрешения сегодня производятся массово. Но зрению, помимо глаз, необходим мозг, так что автомобили, грузовики и автобусы должны получить также программы компьютерного зрения. Имея то и другое, они будут знать, что видят, и смогут реагировать соответственно.