Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 16)
Сегодня становится реальностью и другая мечта хирургов прошлого: пересадка органов. Пока нам, кажется, удается не испортить здесь ничего. Если обстоятельства складываются благоприятно, вы можете получить новое сердце, или новое легкое, или новую почку. Даже новое лицо. Когда-нибудь добрая свинка даже сможет вырастить для вас орган на замену, хотя и не добровольно.
В 1907 году американский медик-исследователь Саймон Флекснер, рассуждая о будущем медицины, предвидел появление возможности хирургической замены больных органов на здоровые от другого человека. Он называл в их числе артерии, сердце, желудок и почки. Первую пересадку почки провел в 1933 году советский хирург Юрий Вороной, который изъял почку у донора, умершего за шесть часов до этого, и пересадил ее пациентке в область бедра. Пациентка умерла через два дня, когда новая почка была отторгнута, потому что у донора была неподходящая группа крови. Самым серьезным препятствием для успешной пересадки органов является иммунная система организма, которая распознаёт новый орган как чужеродный и отторгает его. Первую успешную пересадку почки осуществил Ричард Лоулер в 1950 году. Донорская почка функционировала 10 месяцев, прежде чем была отторгнута, но к тому времени собственные почки пациентки пришли в норму, и женщина прожила еще пять лет.
Человек имеет две почки и вполне может жить с одной. Так что органы для пересадки могут быть получены от живого донора, что сильно упрощает процесс. Почка – самый простой орган для пересадки. Не так уж сложно убедиться, что ткани донора соответствуют по типу тканям реципиента и не будут отторгнуты, а на случай, если что-то пойдет не так, имеются диализные аппараты, которые выполняют функции почки. До появления в 1964 году иммунодепрессантов, предотвращающих отторжение донорской почки, пересадка почек от умерших доноров не проводилась (по крайней мере, в США и Великобритании). Почки для пересадки жертвовали живые доноры, и таких случаев было немало.
В большинстве случаев донор был близким родственником реципиента. Это повышало вероятность совместимости тканей, но главной причиной было то, что мало кто готов был пожертвовать свою почку чужому человеку. В конце концов, если у вас есть вторая, вы можете и дальше жить нормальной жизнью, если одна почка вдруг откажет. Если отдать одну почку постороннему человеку, резерва не останется. Когда же реципиент – ваша мать, брат или дочь, то спасение их жизни перевешивает риск. Проблема постороннего человека воспринимается не так близко к сердцу, и готовых пойти на риск не так много.
Некоторые страны предлагали стимул: деньги. Можно было заплатить постороннему человеку, чтобы он пожертвовал почку одному из ваших родственников. Опасности, связанные с разрешением такого рода операций, достаточно очевидны: нужда, например, может заставить бедных продавать почки богатым. В Великобритании закон прямо запрещал отдавать почку кому-либо, кроме близкого родственника. Законы, принятые в 2004 и 2006 годах, устранили это препятствие, но добавили дополнительные меры против злоупотреблений. Одним из условий стал запрет на передачу каких бы то ни было денег.
Схема расположения семи мостов Кёнигсберга, сделанная Эйлером
Эти изменения в законодательстве открыли путь для новых стратегий поиска доноров и позволили резко повысить число операций. Они также поставили перед специалистами немало математических задач, связанных с эффективным использованием этих стратегий. При этом выяснилось, что инструменты для решения подобных задач уже существуют. Все началось почти 300 лет назад с одной маленькой головоломки.
Это хорошо известная история, но я все равно перескажу ее, по двум причинам. Она готовит сцену для математической задачи и, кроме того, часто воспринимается неверно. Я, например, до какого-то момента понимал ее совершенно неправильно.
Калининград, город в сегодняшней России, когда-то назывался Кёнигсбергом и в XVIII веке находился в Пруссии. Через город протекала река Прегель, образуя два острова, Кнайпхоф и Ломзе. В городе было семь мостов: каждый из берегов реки связывали с Кнайпхофом по два моста; с Ломзе берега связывало по одному мосту; и наконец, один мост соединял острова друг с другом. Сегодня топография города выглядит иначе. Во время Второй мировой войны город сильно бомбили, и мосты b и d на схеме были разрушены. Мосты a и c были снесены, чтобы освободить место для прокладки новой дороги, а взамен них были выстроены новые мосты. Вместе с оставшимися тремя мостами, один из которых был перестроен в 1935 году, сейчас в городе на прежних местах находятся пять мостов.
Легенда гласит, что граждан Кёнигсберга давно интересовал вопрос, можно ли совершить пешую прогулку по городу, пройдя по каждому из мостов ровно один раз. Это была простенькая головоломка из разряда тех, что можно увидеть на странице газеты или ее электронного эквивалента. Эксперименты с различными маршрутами не помогают ее решить – попробуйте сами. Однако аналогичные задачи имеют решение, причем иногда найти их непросто. Более того, число маршрутов, которые вы можете выбрать, бесконечно, хотя бы потому, что существует бесконечно много способов переходить с одной стороны улицы на другую или двигаться вперед и назад. Именно поэтому невозможно найти решение или доказать, что такового не существует, путем рассмотрения всех возможных маршрутов.
Можно, конечно, решить эту головоломку, придумав какую-нибудь хитрость. Например, зайти на мост, прогуляться по нему до противоположного берега и, не сходя на берег, развернуться и пойти назад, сказав при этом, что «прошел» по мосту. Но условие «прохождения» по мосту должно быть таким, чтобы исключать подобные фокусы. Аналогично «пешая прогулка» подразумевает, что нельзя проделать часть пути вплавь, на лодке, на воздушном шаре или принадлежащей доктору Кто машине TARDIS. Или пройти вверх по реке до какого-нибудь моста, который не вошел в схему Эйлера. Хотя «стряпать» головоломки таким образом может быть интересно и даже требовать немалой изобретательности, понятно, что это все же жульничество. Я не собираюсь тщательно формулировать все до единого условия, необходимые, чтобы исключить стряпню подобного рода. Меня гораздо больше интересует, как, переведя эту головоломку на язык математики, доказать невозможность отыскания ее решения, не прибегая к стряпне. Стряпня здесь заключается в формулировании этой задачи, а не в ее решении или доказательстве невозможности найти решение, если она уже сформулирована.
И тут на сцене появляется Эйлер, ведущий математик своего времени. Он работал практически во всех областях математики, существовавших на тот момент, и в некоторых областях, которых не существовало, пока он не положил им начало. Кроме того, Эйлер сумел применить математику к огромному числу разнообразных задач реального мира. Его работы варьируют от энциклопедических томов по основным областям чистой математики и математической физики до диковинок и странностей, которые просто показались ему интересными. В начале XVIII века он обратился к загадке о кёнигсбергских мостах, сформулировал ее как точный математический вопрос и предложил доказательство того, что прогулку с обозначенными условиями совершить невозможно. Причем невозможно даже в том случае, если маршрут будет не круговым и закончится не там, где начался.
Эйлер переехал в Россию, в Санкт-Петербург, в 1727 году, когда в России правила императрица Екатерина I, чтобы стать придворным математиком. Муж Екатерины император Петр I основал Санкт-Петербургскую академию (Academia Scientiarum Imperialis Petropolitinae) в 1724–1725 годах, но умер прежде, чем она успела полностью сформироваться и заработать. Эйлер представил свою работу в Академии в 1735 году, и через год она была опубликована. Будучи математиком, причем, по мнению многих, самым плодовитым в истории, Эйлер извлек из головоломки так много, как только смог: он нашел необходимые и достаточные условия для существования решения, не только для кёнигсбергских мостов, но и для любой задачи подобного рода. Вы можете взять 50 000 мостов, связывающих друг с другом 40 000 островов гигантского комплекса, и теорема Эйлера без проблем скажет вам, существует ли для них решение. Если как следует вникнуть в доказательство, оно даже скажет, как это решение найти, – правда, после некоторой возни. Свое доказательство Эйлер изложил довольно схематично, и прошло почти 150 лет, прежде чем кто-то разобрался во всех его деталях, хотя само по себе доказательство не было слишком сложным.
В настоящее время многие книги по теории графов говорят о том, что Эйлер доказал отсутствие у головоломки решения, сведя ее к более простому вопросу о