Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 18)

Мне кажется замечательным, что простая головоломка может привести к таким значительным нововведениям. Воистину непостижимая эффективность. Кроме того, в этой истории содержится важный урок, который внешний мир зачастую не воспринимает. Не стоит недооценивать математику, которая выглядит просто и больше похожа на детскую игрушку, чем на что-нибудь серьезное. Дело не в том, насколько проста игрушка, а в том, как вы ее используете. Мало того, одна из главных задач хорошей математики состоит в том, чтобы сделать все как можно более простым. (Вы можете усмехнуться, и это будет справедливо, если вспомнить, насколько сложно выглядит значительная часть математики. Я просто должен здесь добавить оговорку, приписываемую Эйнштейну: как можно более простым, но не слишком простым.) Превращение островов в точки, а мостов в линии не меняет сути головоломки, а помогает отбросить лишнюю информацию: какая стоит погода? Грязно ли на улице? Мост металлический или деревянный? Эти вещи важны, если вы собираетесь на субботнюю прогулку или строите мост. Но если вы хотите ответить на вопрос, который ставил в тупик добрых граждан Кёнигсберга, все это лишь помехи.

Ну а какое отношение мосты Кёнигсберга имеют к трансплантации почек? Непосредственно почти никакого. Косвенно статья Эйлера положила начало развитию теории графов, которая открывает перед нами эффективный способ подбора доноров для реципиентов даже при условии, что большинство доноров готовы отдать свою почку только близкому родственнику{38}. Когда в Великобритании в 2004 году вступил в действие Закон о тканях человека, люди получили возможность законным образом отдавать почки не только родственникам.

Очень серьезную проблему представляет поиск подходящих пар доноров и реципиентов, потому что даже в тех случаях, когда имеется донор, тип его тканей и крови может не совпасть с типом тканей и крови предполагаемого реципиента. Представьте себе, что дядюшка Фред нуждается в почке, а его сын Уильям готов пожертвовать свою, но не хочет делиться почкой с чужим человеком. К несчастью, у почки Уильяма не тот тип ткани. До 2004 года на этом все кончалось, и Фред был обречен на частые сеансы диализа на специальном аппарате. Такой же была судьба многих других потенциальных реципиентов, у которых тип ткани совпадает с типом ткани Уильяма. Теперь представьте, что Джон Смит, не состоящий в родстве с Фредом и Уильямом, сталкивается с той же проблемой: его сестра Эмили нуждается в новой почке и он готов отдать ей свою, но, опять же, не готов делиться почкой с чужим человеком. И у него тип ткани отличается от типа ткани Эмили. В итоге никто не получает почку для пересадки.

Предположим, однако, что типы тканей у Джона и у Фреда, а также у Уильяма и Эмили совпадают. После 2004 года это создает условия для законного обмена почками. Задействованные в операциях хирурги могут встретиться и предложить, чтобы Джон разрешил передать его почку Фреду при условии, что почка Уильяма достанется Эмили. Оба донора с гораздо большей вероятностью согласятся на такие условия, поскольку их родственники получат новую почку, а они пожертвуют свою, иначе говоря, сделают то, что собирались сделать с самого начала. Кто именно получит чью почку, не слишком волнует ни доноров, ни реципиентов, хотя это принципиально важно с точки зрения совместимости тканей.

При современных средствах коммуникации хирурги могут обнаружить подобное совпадение, если будут вести реестр потенциальных доноров и реципиентов с указанием типа их ткани. Если число реципиентов и потенциальных доноров невелико, вероятность такого обмена также невелика, но она становится гораздо больше, когда их число растет. Число потенциальных реципиентов весьма велико: в 2017 году в Великобритании в списке ожидающих пересадку почки значилось более 5000 человек. Почка при этом могла поступить как от умершего донора, так и от живого, но число доноров меньше числа реципиентов – около 2000 на тот же момент времени. В результате среднее время ожидания превышает два года для взрослого и девять месяцев для ребенка.

Один из способов улучшить ситуацию – организация более сложных цепочек обмена почками. Закон в настоящее время разрешает сделать и это. Предположим, что Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра нуждаются в пересадке почки. У всех у них есть на примете доноры, изначально готовые поделиться с ними, причем только с ними. Предположим, что их доноров зовут Альберт, Берил, Карл и Дайана. Цепочка начинается с донора-альтруиста Зои, готовой отдать свою почку кому угодно. Предположим, что типы тканей допускают цепочку следующего вида:

Зои передает свою почку Амелии.

Альберт, донор Амелии, соглашается отдать свою почку Бернарду.

Берил, донор Бернарда, соглашается отдать свою почку Кэрол.

Карл, донор Кэрол, соглашается отдать свою почку Дейдре.

Дайана, донор Дейдры, соглашается пожертвовать свою почку кому-нибудь из очереди.

В целом всех все устраивает. Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра получают новую почку. Альберт, Берил, Карл и Дайана жертвуют свою почку, хотя и не родственнику, но в рамках цепочки, которая принесет ему пользу. Часто доноров это вполне устраивает, что и делает подобные обмены возможными – ведь, если они не согласятся, их родственник не получит почку в этот раз. Зои рада, что ее альтруистический порыв принесет кому-то пользу, и ей все равно, кому именно. В данном случае – Амелии. Наконец, лишняя почка поступает в список ожидания, а это всегда полезно.

Если бы вместо этого Зои просто пожертвовала почку в список ожидания, единственное, что могли бы сделать Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра, – это записаться в список ожидания. Не сделав этого, они высвобождают четыре дополнительные почки. Это называется цепочкой последовательной уступки по принципу домино. Зои роняет первую костяшку, и вслед за ней падает еще несколько. Назовем этот принцип просто цепочкой.

Главное здесь, конечно, не имена, а типы тканей. Альберт – это кто угодно с тем же типом ткани, что у Зои. Берил – это кто угодно с тем же типом ткани, что у донора Альберта; Карл – это кто угодно с тем же типом ткани, что у донора Берил, и т. д. При разумном числе реципиентов и доноров подобные цепочки обычны, и хирурги могут их заметить. Однако это требует времени, даже если поиском цепочек занимается специальный человек, а каждая почка драгоценна, поэтому имеет смысл выбирать цепочки наилучшим возможным способом. Это сложно, поскольку одновременно может существовать несколько потенциальных цепочек. В таком случае хирурги могут начать работу одновременно, если только в их цепочки не входит один и тот же донор, на почку которого будут претендовать два человека. В этой ситуации одна из цепочек рвется.

Оптимизировать выбор цепочек… Это звучит математически. Если вы сможете сформулировать задачу математически и применить подходящие методы, то, возможно, сумеете и решить ее. Более того, решение не обязано быть идеальным. Оно может быть всего лишь лучше, чем результат, полученный вручную. Дэвид Мэнлав нашел способ превратить задачу об обмене почками в вопрос о графах. Теорема Эйлера здесь не помощница, но роль Эйлера неоценима, поскольку он открыл в математике новую область. За прошедшие годы математики развили тему и нашли в теории графов множество новых методов. Поскольку граф – объект дискретный, «на самом деле» всего лишь список вершин, ребер и информации о том, какое ребро соединяет какие вершины, графы замечательно подходят для компьютерной обработки. Разработаны мощные алгоритмы для анализа графов и извлечения из них полезной структуры. В их числе есть и алгоритмы, которые могут отыскивать оптимальные способы распределения доноров по пациентам для графов приемлемых размеров. Эти методы, реализованные на компьютере, применяются сегодня в Великобритании на повседневной основе.

Два типа обмена

Совместимые пары доноров и реципиентов просто обмениваются почками. Для этого нужно, чтобы два хирурга оперировали одновременно, каждый своего пациента. Так что мы, пытаясь собрать цепочки, можем не обращать внимания на совместимые пары и сосредоточиться только на несовместимых. Эти пары составляют вершины графа.

Предположим, например, что Альберт готов отдать свою почку Амелии, но совместим при этом с Бернардом. Эта ситуация показана на рисунке слева. Я ставлю имя донора вверху, а имя несовместимого с ним родственника – внизу. Стрелка означает, что «донор в ее хвосте совместим с реципиентом на острие». Этот рисунок представляет собой особый тип графа, в котором ребра имеют конкретную направленность. В отличие от мостов Кёнигсберга, эти ребра односторонние: математики называют их направленными, а получившийся граф – ориентированным или, короче, орграфом. На рисунке направленные ребра обозначены стрелками.

Если Берил совместима с Амелией, то правила предписывают нам нарисовать еще одну стрелку в обратном направлении. Таким образом создается двусторонняя связь, как на рисунке справа. Этот рисунок иллюстрирует простейший вариант обмена почками, который специалисты по теории графов называют циклом длины 2. Хирурги могут предложить Альберту пожертвовал свою почку Бернарду с условием, что Берил отдаст свою Амелии. Если все стороны согласны, то Амелия и Бернард получают по новой почке, тогда как Альберт и Берил по одной почке отдают. Хотя это и не родственная пересадка, реципиенты все-таки получают почку, так что большинство потенциальных доноров принимают обмен такого рода.