Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 13)

Это чуть осложняет ситуацию, потому что мы не можем просто подсчитать, сколько существует координат. Скорее, речь идет о наименьшем их числе, которого достаточно для достижения цели. А раз так, то возникает еще один, более глубокий вопрос: откуда известно, что две – это действительно наименьшее число координат, которого на плоскости достаточно для определения любого положения? Возможно, это так и есть, а если нет, то требуется другое, более точное определение, но это не вполне очевидно. А дальше открываются шлюзы. Откуда известно, что три – это наименьшее число для пространства? Откуда известно, что любой выбор независимых направлений всегда дает три числа? Если на то пошло, насколько мы уверены, что трех чисел достаточно?

Третий из приведенных вопросов адресован скорее экспериментальной физике и ведет через Эйнштейна и его общую теорию относительности к предположению, что физическое пространство на самом деле не является плоским трехмерным пространством Евклида, а представляет собой его искривленную версию. Или, если правы сторонники теории струн, пространство-время имеет 10 или 11 измерений, которые, за исключением четырех, либо слишком малы, чтобы их заметить, либо недоступны. Первый и второй вопросы можно разрешить удовлетворительно, но далеко не тривиально – для этого надо определить евклидово пространство с точки зрения системы из трех координат, а затем посвятить пять или шесть недель университетского курса векторным пространствам, в которых бывает любое число координат, и доказать, что размерность любого векторного пространства единственна.

Подход, связанный с векторными пространствами, изначально подразумевает, что наша система координат построена на прямых линиях и что пространство плоское. В самом деле, ведь не случайно этот курс называется «линейной алгеброй». А что, если мы вслед за Эйнштейном позволим системе координат искривиться? Ну, если она искривляется гладко (в классической теории это называется «криволинейными координатами»), то все хорошо. Но в 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано обнаружил, что если она искривляется совершенно произвольно – настолько, что перестает быть гладкой, хотя остается непрерывной, – то пространство с двумя измерениями может иметь систему координат всего с одним числом. То же относится и к пространству с тремя измерениями. При таких более общих и гибких условиях число измерений неожиданно становится изменчивым.

Одна из возможных реакций на это странное открытие – отмахнуться от него. Нам, очевидно, следует пользоваться гладкими координатами, вот и все. Но оказалось, что гораздо креативнее, полезнее и, что греха таить, интереснее принять эту пугающую странность и посмотреть, что получится. Критики-традиционалисты были настоящими пуританами и считали, что молодому поколению развлекаться ни к чему.

Вернемся к существу вопроса. То, что открыл – или построил – Пеано, представляло собой непрерывную кривую, проходящую через каждую точку квадрата. Не только на границе, это просто, но и внутри него тоже. Причем эта кривая в самом деле должна проходить через каждую точку, а не просто вблизи нее.

Предположим, такая кривая существует. Тогда это не просто некая извилистая линия с собственной внутренней системой координат, показывающей, как далеко вдоль линии следует пройти. Чтобы обозначить это, достаточно одного числа, так что кривая одномерна. Раз эта извилистая линия проходит через каждую точку заполненного квадрата (объекта двумерного), то теперь мы можем обозначить каждую точку этого квадрата при помощи всего одного непрерывно меняющегося числа. Получается, что на самом деле квадрат одномерен!

Обычно я не люблю ставить восклицательные знаки, но это открытие заслуживает его. Это безумие. И правда.

Пеано тогда нашел первый пример того, что мы сегодня называем «заполняющими пространство» кривыми. Их существование опирается на тонкое, но принципиально важное различие между гладкими и непрерывными кривыми. Непрерывные кривые могут быть извилистыми. Гладкие… не могут. Они не настолько извилистые.

Пеано был достаточно проницательным для открытия подобных кривых. Ему нравились логические закавыки. Кроме того, он был первым, кто сформулировал точные аксиомы для системы натуральных чисел – составил простой список свойств, которые описывают эту систему. Свою заполняющую пространство кривую он изобрел не для забавы: она стала одним из завершающих штрихов к работе его предшественника и единомышленника, также интересовавшегося природой натуральных чисел и счета. Предшественника звали Георг Кантор, и его истинным интересом была бесконечность. Ведущие математики того времени в большинстве своем отвергали радикальные и блестящие идеи Кантора, доводя его до отчаяния. Возможно, это неприятие и не было причиной его душевного расстройства, но благоприятного влияния оно точно не оказывало. Среди немногих математиков, по достоинству оценивших то, что пытался сделать Кантор, был Давид Гильберт. Гильберт, ведущий математик своего времени, позже стал одним из пионеров математической логики и фундаментальных исследований. Возможно, он разглядел в Канторе родственную душу.

Так или иначе, началось все с Кантора и с введенных им трансфинитных кардинальных чисел – средства оценки числа членов бесконечного множества. Он доказал, что одни бесконечности больше, чем другие. Точнее говоря, то, что между целыми и действительными числами нет взаимно однозначного соответствия. Занимаясь поисками трансфинитного кардинального числа, превышающего таковое для действительных чисел, он на какое-то время пришел к убеждению, что кардинальное число для плоскости больше, чем для прямой. В 1874 году он писал Рихарду Дедекинду:

Может ли поверхность (скажем, квадрат, включая границу) однозначно соответствовать линии (скажем, отрезку прямой, включая концы) так, чтобы для каждой точки на поверхности существовала соответствующая точка на линии, а для каждой точки на линии существовала соответствующая точка на поверхности? На мой взгляд, ответить на этот вопрос не так просто, хотя ответ «нет» представляется настолько очевидным, что доказательство, кажется, почти не требуется.

Тремя годами позже он вновь написал, чтобы признать, как ошибался. Сильно ошибался. Он нашел взаимно однозначное соответствие между единичным отрезком и n-мерным пространством для любого конечного n. То есть способ сопоставить члены множеств таким образом, чтобы каждый член одного из них соответствовал ровно одному члену другого. «Я это вижу, – писал Кантор, – но я в это не верю!»

Основная идея проста: задав две точки на единичном отрезке (между 0 и 1), мы можем записать их в десятичном виде как

x = 0, x₁x₂x₃x₄…

y = 0, y₁y₂y₃y₄…

и поставить им в соответствие точку на том же единичном отрезке, которая в десятичном виде будет выглядеть так:

0, x₁y₁x₂y₂x₃y₃x₄y₄…,

образовав ее путем перемешивания десятичных знаков первых двух чисел, как при тасовке карт методом «рифл шафл», когда колоду делят на две части, а затем вставляют их друг в друга{24}. Разница состоит в том, что колода карт у Кантора бесконечна. Когда вы перемешиваете таким образом две бесконечные колоды, то получаете одну бесконечную колоду. Именно таким способом Кантор умудряется втиснуть две координаты в одну. Если первоначально измерения три, просто берется три колоды и т. д.

Кантор опубликовал некоторые из этих результатов в 1878 году. Он исследовал счетные множества, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, и множества, которые взаимно однозначно соответствуют друг другу. Он также понял, что полученное им соответствие между единичным отрезком и единичным квадратом не сохраняет размерности – одно измерение переходит в два, – и, что принципиально важно для нашего рассказа, он подчеркнул, что построенное им соответствие не является непрерывным. То есть точки, расположенные очень близко друг к другу на единичном отрезке, не обязательно соответствуют близко расположенным точкам единичного квадрата.

Идеи Кантора были противоречивы. Некоторые видные математики сочли их чепухой, наверное, потому, что они были слишком оригинальными. Другие, в первую очередь Гильберт, объявили новую область математики, открытую Кантором, настоящим «раем». Полное признание работы Кантора получили только после его смерти.

В 1879 году Ойген Нетто{25} ответил на один очевидный вопрос, доказав отсутствие непрерывного взаимно однозначного соответствия между единичным отрезком и заполненным единичным квадратом. Это сложнее, чем может показаться. Самый значительный прорыв произошел в 1890 году, когда Пеано показал, что наше интуитивное представление о непрерывной кривой может быть обманчивым.

В статье Пеано никаких рисунков нет. Он определяет кривую, записывая координаты точек единичного отрезка в троичной системе счисления, и его построение эквивалентно геометрическому построению на рисунке слева ниже{26}. В 1891 году Гильберт опубликовал еще один пример заполняющей пространство кривой, нарисовав что-то похожее на рисунок справа. Оба построения довольно сложны: на рисунках показана начальная стадия рекурсивного процесса, при котором простые многоугольники раз за разом заменяются более сложными. За прошедшее с тех пор время было найдено много других заполняющих пространство кривых.