Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 91)

Одно из фундаментальных различий, фиксируемых математикой, есть различие между упорядоченной и неупорядоченной парой.

Неупорядоченная пара, составленная из объектов a и b, – это просто совокупность, коллекция, куча и т. д. (на математическом языке – множество), содержащая эти два объекта; никакого различия в ролях этих объектов не имеется, а потому бессмысленно спрашивать, какой из них на каком месте: какой первый, а какой второй, какой главный, а какой второстепенный. Неупорядоченная пара объектов a и b обозначается посредством заключения их имён в фигурные скобки: {а, b}. Из двух объектов можно составить ровно одну неупорядоченную пару, поэтому {а, b} = {b, а}.

В отличие от неупорядоченной пары, упорядоченная пара, составленная из объектов а и b, заключает в себе ещё и информацию о том, какое место в паре занимает каждый из членов пары. Мест в упорядоченной паре два. Для единообразия эти места обычно называют первым и вторым. Можно было бы называть их по-другому: например, белым и чёрным, красным и зеленым, левым и правым или ещё как-нибудь; важно лишь, что эти места как-то помечены и отличаются одно от другого. Упорядоченная пара, в которой объект а является первым, а объект b – вторым, обозначается посредством заключения в угловые скобки их имён, взятых в надлежащем порядке: <а, b>. Упорядоченная пара, в которой объект b является первым, а объект а – вторым, обозначается, следовательно, так: <b, а>. Эти две пары считаются различными, если только различны сами а и b. Таким образом, из двух различных объектов можно составить ровно две упорядоченные пары. Если же объекты а и b совпадают, то в этом (и только в этом!) случае, конечно, <a, b> = <b, а>.

Понятия упорядоченной и неупорядоченной пары позволяют следующим образом представить те две ситуации, о которых говорилось в § 3. В ситуации, когда ни одному из объектов не отдаётся предпочтения, возникает неупорядоченная пара этих объектов. В ситуации, когда одному из объектов отдаётся предпочтение, возникает упорядоченная пара этих объектов. Надо только договориться, какой объект считать в этом случае первым, а какой – вторым членом пары. Ведь распределение мест в упорядоченной паре совершенно условно; оно определяется явным соглашением, а не тем, который из объектов главнее или назван в тексте раньше другого. Давайте согласимся предоставлять первое место в упорядоченной паре главному объекту (но мы вправе были бы и сделать наоборот).

Теперь мы можем сформулировать сказанное в предпоследнем абзаце § 9 следующим образом: двучлен, понимаемый как имя пары объектов, может служить как именем упорядоченной пары, так и именем неупорядоченной пары, составленной из этих объектов. Можно сказать, что двучлен обладает полисемией.

Вернёмся ко второму примеру из Гоголя, изложенному в § 8.

Из трёх различных предметов М, Г и Ч можно составить ровно три неупорядоченные пары, а именно {М, Г} {Ч, М}, {Г, Ч}, и ровно шесть упорядоченных пар, а именно <М, Г>, <Г, М>, <Ч, М>, <М, Ч>, <Г, Ч>, <Ч, Г>.

Мы видим, что в гоголевском тексте перечислена исчерпывающая совокупность всех неупорядоченных пар, составленных из элементов трёхэлементного множества {Чичиков, губернаторская дочка, мёртвые души}. Это наблюдение служит дополнительным аргументом в пользу той точки зрения, что в этом тексте для каждого двучлена референтом служит именно неупорядоченная пара соответствующих предметов. Если бы Гоголь хотел перечислить упорядоченные пары, он писал бы: «про мёртвые души и губернаторскую дочку, про губернаторскую дочку и мёртвые души, про Чичикова и мёртвые души, про мёртвые души и Чичикова, про губернаторскую дочку и Чичикова, про Чичикова и губернаторскую дочку».

Когда человека просят указать свои имя и отчество, то ему как бы предлагают виртуальную анкету с двумя позициями: первая позиция – имя самого этого человека, вторая позиция – имя его отца. С тем же успехом можно было бы договориться, что, напротив, первая позиция – имя отца, а вторая позиция – имя анкетируемого. Но тот или иной вариант необходимо выбрать и далее уже не менять. Для определённости остановимся на первом варианте.

При таком понимании словосочетание «Иван Петрович» оказывается представленным в виде упорядоченной пары ‹Иван, Пётр›, а словосочетание «Пётр Иванович – в виде упорядоченной пары ‹Пётр, Иван›. Словосочетания «Иван Иванович» и «Пётр Петрович» будут представлены соответственно в виде упорядоченных пар <Иван, Иван> и <Пётр, Пётр>.

Можно представить себе, что, отвечая на вопрос об имени-отчестве, мы как бы заполняем анкету, вписывая в каждую из двух граф соответствующее имя. Заполненную анкету можно трактовать как текст, а тогда присутствующие в ней два имени образуют двучлен. Например, для имён-отчеств из предыдущего абзаца получаем такие двучлены: [Иван, Пётр], [Пётр, Иван], [Иван, Иван], [Пётр, Пётр]. Каждый подобный двучлен является именем некоторой пары, служащей для этого двучлена референтом. Очевидно, что в данном случае составляющие двучлен имена употребляются автонимно (см. § 10), и потому, скажем, двучлен [Иван, Пётр] означает не пару, составленную из Ивана и Петра, а пару, составленную из имён «Иван» и «Пётр».

По общему правилу, сформулированному в последнем абзаце § 11, каждый двучлен может означать (т. е. иметь своим референтом) как упорядоченную, так и неупорядоченную пару. Возникает вопрос, какие пары, упорядоченные или неупорядоченные, выражают наши двучлены, составленные из двух собственных имён. Вопрос кажется глупым, а ответ очевидным: разумеется, упорядоченную; например, двучлен [Иван, Пётр] выражает упорядоченную пару <Иван, Пётр>, т. е. в конечном счёте этот двучлен выражает имя-отчество «Иван Петрович».

Упорядоченность же пары, как и положено, вытекает из заданного контекста, т. е. из предложенных обстоятельств, которые в данном случае состоят в заполнении анкеты с графами «имя» и «отчество».

Однако предложенный ответ справедлив лишь в обстоятельствах нормальных. Но бывают обстоятельства и ненормальные, контекст патологический, когда двучлен [Иван, Пётр] будет выражать неупорядоченную пару {Иван, Пётр}. На уровне имён и отчеств это означает, что искомое имя-отчество есть либо «Иван Петрович» либо «Пётр Иванович», а какое именно – не уточняется.

«Где же это автор встречал такой патологический контекст?» – возмутится читатель. Не знаю, как в жизни, а в русской литературе встречал, чем и собираюсь поделиться в § 14. Впрочем, нечто похожее проскальзывает и в жизни (см. § 16–18).

В главе 2 второй части «Идиота» Достоевский описывает визит князя Мышкина к Лукьяну Тимофеевичу Лебедеву. В ответ на вопрос князя об имени-отчестве Лебедев сказался Тимофеем Лукьяновичем. Присутствовавший племянник Лебедева тут же его разоблачил. Вот этот эпизод:

– […] Извините, как вас по имени-отчеству, я забыл?

– Ти-Ти-Тимофей.

– И?

– Лукьянович.

Все бывшие в комнате опять рассмеялись.

– Соврал! – крикнул племянник, – и тут соврал! Его, князь, зовут вовсе не Тимофей Лукьянович, а Лукьян Тимофеевич! Ну, зачем, скажи, ты соврал? Ну, не все ли равно тебе, что Лукьян, что Тимофей и что князю до этого? Ведь из повадки одной только и врёт, уверяю вас!

– Неужели правда? – в нетерпении спросил князь.

– Лукьян Тимофеевич, действительно, – согласился и законфузился Лебедев, покорно опуская глаза и опять кладя руку на сердце.

– Да зачем же вы это, ах, боже мой!

– Из самоумаления, – прошептал Лебедев, всё более и покорнее поникая своею головой.

– Эх, какое тут самоумаление! […] – сказал князь […].

Ни лебедевский племянник Владимир Докторенко, ни князь Л. Н. Мышкин не видят смысла в поведении Лебедева. Меж тем смысл есть, и состоит он именно в том, что ясно обозначил Достоевский устами Лебедева, – в самоумалении. В следующем параграфе мы постараемся объяснить и обосновать нашу точку зрения.

Мы исходим из того, что самоумаление может выражаться, в частности, в малости той информации, которая сообщается о себе. Сообщать о себе много подробностей – значит считать свою персону достойной того, чтобы обременить этими подробностями уважаемого собеседника. Напротив, человек скромный о себе скажет мало, считая сведения о себе незначительными, недостойными внимания.

Позволительно предположить, что в порыве самоумаления Лебедев, отвечая на вопрос князя Мышкина, намеревался минимизировать сообщаемую информацию. Зададимся вопросом, каким способом это можно сделать.

При любом естественном подходе к измерению информации очевидно, что упорядоченная пара содержит больше информации, чем неупорядоченная. В самом деле, неупорядоченная пара содержит информацию лишь о составляющих её элементах, а упорядоченная пара – ещё и о том, какой из этих элементов первый, а какой – второй.

На вопрос об имени и отчестве полный ответ состоит в предъявлении упорядоченной пары имён: на первом месте имя, на втором – отчество. На этом языке пар полный (и правильный!) ответ Лебедева должен был бы выглядеть так: <Лукьян, Тимофей>. Теперь мы видим, что одним из возможных способов уменьшения информации в предлагаемом ответе является такой: вместо упорядоченной пары сообщить неупорядоченную, т. е. такую: {Лукьян, Тимофей}. Её и сообщает князю Мышкину Лебедев. Посмотрим, как он это делает.