Чтобы читатель лучше усвоил понятие многообразия, приведём ещё два примера геометрических фигур, многообразиями не являющихся. Физические прообразы их – две детские игрушки: воздушный шарик с удерживающей его нитью и ватно-поролоновый шарик с прикреплённой к нему резинкой; на геометрическом языке это двумерная сфера с приклеенной линией и шар с приклеенной линией. Точки, где происходит приклеивание, – особые. Сфера вместе с пересекающей её плоскостью не является многообразием, поскольку та окружность, по которой происходит пересечение, сплошь состоит из особых точек.
В силу сказанного многообразие без края – это геометрическая фигура, целиком состоящая из внутренних точек. Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. Отрезок имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех тех точек, которые расположены между его концами, сами же концы в интервал не входят; можно сказать, что интервал – это отрезок с удалёнными концами, а отрезок – это интервал с добавленными к нему концами. Ещё бывают полуинтервалы: полуинтервал – это интервал, в который добавлен один из его концов (иначе говоря, отрезок, у которого удалён один из его концов). Прямая, интервал, отрезок, полуинтервал, окружность служат примерами одномерных многообразий, причём прямая, интервал и окружность суть многообразия без края, а отрезок и полуинтервал – многообразие с краем; край в случае отрезка состоит из двух концов, а в случае полуинтервала – из одного.
Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием, а вот с краем или без края – зависит от того, куда мы относим контур дыры. Отнеся его к дыре, получим многообразие без края; если оставим контур на плоскости, получим многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании, скажем, вырезании дыры ножницами в листе бумаги, вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.
Несколько слов о трёхмерных многообразиях. Шар вместе со сферой, служащей его поверхностью, представляет собою многообразие с краем; указанная сфера как раз и является этим краем. Если мы удалим этот шар из окружающего пространства, получим многообразие без края. Если мы сдерём с шара его поверхность, получится то, что на математическом жаргоне называется «ошкуренный[89] шар», а в научном языке, как нам уже известно из предыдущей главы, – открытый шар. Если удалить открытый шар из окружающего пространства, получится многообразие с краем, и краем будет служить та самая сфера, которую мы содрали с шара. Баранка вместе с корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, т. е. как поверхность), получим многообразие без края в виде «ошкуренной баранки». Всё пространство в целом – то трёхмерное евклидово пространство, которое известно нам из средней школы, – есть трёхмерное многообразие без края.
Настало время попытаться определить, что такое компактное многообразие. Для большей наглядности мы начнём с двумерных многообразий, от коих сперва спустимся к одномерным, а потом поднимемся до трёхмерных. Двумерное компактное многообразие – это такая поверхность, которую можно сшить из конечного числа лоскутов. Например, простыня, если трактовать её как поверхность, представляет собой двумерное компактное многообразие с краем. Дырявая от ветхости простыня остаётся двумерным компактным многообразием с краем; край этого многообразия состоит из точек, расположенных как по старым, до появления дыр, краям простыни, так и по краям дыр. Лоскутных простыней мне видеть не довелось, а вот лоскутные одеяла я видел. Они представляют собою сшитый из лоскутов чехол, набитый утеплителем, обычно ватой или пухом. Чехол лоскутного одеяла, до того как он набит и зашит, является двумерным компактным многообразием с краем. А вот если его зашить, но не простёгивать, он становится двумерным компактным многообразием без края (если же простегать, он перестаёт быть многообразием, поскольку все точки стежков – особые). Повторим определение: двумерное компактное многообразие – это поверхность, которую можно сшить из конечного количества лоскутов. Слова о конечном количестве кажутся ненужными. Какой смысл говорить о бесконечном количестве лоскутов? Необходимость противопоставления конечного и бесконечного количеств будет вскоре объяснена. Пока что заметим, что математики предпочитают употреблять глагол «склеивать», а не «сшивать». Поэтому можно сказать и так: двумерное компактное многообразие – это поверхность, которую можно склеить из конечного количества лоскутов. Под лоскутом же следует понимать любую поверхность, которую можно получить из замкнутого круга, изгибая, комкая, растягивая и сжимая его как угодно, но только не разрывая и не склеивая с самим собой. С понятием лоскута (но не с термином) мы уже встречались в главе 10, в разделе о геометрии положения, когда говорили о граничащих друг с другом областях. То, что мы называли областью в главе 10, и то, что мы называем лоскутом сейчас, – одно и то же.
Стандартный футбольный мяч, как известно, склеен (или сшит?) из 32 лоскутов. Что ещё можно склеить из лоскутов? Боковую поверхность цилиндра – это будет многообразие с краем. Но можно склеить и спасательный круг, т. е. на математическом языке – поверхность тора; эта поверхность края не имеет. Поверхность спортивной гири (рис. 12) даёт ещё один пример двумерного компактного многообразия без края.
Можно представить себе гирю настолько тяжёлую, что один человек её не поднимет, самое меньшее – два силача. Тогда к ней следует приделать не одну, а две ручки. Легко представить и гирю, неясно для чего нужную, с тремя ручками (рис. 13), с четырьмя (для четырёх силачей) и вообще с любым числом ручек. Поверхность каждой из таких гирь является двумерным компактным многообразием без края. (Сами же гири суть трёхмерные многообразия с краем.)
Круг является, конечно же, компактным многообразием, но с краем, каковым является ограничивающая круг окружность. Отдерём эту окружность от круга (разумеется, это можно проделать только мысленно). Получится фигура, которая в предыдущей главе была названа открытым кругом. Открытый круг не имеет края, но зато и не является компактным многообразием: его нельзя составить из конечного числа лоскутов. Читатель, верно, уже понял, что такое открытый квадрат – это квадрат без своего периметра. Как и открытый круг, он не является компактным многообразием.
В случае одномерных многообразий роль лоскутов выполняют куски нити. Желая придумать какой-нибудь термин, аналогичный термину «лоскут», мы оказались не способны найти что-либо более удачное, чем слово «обрывок». На языке геометрии обрывок – это линия, которую можно получить из отрезка деформацией, подобной той, с помощью которой мы получали лоскут из круга. Иными словами, обрывок – это то, что можно получить из отрезка, как угодно его изгибая, растягивая и сжимая; запрещаются только разрывы и склеивания. Одномерным компактным многообразием называется всякая линия, которую можно склеить из конечного числа обрывков. При этом подразумевается, что обрывки склеиваются своими концами: конец одного обрывка или не склеивается ни с чем (и тогда возникает край многообразия), или же склеивается с ровно одним концом ровно одного другого обрывка. При таком способе склеивания букву Т, которая служила для нас первым примером немногообразия, получить никак невозможно: при попытке склеить эту букву мы вынуждены будем в особой точке либо склеить один из обрывков с внутренней точкой другого, либо склеить концами сразу три обрывка. Нельзя получить и линию в форме восьмёрки. (При склеивании из лоскутов двумерных многообразий подразумевалось, что лоскуты склеиваются своими краями.) Примерами одномерных компактных многообразий могут служить отрезок и окружность, а также всё, что можно получить из этих фигур, деформируя их как угодно, но только без разрывов и склеиваний. Отрезок, а также всякая линия, которая может быть получена из него деформацией (например, конечный участок любого из тех графиков функций, которые проходят в школе), является одномерным компактным многообразием с краем. Окружность, а также всякая линия, которая может быть получена из неё деформацией (например, обе линии на рис. 14), являются одномерными компактными многообразиями без края. Других примеров одномерных компактных многообразий не существует. (Ни интервал, ни полуинтервал не являются компактными многообразиями.)
Можно ли склеить из обрывков прямую? Можно, но для этого потребуется бесконечное число обрывков. Склеить прямую из конечного числа обрывков невозможно; в силу ранее сказанного это значит, что прямая не компактна. Аналогично плоскость можно склеить из бесконечного числа лоскутов, но нельзя – из конечного; это значит, что плоскость не компактна. Покажем, как из бесконечного числа обрывков можно склеить полуинтервал. Возьмём прямую и будем строить на ней бесконечное число отрезков. Начнём с произвольного отрезка А0А1. Пусть его длина равна l. К концу А1 этого отрезка приклеим отрезок А1А2 длины l/2. К точке А2 приклеим отрезок А2А3 длины l/4. И будем подклеивать всё новые и новые отрезки, причём так, чтобы длина каждого отрезка составляла половину длины предыдущего. Из всех этих отрезков, число коих бесконечно, составится полуинтервал длины l + l/2 + l/4 + l/8 +… = 2l с концом в А0. А если ещё тем же способом подклеивать отрезки с другой стороны исходного отрезка, получится интервал. Надеемся, что читатель сумеет склеить из бесконечного количества лоскутов как открытый круг, так и открытый квадрат.
