Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 41)

На торе можно нарисовать 7 стран, каждая из которых граничит с 6 другими (рис. 11). Поэтому хроматическое число тора, если оно существует, не может быть меньше 7. Не знаю, когда точно, но к 1940-м гг. уже было доказано, что хроматическое число тора действительно существует и что оно равно 7. Было найдено и хроматическое число поверхности кренделя – 8. В 1954 г. немецкий математик Герхард Рингель (Gerhard Ringel, 1919–2008) опубликовал доказательство существования хроматических чисел для всех замкнутых поверхностей[83], имеющихся в трёхмерном евклидовом пространстве[84]; более того, для каждой из таких поверхностей он указал такие три последовательных натуральных числа, что одно из них непременно является хроматическим числом данной поверхности. Но проблема четырёх красок оставалась нерешённой.

В 1976 г. было анонсировано, а в 1977 г. изложено доказательство того, что для сферы и плоскости всегда хватает и четырёх цветов; однако оно очень сложно и к тому же опирается на длительные компьютерные вычисления; поэтому не все убеждены в полной корректности этого доказательства. Тем не менее практически все уверены, что хроматическое число сферы и плоскости равно 4.

Всё это факты геометрии положения, где точная форма не имеет значения. Карту можно нарисовать не на плоскости, а на платке, сам же платок смять; сферу можно подвергнуть сжатию, растяжению, сминанию и вообще любой деформации без разрывов и склеиваний, превратить её в поверхность груши, например; тор можно растянуть; крендель – сдавить. Хроматические числа от этого не изменятся.

Глава 11

От геометрии положения к топологии

Продолжим наши попытки разъяснить формулировку гипотезы Пуанкаре. С этой целью прежде всего напомним эту формулировку: всякое односвязное трёхмерное компактное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

«Да что же это такое?! – в сердцах воскликнет читатель. – Автор не удосужился даже перечитать ту формулировку, которую сам же привёл в конце главы 9! Ведь там не было слов "без края"!» Действительно, не было. Дело в том, что математическая терминология точна, но, к сожалению, не однозначна: один и тот же термин подчас употребляется, увы, в разных смыслах. (Мы уже столкнулись с неоднозначностью термина «натуральное число»: при одном понимании число ноль считается натуральным, при другом – нет.) В применении к многообразиям в ходу две терминологические системы. Первая допускает, что многообразия могут как иметь край, так и не иметь его; в её рамках противопоставляются многообразия с краем и многообразия без края, и те и другие называются многообразиями. Вторая система называет многообразиями только те объекты, которые в первой системе именуются многообразиями без края; в рамках этой системы многообразия противопоставляются многообразиям с краем; в этой второй терминологии термин «многообразие с краем» надлежит рассматривать как словосочетание неделимое, а не как означающее такое многообразие, которое имеет край. Дабы сделать формулировку более короткой, в главе 9 мы использовали вторую терминологическую систему[85]. В данной главе нам встретятся многообразия с краем, и, чтобы читатель не запутался, мы будем использовать более контрастную первую систему.

В приведённой только что формулировке выделим понятия, разъяснения коих сделает формулировку понятной. Понятие компактного многообразия без края естественно расщепляется на два: 'компактное многообразие' и 'многообразие без края'. Тогда возникают пять понятий: 'односвязное', 'компактное многообразие', 'многообразие без края', 'гомеоморфно', 'трёхмерная сфера'.

Что такое трёхмерная сфера, мы, как могли, объяснили в предыдущей главе. Самым простым из тех четырёх понятий, которые ещё осталось разъяснить, является понятие односвязности. С него мы и начнём.

Односвязность

Представим себе резинку, которую продают под названием «банковская» и одни называют канцелярской, другие аптечной, т. е. резиновую нить со склеенными концами; при покупке небольшого числа мелких предметов, скажем, карандашей в магазине канцелярских принадлежностей или конвалют (пластиковых матриц с ячейками для таблеток или пилюль) в аптеке, ею часто скрепляют покупку. Вообразим резинку столь упругой, что она, если её не удерживать, стремится стянуться в точку, и столь умной, что ради стягивания в точку она готова пойти и на растяжение: например, если натянуть резинку на «талию» песочных часов, она, чтобы сжаться в точку на вершине колбы, вынуждена будет растянуться, проходя через верхнюю половину колбы. Геометрическая фигура называется односвязной, коль скоро расположенная в её пределах резинка при любом своём расположении (!) имеет возможность беспрепятственно стянуться в точку, не выходя за пределы рассматриваемой фигуры. Поясним сказанное на примерах. Круг односвязен, но, если в нём проделать дыру, он перестанет быть односвязным. Конечно, и в случае круга с дырой можно так разместить в нём резинку, чтобы ничто не препятствовало её стягиванию в точку. Но если мы обведём резинку вокруг дыры, то стянуть её в точку окажется невозможным: дыра помешает. А для односвязности нужно, чтобы стягивание в точку было возможным при любом расположении резинки.

Поверхность стола и поверхность глобуса односвязны, а поверхность большинства современных унитазных сидений[86], поверхность спасательного круга и боковая поверхность цилиндра не односвязны. Шар и цилиндр односвязны, а бублик – нет; не односвязен и крендель. Говоря об односвязности пространственных тел, мы делаем несколько фантастическое допущение, что резинка вольна свободно перемещаться в толще тела (в наших примерах – в мякише бублика или кренделя). Рекомендуем читателю обнаружить такие расположения резинки внутри бублика, а также на поверхности унитазного сиденья, поверхности спасательного круга и боковой поверхности цилиндра, при которых резинка не может стянуться в точку, не покидая названных фигур. Вопрос к читателю: односвязно или нет тело, представляющее собою 1) шар, в котором имеется полость, 2) чашку с ручкой и 3) чашку с отбитой ручкой? Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.

Наш очерк не претендует на математическую строгость, поэтому определения односвязности в терминах стягивающейся резинки вполне достаточно для наших целей. Тем не менее читатель вправе знать, что такое определение не может считаться математически точным.

Многообразия

Наша следующая тема – многообразия, в частности компактные. Многообразия представляют собою важнейший класс топологических пространств, и, чтобы правильно и полно определить понятие многообразия, следовало бы сначала определиться с тем, что такое топологическое пространство и что такое гомеоморфизм. Иными словами, начать с вводного курса топологии. По понятным причинам делать этого мы не будем, а скрепя сердце пожертвуем и общностью, и точностью. Мы ограничимся рассмотрением многообразий, которые являются геометрическими фигурами. А геометрическая фигура всегда располагается в каком-то из евклидовых пространств, являясь подмножеством точек этого пространства. Такое ограничение, казалось бы, сужает понимание и проблемы Пуанкаре, и результата Перельмана, но на самом деле сужает только формально, поскольку каждое компактное многообразие в общем топологическом смысле этого термина гомеоморфно некоторой геометрической фигуре. Слово «гомеоморфно» будет разъяснено ниже, а некоторые детали прояснятся в конце этой главы.

Отличительным свойством многообразия без края является его локальная однородность: вблизи любой своей точки оно устроено так же, как вблизи другой. Если вырезать из такого многообразия два кусочка в разных местах, то эти кусочки в некотором глубоком смысле нельзя отличить один от другого. Окружность, сфера, прямая, плоскость, трёхмерное пространство – вот наглядные примеры многообразий без края. Край нарушает указанную однородность. Например, у шара краем является ограничивающая его сфера; и кусочек шара, содержащий хотя бы одну точку этой сферы, резко отличается от кусочков того же шара, таких точек не содержащих. Точки геометрической фигуры, принадлежащие её краю, называются краевыми.

В многообразии окрестности всех точек, за исключением краевых, устроены одинаково. При этом под окрестностью какой-либо точки A понимается совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки A. Конечно, и слово «вблизи», и словосочетание «устроены одинаково» нуждаются в уточнении, без какового тем не менее мы их пока оставляем. Заметим лишь, что мы имеем в виду качественное устройство без учета размеров; с такого рода устройством мы встречались в предыдущей главе, когда говорили о геометрии положения. Точки, не являющиеся краевыми, называются внутренними. Повторим: многообразие вокруг каждой из его внутренних точек устроено так же, как и вокруг любой другой внутренней точки. Микроскопическое[87] существо, находящееся в одной из внутренних точек и способное видеть только ближайшие к нему точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же.

Многообразия могут иметь любую размерность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы Т. Край этой линии состоит из трёх точек: одна точка – в самом низу и две – вверху, в концах «перекладины». Как ни понимай смысл слова «вблизи», окрестностью любой из этих краевых точек будет отрезок с концом в рассматриваемой точке. Окрестностью любой из остальных точек, кроме одной, служит отрезок, содержащий данную точку между своими концами[88]. Но есть здесь и особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек. Это та точка, в которой «вертикальная палочка» утыкается в «перекладину»; в этой точке образуется то, что на языке дорожного движения называется Т-образным перекрёстком. Именно поэтому линия в форме буквы Т не является многообразием. Другой пример одномерного немногообразия – линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии; краевых точек тут нет. Не является многообразием и одномерная фигура, составленная из двух пересекающихся (или же касающихся друг друга, так что возникает восьмёрка) окружностей; здесь особыми будут точки пересечения (или точка касания).