Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 37)

Равенство, конгруэнтность, конгруэнция, изометрия

В средней школе, как известно, вводится понятие равенства геометрических фигур, в частности треугольников. В § 35 уже цитированного учебника Киселёва говорится: «Два многоугольника, как вообще две какие-нибудь геометрические фигуры, считаются равными, если они при наложении могут быть совмещены».

Хотелось бы привлечь внимание любезного читателя к тому, что Киселёв употребляет слово «считаются», подчёркивая тем самым конвенциональность (условность) термина «равный», определение которому даётся в цитате. Потому что основное значение этого термина состоит в совпадении. Когда говорят, что дважды два равно четырём, то имеют в виду, что число с именем «дважды два» и число с именем «четыре» – это одно и то же число. Именно такое совпадение и выражает знак равенства в формуле 2 · 2 = 4 (совпадение не выражений 2 · 2 и 4, а тех сущностей, которые обозначены этими выражениями). То же происходит и в обычном языке. Как мы уже отмечали, когда говорят «все люди равны», то непременно прибавляют (или подразумевают), в чём они равны: в правах, достоинстве или в чём-то ином. Но выяснить, совпадение каких сущностей имеется в виду при определении равенства многоугольников или в чём равны эти многоугольники, не так-то просто. Андрей Петрович Кисёлев в приведённой цитате вынужден констатировать принятое в школьной математике словоупотребление. Видимо, он сам от него не в восторге, что доказывается нижеследующим подстрочным примечанием к слову «совмещены», где то, что в предыдущей цитате было названо равенством, получает более правильное название конгруэнтность:

Фигуры, могущие совместиться при наложении, называются конгруэнтными, а самое совмещение – конгруэнцией. Различают конгруэнцию прямую и непрямую. Прямою конгруэнция называется тогда, когда совмещение может быть выполнено посредством передвижения одной из конгруэнтных фигур по плоскости, в которой фигуры лежат; если же для совмещения фигур такого передвижения недостаточно, но надо ещё перевернуть одну из фигур другою стороною, то конгруэнция называется непрямою. Например, треугольники, изображённые на рис. 2[78], прямо конгруэнтны, а треугольники на рис. 3 непрямо конгруэнтны.

К сожалению, сделав это примечание, Киселёв уступает сложившейся практике и в дальнейшем термин «конгруэнтный» не употребляет. Что же касается фигур стереометрии, то даже и термин «равенство» применяется в учебнике Киселёва только к трёхгранным углам, да и то лишь в параграфах, набранных мелким шрифтом (§ 401–402).

Мы же будем следовать сделанному Киселёвым примечанию и применительно к геометрическим фигурам вместо школярского слова «равно» употреблять слово «конгруэнтно». Вот ещё пример на противопоставление прямой и непрямой конгруэнций: начертания прописных букв Р и Ь не являются прямо конгруэнтными, но непрямо конгруэнтны. Ясно, что в случае пространственных фигур непрямая конгруэнция невозможна, поскольку невозможно «перевернуть одну из фигур другою стороною». Поэтому человек не конгруэнтен своему отражению в зеркале, а правая кисть руки не конгруэнтна левой. Простой геометрический пример зеркально симметричных, но не конгруэнтных тел дан на рис. 4. Более изысканный пример представлен на рис. 5, где изображены два заузленных верёвочных кольца (при математическом изучении узлов[79] их свободные концы принято склеивать, чтобы узел было невозможно развязать).

Откажемся от понятия непрямой конгруэнции (тем более что её нет для фигур стереометрии) и будем отныне конгруэнтными называть только такие фигуры, которые допускают прямую конгруэнцию, т. е. совпадающие при перемещении. И здесь мы подходим к представлению почти философскому – представлению об относительности конгруэнтности. Треугольники, показанные на рис. 3, оказываются неконгруэнтными, если числить их по ведомству плоскости, т. е. рассматривать, не выходя за пределы той плоскости, в которой они расположены; и они же конгруэнтны, если числить их расположенными в пространстве и тем самым разрешать выход за пределы плоскости. То же самое можно отнести к силуэтам или отпечаткам левой и правой ладоней: они конгруэнтны относительно пространства, но не конгруэнтны относительно плоскости.

Тем не менее очевидно наличие некой общности между членами каждой из пар фигур, представленных на рис. 2–5. Та же общность связывает левую и правую кисти рук, а также любой предмет с его отражением в зеркале. Сказать, что эта общность заключается в равенстве размеров, недостаточно. Каких именно размеров? Ведь, скажем, существуют весьма отличающиеся на глаз ромбы с совпадающими длинами сторон: бывают – или надо сказать «были»? – подставки для чайников в виде ромба с шарнирами по углам, изменяющие свою форму. Речь идёт о равенстве всех размеров, но это, конечно, требует уточнения. С этой целью вспомним обсуждавшееся в главе 7 понятие взаимно однозначного соответствия и рассмотрим взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек одной геометрической фигуры и множеством всех точек другой фигуры. Это соответствие называется изометрическим, коль скоро сохраняются расстояния между точками. Слова «сохраняются расстояния между точками» расшифровываются следующим образом: пусть при рассматриваемом соответствии точкам А и В первой фигуры соответствуют точки А₁ и В₁ второй фигуры; тогда расстояние между А₁ и В₁ должно быть равно расстоянию между А и В. Две геометрические фигуры называются изометричными, коль скоро между множествами их точек можно установить изометрическое соответствие. Каждый из треугольников на рис. 2 изометричен другому. То же справедливо для треугольников на рис. 3, для треугольных пирамид на рис. 4, для узлов на рис. 5. Левая и правая кисти изометричны; произвольный предмет изометричен своему зеркальному отражению. Понятие изометричности (она же изометрия), в отличие от конгруэнтности, абсолютно: наличие или отсутствие у фигур изометрии не зависит от того, рассматриваются ли они планиметрически, в пределах плоскости, или же стереометрически, в пределах пространства.

ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Если две фигуры, расположенные в одной и той же плоскости, изометричны друг другу, то они конгруэнтны, т. е. могут быть совмещены путём перемещения (возможно, с выходом в пространство, за пределы плоскости). Изометричные фигуры в пространстве необязательно конгруэнтны, т. е. необязательно допускают совмещение посредством перемещения (см. рис. 4–5).

Четвёртое измерение – брать пример с мыслителей Флатландии

Первоначальный вариант очерка «Апология математики» был напечатан в журнале «Новый мир» в 2007 г., в последних двух номерах. Статью прочёл Андрей Анатольевич Зализняк и 7 января 2008 г. прислал мне письмо, в котором, в частности, отмечал:

В некоторых случаях мне очень не хватает каких-то Ваших «человеческих» (образных, через аналогии и т. п.) попыток помочь читателю выйти мыслью за рамки своего нормального земного мышления. Так, мне кажется, всё это у Вас сделано, например, в вопросе о параллельных. Но мне очень хотелось бы чего-то подобного, в частности, в вопросе о четвёртом и прочих измерениях. Мне кажется, Вы не учитываете, что для 99 % читателей (из тех, кто вообще слыхал, что бывает больше чем три измерения) четыре измерения – это три обычных измерения + время (так сказать, хронотоп). И что они, следовательно, думают совсем не о том, читая Вас.

Нет ли способа дать читателю хоть какой-нибудь glimpse[80] о том, в каком примерно направлении (по сравнению с земной жизнью) устремляют своё воображение математики, когда они создают понятие четвёртого (пятого и т. д.) измерения? Ведь не из землемерия же это родилось. На Ваших страницах понятие четвёртого измерения появляется, если не ошибаюсь, так, как если бы читателю оно уже должно было быть если не понятным, то по крайней мере привычным.

Признаюсь, что без этого лично я не смог составить себе ни какого удовлетворительного представления о том, что такое трёхмерная сфера и, следовательно, о теореме Пуанкаре – Перельмана.

В настоящей подглавке я старался, как мог, исполнить пожелания Андрея Анатольевича.

Линии (в частности, прямые и окружности) одномерны, поверхности (в частности, плоскости и сферы) двумерны, точки нольмерны. Смысл этого утверждения можно пояснить следующим образом. Положение точки, лежащей на линии, задаётся указанием одного действительного числа; положение точки, лежащей на поверхности, – указанием двух чисел; чтобы задать положение точки в пределах самой этой точки, не нужно вообще никаких чисел, поскольку возможен лишь единственный вариант. Числа, задающие положение точки, называются её координатами. Таким образом, положение точки на линии определяется одной координатой, на поверхности – двумя координатами, на точке (или в точке – не знаю, как лучше) – нолём (нулём) координат. Координатой точки на линии может служить расстояние, пройденное этой точкой при движении вдоль линии (мы ссылаемся здесь на цитату из Киселёва). Посмотрим, откуда могут взяться (возможны и другие способы!) те две координаты, которые определяют положение точки на поверхности. Первая координата – это координата рассматриваемой точки на той линии, движением которой образована наша поверхность. Вторая координата – это то расстояние, которое прошла точка при движении линии по поверхности; данное расстояние может измеряться длиной, углом или ещё как-нибудь. Когда в школе в рамках курса математики изучают координаты на плоскости (абсциссу и ординату), исходят из измерения длин. Когда же на уроках географии знакомятся с координатами на поверхности Земли (широтой и долготой), исходят из измерения углов. Рекомендуем читателю подумать, как можно ввести координаты на поверхности тора.