Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 38)

Тела трёхмерны, и положение точки тела определяется тремя координатами. Чтобы задать, скажем, положение точки в толще Земли, надо указать две координаты на поверхности и затем третью, показывающую глубину.

В нашем мире нет четырёхмерных геометрических фигур. Но если очень напрячь воображение, можно представить себе их существование. Для этого перенесёмся в воображаемый плоский мир, так называемую Флатландию. Флатландия – это плоскость, населённая плоскими, не имеющими толщины существами – флатландцами.

Для них двумерная плоскость – это их мир, их вселенная; третье измерение недоступно их опыту. Они живут не на, а в плоскости (мы бы сказали «в её толще», если бы плоскость имела толщину). Представить себе трёхмерные тела они не в состоянии, но понимают, что такое два, одно и ноль измерений. Слово «поверхность» во флатландском языке отсутствует, поскольку нет ничего, что могло бы иметь поверхность. На уроках математики флатландским школьникам объясняют, что нет и не может быть такой прямой, которая проходила бы через вершину прямого угла и была перпендикулярна к двум его сторонам. Но некоторые флатландцы путём напряженных размышлений чисто умозрительно додумались до возможности существования трёхмерного мира с расположенными в нём трёхмерными телами, мира понятного нам с вами, живущим в этом мире, уважаемый читатель, флатландцам же недоступного. Эти же флатландцы утверждают, что если такой мир существует, то существует и та прямая, невозможность существования которой доказывают в школах; эта прямая протыкает Флатландию насквозь в вершине упомянутого прямого угла. Для пишущего эти строки важно, чтобы читатель понял, как устроена Флатландия, и проникся мировоззрением флатландцев. Может быть, кому-то покажется более понятным такая псевдофизическая модель Флатландии. Вместо плоскости возьмём тонкий слой, ограниченный двумя параллельными плоскостями (для наглядности – горизонтальными). Потребуем, чтобы в этом слое действовало следующее мироустройство: все геометрические фигуры состоят не из точек, как мы привыкли, а из вертикальных отрезков, перпендикулярных к ограничивающим плоскостям и упирающихся в них концами. Отрезки эти неделимы, как атомы в представлениях, державшихся до начала ХХ в.; никаких частей у вертикальных отрезков не существует. Все движения в слое происходят лишь вдоль ограничивающих плоскостей; направлений вверх и вниз просто-напросто не существует. Это и будет Флатландия, мир которой, с точки зрения его обитателей, двумерен.

Вот так и мы, следуя примеру философов и математиков Флатландии, усилием воображения можем допустить существование четырёхмерного мира с расположенными в нём четырёхмерными геометрическими фигурами – гипертелами. Мы не назвали их четырёхмерными телами, чтобы избежать путаницы. Ведь в принятой нами системе терминов слово «тело» уже подразумевает трёхмерность.

Путаница может возникнуть и со словом «пространство». Оно очень многозначно. К сожалению, все его значения важны, поэтому выбрать какое-либо одно из них, а остальные запретить невозможно. В цитате из учебника Киселёва этим словом обозначалось обычное, «школьное» пространство, в котором располагаются шары и многогранники.

Это пространство трёхмерно и евклидово (термин будет разъяснён далее). В школе молчаливо предполагают, что это и есть то физическое пространство, которое нас окружает, говоря попросту, «наше пространство». (В главе 8 мы вкратце обсудили возможность того, что физическое пространство не является евклидовым.)

Вернёмся на несколько минут к Флатландии. Треугольники, изображенные на рис. 3, не конгруэнтны относительно плоскости, но – для нас! – конгруэнтны относительно пространства. С флатландской же точки зрения, они, разумеется, изометричны, но не конгруэнтны ни в каком смысле, поскольку возможности выхода в трёхмерное пространство не существует во флатландском миропонимании. Но это если говорить о миропонимании флатландского обывателя, «человека с улицы». Однако, как уже было сказано, некоторые флатландские мыслители осознали теоретическую возможность существования третьего измерения и того, что указанные треугольники конгруэнтны относительно трёхмерного мира. Таким образом, эти мыслители (математики, философы, фантасты) допускают возможность такого, выходящего за пределы Флатландии перемещения, при котором один из треугольников с рис. 3 превратится в другой. Попытаемся взять пример с этих продвинутых, пытливых флатландцев и допустить, скажем, такое выводящее за пределы нашей трёхмерной Вселенной перемещение, при котором одна из пирамид с рис. 4 превращается в другую. Собственно, нет нужды ходить за примерами в Флатландию, вдохновляющий пример можно найти и на Земле, а именно у Г. Дж. Уэллса.

В 1896 г. Уэллс написал уже упоминавшуюся «Историю Платтнера» – рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер, совершивший фантастическое путешествие, возвращается из него зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой, и тело его имело нормальное строение, за исключением лёгкой асимметрии: «Левый глаз немного больше правого, и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны». А вот каким он сделался после путешествия: «Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! ‹…› Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая – с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. ‹…› Он может писать только левой рукой, причём справа налево»[81]. Заметим, что «новый» Платтнер изометричен самому себе «старому».

Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: «Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если поднимете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, – это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. ‹…› Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир».

Называя пространство евклидовым, мы тем самым подчёркиваем, что в нём выполняются аксиомы Евклида. В школьной математике слова «трёхмерное» и «евклидово» опускают и говорят просто «пространство», предполагая его и евклидовым, и трёхмерным. В этом пространстве, в отличие от Флатландии, можно найти три попарно перпендикулярных луча, исходящих из одной точки, но вот четвёртого луча, перпендикулярного к этим трём, найти не удаётся; более того, можно доказать, что такого луча и не существует. Однако если допустить возможность прямых, протыкающих пространство ровно в одной точке, то можно построить и четвёртый луч.

Евклидово расстояние

Евклидовость пространства можно определить и без ссылок на аксиомы Евклида. Дело в том, что в трёхмерном евклидовом пространстве расстояние s между точкой с координатами (x₁, y₁, z₁) и точкой с координатами (x₂, y₂, z₂) задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)² + (z₁ – z₂)².

Вот эта формула задания расстояний в трёхмерном пространстве и определяет его евклидовость. Иначе говоря, евклидовым называют такое трёхмерное пространство, в котором расстояние задаётся указанной формулой.

На плоскости расстояние s между двумя точками с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)².

Поэтому плоскость называют двумерным евклидовым пространством.

На прямой расстояние s между двумя точками с координатами x₁ и x₂ задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)².

Поэтому прямую называют одномерным евклидовым пространством.

Расстояния, определяемые выписанными формулами, называются евклидовыми. Приведём для ясности пример неевклидовых расстояний. Таковы, в частности, все расстояния, измеряемые по поверхности Земли, если считать Землю эллипсоидом. Чтобы получить евклидово расстояние между двумя точками на земной поверхности, надо провести через эти две точки прямую, которая неизбежно будет проходить в толще планеты, и измерить длину соединяющего точки отрезка. Для жителей Земли, однако, больший интерес представляют именно расстояния по поверхности.

Надеемся, читатель уже понял, что положение точки в четырёхмерном пространстве задаётся четырьмя координатами. При этом евклидовость четырёхмерного пространства означает, что евклидовым является расстояние s между точкой с координатами (x₁, y₁, z₁, u₁) и точкой с координатами (x₂, y₂, z₂, u₂), т. е. что оно задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)² + (z₁ – z₂)² + (u₁ – u₂)².

Точка в шестимерном пространстве имеет шесть координат. Предоставляем читателю написать формулу евклидова расстояния между точкой с координатами (x₁, y₁, z₁, u₁, v₁, w₁) и точкой с координатами (x₂, y₂, z₂, u₂, v₂, w₂).

В математике принято отождествлять точку с набором её координат. При таком отождествлении точка прямой – это просто-напросто действительное число, а прямая (она же одномерное евклидово пространство) – это множество всех действительных чисел с евклидовым расстоянием между ними. Точно так же точка плоскости (двумерного евклидова пространства) – это пара действительных чисел (x, y), а сама плоскость – множество всех пар действительных чисел с евклидовым расстоянием между парами. Трёхмерное, четырёхмерное и т. д. пространство – это множество всех троек (всех четвёрок и т. д.) действительных чисел (x, y, z) с евклидовым расстоянием между тройками (четвёрками и т. д.).