Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 36)

Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершают классическое направление, а с другой – открывают пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер.

Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер – как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.

На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Смысл этой устрашающей словесной формулы мы попытаемся разъяснить в следующих главах. В силу особенностей жанра наши разъяснения не будут совершенно точными. В их композиции мы постараемся по возможности учесть заветы Колмогорова, в 1950-е гг. учившего, как надо писать статью для энциклопедии. В ту пору энциклопедическая статья была устроена так: заглавное слово, тире, дефиниция, точка; дефиницией назывался текст, идущий сразу вслед за тире до ближайшей точки[71]. В крайнем случае статья могла этим исчерпываться. Если же автору дают ещё место, то, учил Колмогоров, следует написать несколько фраз, доступных человеку с начальным образованием. Если допустимый объём исчерпан, этим и следует ограничиться. Если же объём позволяет, надо написать абзац, требующий уже семиклассного образования, затем – десятиклассного[72]. Если статья достаточно большая, можно перейти к сюжетам, предполагающим образование высшее, а в конце – даже требующим специальных знаний. Наконец, при очень большом объёме в самом конце автор – в качестве премии самому себе – вправе поместить текст, который понимает он один. Этой премии мы себя лишим, но на четырёх- и семиклассное образование тоже не будем ориентироваться.

В заключение предложим в очень огрублённой форме космологическую интерпретацию гипотезы Пуанкаре. Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфия» означает некую степень глубинного сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если Вселенная обладает свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия, то она – в том же самом «известном смысле» – и есть трёхмерная сфера. В отличие от обычной двумерной сферы, т. е. поверхности шара, трёхмерная сфера недоступна нашему непосредственному наблюдению. Однако не исключено, что именно в ней мы все и живём.

Глава 10

От метрической геометрии к геометрии положения

Геометрические фигуры

Следуя принципу Колмогорова, мы начнём с цитаты из классического школьного учебника Киселёва – «кристальной киселёвской "Геометрии"», по словам Солженицына. Боюсь, что читатель XXI в. может и не знать, кто такой Киселёв. Андрей Петрович Киселёв (1852–1940) – великий просветитель в области математики, по его учебникам арифметики, алгебры и геометрии учились многие поколения российских школьников (в частности, те, которым было суждено составить впоследствии славу российской математики). Киселёвым были последовательно подготовлены к изданию «Систематический курс арифметики для средних учебных заведений» (1884), «Элементарная алгебра» (1888), «Элементарная геометрия» (1892). Эти учебники выдержали десятки изданий до революции и десятки изданий после (в советское время они назывались короче: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия»). Следует сказать, что в советское время они подвергались редактированию, подчас значительному, что не всегда делало их лучше[73]. Поэтому цитату мы приведём из § 6 дореволюционного, 1917 г., 26-го издания[74] «Элементарной геометрии»[75] (разбиение на абзацы сохраняем лишь частично):

Всякая ограниченная часть пространства называется геометрическим телом. Геометрическое тело можно подразделить на части; каждая часть геометрического тела есть также геометрическое тело. Граница геометрического тела, т. е. то, чем оно отделяется от остального пространства, называется поверхностью. Поверхность можно подразделять на части; всякая часть поверхности есть также поверхность. Граница поверхности или части поверхности называется линией. Линию можно также подразделять на части; каждая часть линии есть также линия. Граница линии или части линии называется точкой. Геометрическое тело, поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при помощи отвлечения мы можем рассматривать поверхность независимо от геометрического тела, линию – независимо от поверхности и точку – независимо от линии. При этом поверхность мы должны представлять себе не имеющею толщины, линию – не имеющею ни толщины, ни ширины и точку – не имеющею ни длины, ни толщины.

Всякая линия содержит в себе бесчисленное множество точек. Принято говорить, что эти точки лежат на линии или что эта линия проходит через эти точки. Их можно рассматривать как последовательные положения одной и той же точки, движущейся вдоль этой линии. Поэтому можно сказать, что линия есть след движения точки. Если, например, мы остриё карандаша двигаем по бумаге, то след этого движения на бумаге есть приблизительно линия; приблизительно потому, что остриё карандаша не представляет собою геометрической точки, вследствие чего проведённая на бумаге линия имеет некоторую ширину (и даже толщину). Чем острее очинён карандаш, тем более остриё его приближается к геометрической точке и тем более линия, проведённая этим остриём, приближается к геометрической линии. Подобно этому поверхность можно рассматривать как след движения линии, движущейся в пространстве некоторым образом.

Совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве, называется вообще геометрической фигурой.

Образуют ли геометрическую фигуру два не имеющих общих точек шара? Если исходить из точного смысла последней фразы приведённой цитаты, ответ должен быть утвердительным. Но нам хотелось бы получить право говорить, что это не фигура, а две фигуры. Поэтому мы включим в понятие фигуры дополнительное требование связности. Связность фигуры означает, что любые две её точки можно соединить линией, не выходящей за пределы фигуры. В дальнейшем, говоря «фигура», мы всегда будем подразумевать её связность.

Геометрические фигуры бывают плоские и пространственные («объёмные»); последние называются геометрическими телами. Примерами тел, изучаемых в средней школе, служат пирамиды, параллелепипеды, шары, конусы, цилиндры. Плоскую фигуру можно определить как часть плоскости, пространственную – как часть пространства. Плоские фигуры изучаются в планиметрии, пространственные – в стереометрии. Текст из учебника Киселёва написан с позиции стереометрии, в ней все геометрические фигуры, включая поверхности и линии, видятся расположенными в пространстве. При изучении планиметрии слово «поверхность» не произносят, хотя все такие плоские фигуры, как круг или многоугольник, при включении их в дискурс (автор не смог удержаться от искушения употребить модное словцо) стереометрии являются поверхностями.

Термин, обозначающий математическое понятие 'поверхность', как в русском, так и в других языках, происходит от бытового представления о поверхности чего-нибудь – стола, воды, Земли. Это прослеживается и в приведённой цитате. Однако такое понимание создает определённые неудобства. Скажем, чтобы подвести под определение поверхности платок (толщиной платка мы пренебрегаем), который может быть и не плоским, его необходимо непременно представить себе границей какого-то тела или дополнить до такой границы. Полезно поэтому иметь в виду следующее. Источником понятия (не слова, а понятия!) поверхности служит представление об очень тонком слое. Аналогично источником понятия линии служит представление об очень тонкой нити. Можно сказать, что поверхность – это бесконечно тонкий слой, линия – бесконечно тонкая нить (а точка – бесконечно малый кружочек). Вопрос к читателю: сфера – это тело или поверхность? Если отождествлять, как это нередко делают, понятия 'сфера' и 'шар', тогда, конечно, сфера есть тело. Но такое отождествление терминологически неправильно. Терминологически правильный ответ таков: сфера – это поверхность шара, а шар – это часть пространства, ограниченная сферой. Точно так же окружность – это граница круга, а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

А теперь посмотрим на тор. Тор – эта геометрическое тело, к форме которого в той или иной степени приближаются баранка, бублик[76], спасательный круг, обруч хулахуп. Энциклопедические словари определяют тор как геометрическое тело, полученное вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Но прибавляют: «Поверхность, ограничивающую тор, иногда также называют тором»[77]. Если тор понимают как тело, то его поверхность называют поверхностью тора. Если же тор понимают как поверхность, то ограниченное ею тело называют полноторием – с двумя употребительными вариантами именительного падежа: полноторие и полноторий. Но чаще всего, пренебрегая тонкостями, говорят просто «тор», извлекая смысл из контекста. Автор не уверен, что сумеет избежать подобной двусмысленности, устраняемой лишь контекстом, но будет очень стараться. И тор как тело и тор как поверхность не односвязны (это слово пока для нас всего лишь термин из формулировки проблемы Пуанкаре, а что оно значит, будет объяснено ниже).