Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 34)

«Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении», – писал в 1835 г. Лобачевский во вступлении к своему сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (впервые оно было опубликовано в четырёх номерах «Учёных записок Казанского университета» за 1835, 1836, 1837 и 1838 гг.). Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем сформулировать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что, хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно, существуют (если вообще признавать реальное существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на этот вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что, говоря о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства. Дело в том, что в геометрии Лобачевского отличие суммы углов треугольника от 180° тем больше, чем длиннее стороны этого треугольника; поэтому, чем больше треугольник, тем больше надежды заметить данное отличие – и тем самым подтвердить на практике аксиому Лобачевского. Отсюда возникает мысль измерять треугольники с вершинами в звёздах (недаром упомянутый выше Швейкарт называл звёздной геометрию, впоследствии предложенную Лобачевским). Такими измерениями занимался сам казанский ректор («И он вгляделся пристальней в безоблачную высь…»), но точность измерительных приборов оказалась недостаточной, чтобы уловить отклонение суммы углов треугольника от суммы двух прямых углов, даже если таковое отклонение и существует.

Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для бóльших – другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли – именно потому, что участок, план которого снимается, невелик. Поэтому, когда имеешь дело со сравнительно небольшими участками, разумно исходить из того, что Земля – плоская, оттого это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России шарообразность Земли не брать в расчёт нельзя, а при тонких расчётах приходится иметь в виду, что Земля есть эллипсоид (а точнее, геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам, отмечающим положение стрелка и цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично евклидова геометрия хорошо работает в малых масштабах, т. е. на доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит в масштабах очень больших. В рассказе Уэллса «История Платтнера» его герой Готфрид Платтнер проделывает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть совершено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в главе 12.

Но что же представляют собой идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и т. п., отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.

(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.

(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.

(4) Каж дого бокра будлают по меньшей мере две куздры.

Что такое куздры, бокры, будлать, оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для выведения из этих утверждений определённых заключений, т. е. таких, которые непременно являются истинными при условии истинности всех четырёх исходных посылок. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.

Итак, что мы имеем? Мы имеем какие-то объекты (в данном случае – куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае – отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае – в утверждениях (1) – (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае – аксиомы куздроведения). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, т. е. дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздроведения мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности геометрия. Ограничимся для простоты планиметрией, т. е. геометрией плоскости, не выходя в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:

(1) отношение инцидентности между точками и прямыми – точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу (в школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят, что «точка лежит на прямой» или же «прямая проходит через точку»);

(2) отношение «между», связывающее тройки точек, – из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна, произвольно выбранная, может находиться или не находиться между двумя другими;

(3) – (4) отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов – два отрезка или два угла могут быть или не быть конгруэнтны друг другу. (Когда-то в наших школах не боялись слова «конгруэнтны»; сейчас, к сожалению, это слово велено заменить на «равны». Почему к сожалению? А потому, что в виду имеется не отношение между длинами отрезков или величинами углов (и те и другие действительно равны, если соответствующие отрезки или углы конгруэнтны), а отношение между отрезками и между углами как геометрическими фигурами. А каждая сущность, геометрическая фигура в частности, может быть равна только самой себе.)

Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, что такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение «между», конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального физического мира, отражением каковых служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность совмещения одной фигуры с другой посредством перемещения.

На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) – (4) слово «куздра» на «точка», слово «бокр» – на «прямая», слово «будлать» – на выражение «лежать на». Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (4*): на каждой прямой лежат по меньшей мере две точки. Аналогично аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (1*), (2*) и (3*), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (1*) – (4*) составляют в совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык куздр: для куздры, не будлающей заданного бокра, существует не более одного бокра… (благоволите продолжить). И последнее: странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в 1920-х гг. учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка».

Глава 9

Проблема на миллион долларов

Давно известна классическая формула репортёров: если собака укусила человека, это не новость; другое дело, если человек укусил собаку. (От себя замечу, что иные из репортёров дают сообщение, что человек укусил собаку, и тогда, когда в действительности этого не было.) Сведения о том, что петербургский математик Григорий Перельман решил великую математическую проблему, 100 лет не поддававшуюся решению, начали появляться в российских средствах массовой информации с 2003 г. Но это была ещё не новость. Подлинной новостью, сенсацией – в согласии с приведённой формулой – стало облетевшее СМИ летом 2006 г. и заметное время не сходившее с экранов и страниц известие: Перельман отказался от всех присуждённых ему наград, в частности от миллиона долларов. Корреспондентам, пытавшимся взять у него интервью, Перельман вежливо, но решительно отказал во встрече, сославшись на неуместность шумихи, но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы, – эти причины были названы им в оглашённой по телевидению записи телефонного разговора с домогающимися корреспондентами. Одновременно сообщалось, что проблема не только знаменитая и очень трудная, но и существенная для теоретической физики, а именно для понимания устройства окружающего нас физического пространства.