Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 22)

Посмотрим, как обстоит дело с разбиением чисел на два простых слагаемых. Приступим к проверке, начав с 4 (числа 1, 2, 3 разбить так нельзя): 4 = 2 + 2; 5 = 2 + 3; 6 = 3 + 3; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 2 + 7; 10 = 5 + 5. Казалось бы, всё получается. Но вот на числе 11 мы спотыкаемся, его на два простых слагаемых разбить невозможно. Идём дальше: 12 = 5 + 7; 13 = 2 + 11; 14 = 7 + 7; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; на числе 17 опять заминка. Итак, мы быстро нашли два числа, которые не разбиваются на два простых слагаемых. Иной читатель скажет, что и не надо их разбивать на простые слагаемые, эти числа 11 и 17 уже сами простые. Но вот, скажем, числа 27 и 35 не являются простыми, а представить их в виде суммы двух простых слагаемых невозможно. Заметим, что все найденные нами числа, которые нельзя разбить на два простых слагаемых, нечётны. В неслучайности этого мы сейчас убедимся. Сумма двух нечётных чисел всегда чётна. Поэтому если нечётное число есть сумма двух простых слагаемых, то одно из этих слагаемых чётно. Но чётных простых чисел всего одно: это число 2. Значит, само исходное число на 2 больше какого-то простого. Но если перебирать числа в порядке возрастания, то подобные числа будут встречаться всё реже и реже, потому что всё реже и реже будут встречаться простые числа.

Гипотезу о том, что всякое чётное число, начиная с четырёх, может быть представлено в виде суммы двух простых слагаемых, принято называть бинарной гипотезой Гольдбаха. Бинарную гипотезу выдвинул Эйлер в ответном письме Гольдбаху[41]. Он заметил, что из бинарной гипотезы следует тернарная. Действительно, предположим, что бинарная гипотеза верна. Тогда для разложения числа n на три простых слагаемых надо сделать вот что. Если число n чётно, вычтем из него 2, если нечётно – вычтем 3. В обоих случаях получится чётное число, которое можно разложить на два простых слагаемых. Эти два слагаемых вкупе с вычтенной двойкой или тройкой и дадут искомое разложение. И наоборот, из тернарной гипотезы следует бинарная. Пусть тернарная гипотеза верна и требуется разложить чётное число n на два простых слагаемых. Поскольку n чётно, то n + 2 тоже чётно. Разложим его на три простых слагаемых. Если бы все эти слагаемые были нечётны, то и их сумма n + 2 была бы нечётна. Поэтому одно из слагаемых чётно и в силу того, что является простым числом, равно 2. Тогда остальные два слагаемых в сумме дадут n. Поэтому и бинарную, и тернарную гипотезу следует считать всего лишь различными формулировками одной и той же гипотезы – гипотезы Гольдбаха. Из сказанного вытекает, что есть только одна гипотеза Гольдбаха, имеющая различные эквивалентные формулировки.

К 1989 г. гипотеза Гольдбаха была доказана вплоть до гигантского числа, десятичная запись которого занимает около 43 тысяч знаков. Однако проблема Гольдбаха в её полном объёме остаётся нерешённой до сих пор, поскольку в ней говорится обо всех числах. Тернарную гипотезу Гольдбаха в применении к нечётным числам, т. е. гипотезу о том, что каждое нечётное число, начиная с семи, является суммой трёх простых чисел, принято называть слабой гипотезой Гольдбаха. Именно эта гипотеза привлекала наибольшее внимание исследователей. В 2013 г. произошло большое событие: Харальд Хельфготт, перуанец по рождению, американец по университетскому образованию и француз по месту современного жительства и работы, доказал слабую гипотезу Гольдбаха. До Хельфготта самого заметного успеха в этой области достиг советский математик И. М. Виноградов, доказавший, что каждое нечётное число, большее некоторой величины, является суммой трёх простых слагаемых. Однако названная величина оказалась астрономически велика, и потому проверить истинность гипотезы Гольдбаха для всех чисел, меньших этой величины, не представляется возможным.

Осознание того, что есть простые по формулировке вопросы, столетиями ждущие ответа, представляется поучительным. Не менее поучительно осознание того, что бывают и проблемы другого типа, не ждущие решения по причине того, что решения не существует в принципе.

Принято считать, что ранее всего – и по постановке, и по доказательству – была установлена принципиальная нерешимость проблемы нахождения общей меры двух отрезков, приписываемой школе Пифагора. Осторожные выражения «принято считать» и «приписываемая» означают, что затруднительно говорить как о бесспорных датировках, так и о бесспорном авторстве идей, относящихся к столь глубокой древности. Мы всё же будем придерживаться традиционной версии, достаточно правдоподобной.

Пифагор и пифагорейцы с их мистическим отношением к числам считали натуральные числа мерилом всех вещей, выразителями мирового порядка и основой материального бытия. Их занимала мысль об универсальной единице длины, т. е. о таком едином отрезке, который в каждом другом отрезке укладывался бы целое число раз. Прежде всего они пришли к пониманию, что такого отрезка не существует. Это сейчас его отсутствие кажется очевидным, тогда же осознание сего факта было подлинным открытием. Но оставался вопрос, существует ли подобный отрезок-мера, не общий для всех отрезков сразу, а свой для каждых двух отрезков. Для ясности сформулируем проблему более развёрнуто. Представим себе два каких-то отрезка. Их общей мерой называется такой отрезок, который в каждом из них укладывается целое число раз. Скажем, если второй из наших двух отрезков составляет треть первого, то этот второй отрезок и будет общей мерой: действительно, в первом отрезке он укладывается 3 раза, а во втором – 1. Отрезок, составляющий одну шестую первого отрезка, будет укладываться в нём 6 раз, а во втором – 2 раза, так что он также будет их общей мерой. Легко предъявить пару отрезков, для которых их общая мера будет укладываться в первом отрезке 6 раз, а во втором – 5; другая общая мера тех же отрезков будет укладываться в первом из них 18, а в другом – 15 раз. Теперь спросим себя, для любых ли двух отрезков существует их общая мера. Ответ неочевиден. В школе Пифагора был получен следующий поразительный результат: если взять какой-либо квадрат, а в нём – его сторону и его диагональ, то окажется, что эта сторона и эта диагональ не имеют общей меры! Говорят, что диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы. А соизмеримыми как раз и называются такие два отрезка, которые имеют общую меру.

Сегодня трудно себе представить силу эмоционального потрясения, испытанного, по дошедшим до нас из глубины веков сведениям, пифагорейцами, когда они обнаружили, что отрезки могут быть несоизмеримы. Рассказывают, что в благодарственную жертву богам они принесли около сотни быков (и с тех пор, как выразился кто-то, скоты всегда ревут, когда открывается новая истина). А ещё говорят, что пифагорейцы поклялись никому не сообщать о своём открытии. (И вот вам современная аналогия: по распространённому мнению, в наши дни велено скрывать от публики свидетельства о летающих тарелках. Я относил это мнение к числу предрассудков – и ошибался: в марте 2007 г. было объявлено, что Франция рассекречивает собиравшиеся десятилетиями данные о неопознанных летающих объектах.) По одной из легенд, возможно, придуманной самими пифагорейцами в острастку другим нарушителям, нашёлся преступивший клятву и был убит.

Оценивая открытие несоизмеримых отрезков с современных позиций, по прошествии двух с половиной тысяч лет, можно усмотреть в нём два общекультурных аспекта. Первый заключается в том, что впервые было доказательно установлено отсутствие чего-то – в данном конкретном случае общей меры стороны и диагонали одного и того же квадрата. Произошёл один из самых принципиальных поворотов в интеллектуальном развитии человечества. В самом деле, доказать, что что-то существует, можно, предъявив это «что-то». Например, если бы гипотеза Ферма оказалась неверна, то для её опровержения достаточно было бы предъявить некоторый показатель степени и соответствующую ему тройку Ферма. Но как доказать, что чего-то нет? Если искомое «что-то» заведомо содержится в известной и ограниченной совокупности, то, вообще говоря, можно перебрать все элементы этой совокупности и убедиться, что ни один из них нам не подходит. Но что делать, если искать наше «что-то» надлежит в совокупности необозримой? А именно эта ситуация и имеет место при поиске общей меры, ведь искать её приходится в необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остаётся единственный способ: доказывать отсутствие не путём непосредственного наблюдения, а путём логического рассуждения. Его и применили пифагорейцы.

Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали Пифагор и его ученики, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. До нас дошло чисто геометрическое и притом чрезвычайно изящное доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным, неизвестно[42]. Сейчас, как правило, принято сводить несоизмеримость диагонали и стороны к вопросу из теории чисел. А именно: используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2x² = y². (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения x и y дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а надо бы: этот пример демонстрирует и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y, что 2x² = y². Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. Вот первая часть: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне x раз, а в диагонали – y раз; тогда по теореме Пифагора 2x² = y². А вот вторая часть: если найдутся такие целые числа x и y, что 2x² = y², то по обратной теореме Пифагора треугольник с длинами сторон x, x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y. Таким образом, великое пифагорейское открытие не только было значительным само по себе, но и проложило дорогу к пониманию и доказательству замечательного факта: уравнение может не иметь решений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решений (среди целых чисел, как в нашем примере, или среди действительных чисел, как уравнение x² = −1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2x² = y² настолько просто, что доступно школьнику младших классов[43]; боюсь, однако, в школах его не излагают.