Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 21)

Итан Чжан родился в Шанхае в 1955 г. (более точной даты установить не удалось). Через 11 лет в Китае началась так называемая Великая пролетарская культурная революция – инициированный и управляемый лично Мао Цзэдуном хаос, сопровождавшийся погромами и нанёсший колоссальный урон культуре и образованию. Только в 1978 г., в двадцатитрёхлетнем возрасте, Чжан поступил в Пекинский университет, в стенах которого пребывал вплоть до присвоения ему магистерской степени в 1984 г., после чего он получил право на продолжение учёбы в престижном американском Университете Пердью. В этом университете Чжан обучался с января 1985 г. по декабрь 1991 г., когда стал доктором математики[37].

А потом наступили тяжёлые времена. Чжан не сумел найти работу по специальности. Но он не отчаялся. Несколько лет он работал то в лавке, торгующей сэндвичами, то бухгалтером в ресторане, то разносчиком пиццы, то служащим мотеля. Только в 1999 г. Чжану удалось устроиться на временную работу преподавателя в Университете Нью-Хэмпшира. В этом качестве он в 2013 г. сделал одно из крупнейших открытий в теории чисел. Гром пошёл по пеклу, и Чжана тут же произвели в полные профессора, осыпали премиями[38] и избрали членом Китайской академии наук.

Попробуем объяснить, что именно сделал Чжан.

Расстояние между n-м простым числом p(n) и ближайшим следующим простым числом p(n + 1), т. е. разность p(n + 1) – p(n), обозначим через r (n). Вот первые 12 членов последовательности, составленной из этих расстояний r(n):

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 6, 4.

Двойка встречается здесь пять раз; гипотеза близнецов состоит в том, что во всей бесконечной последовательности она встретится бесконечное число раз.

Насколько редко могут быть расположены простые числа? Иными словами, насколько велики могут быть числа r(n)? Оказывается, отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными. Вот типичная задача, часто предлагаемая в школьных кружках по математике: для произвольного числа n предъявить n подряд идущих чисел, ни одно из которых не является простым. Решение: надо взять числа (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, …, (n + 1)! + (n + 1). Каждое из этих n чисел составное: первое делится на 2, второе – на 3, третье – на 4 и т. д. Стало быть, расстояние между соседними простыми числами может быть сколь угодно велико.

При возрастании n среднее значение числа r(n) стремится к бесконечности. Это значит, что к бесконечности стремится дробь

Более того, в 1896 г. два знаменитых математика – француз Жак Адамар (Jacques Salomon Hadamard, 1865–1963) и бельгиец Шарль Жан Валле-Пуссен (Charles Jean Étienne Gustave Nicolas de la Vallée Poussin, 1866–1962) – независимо друг от друга доказали, что s(n) стремится к бесконечности с той же скоростью, что и логарифм n: отношение s(n)/log(n) стремится к 1[39]. Оставался открытым вопрос, не стремятся ли к бесконечности и сами члены последовательности r(n).

Нет, доказал в 2013 г. Чжан, члены последовательности r(n) к бесконечности не стремятся.

Из этого результата, полученного китайским исследователем, вытекает следствие, имеющее самое непосредственное отношение к проблеме близнецов. Коль скоро последовательность чисел r(n) не стремится к бесконечности, то существует число M, обладающее следующим свойством: количество натуральных чисел n, для которых r(n) ≤ M, бесконечно. Это бесконечное множество разбивается на конечное число подмножеств H_q = {n: r(n) = q}. Хотя бы одно из этих подмножеств бесконечно. А это значит, что существует бесконечное множество простых чисел, расстояние от которых до следующего равно в точности q. Всякое такое q естественно называть числом Чжана. Открытие китайского математика состояло в доказательстве того, что числа Чжана (разумеется, сам он их так не называл) существуют – до него это не было известно. Доказательство Чжана принадлежало к доказательствам чистого существования (см. сноску 35 о доказательстве Вигго Бруна): не было названо ни одного числа Чжана. Однако Чжан доказал, что хотя бы одно число Чжана существует в пределах первых 70 миллионов. К апрелю 2014 г. соединёнными усилиями различных математиков рубеж 70 000 000 удалось понизить до 246. Гипотеза близнецов состоит в том, что число 2 является числом Чжана.

Семнадцатого апреля 2013 г. статья Чжана под названием «Ограниченные промежутки между простыми числами» («Bounded gaps between primes»), излагающая его выдающийся результат, поступила в Annals of Mathematics – престижнейший математический журнал, издающийся совместно Принстонским университетом и Институтом перспективных исследований (Institute for Advanced Study). Надо сказать, что поначалу статья неизвестного автора была встречена редакцией скептически. Однако рецензирование подтвердило её математическую безупречность, и в начале мая 2013 г. она была принята к печати, а опубликована в майском номере журнала за 2014 г. (т. 179, вып. 3, с. 1121–1174).

Проблема Гольдбаха

Она состоит в требовании доказать гипотезу Гольдбаха, которая в современном понимании сводится к тому, что каждое число, начиная с шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Справедливость этого утверждения для небольших чисел может проверить каждый: 6 = 2 + 2 + 2; 7 = 2 + 2 + 3; 8 = 2 + 3 + 3 и т. д. Но произвести проверку для всех чисел, как того требует гипотеза, конечно же, невозможно. Требуется какое-то иное доказательство, нежели просто проверка. Однако, несмотря на все старания, такое доказательство до сих пор не найдено.

Гипотеза была выдвинута в 1742 г. Христианом Гольдбахом в переписке с Леонардом Эйлером. Основная деятельность этих учёных протекала в России; Гольдбах был похоронен в Москве в 1764 г., а Эйлер – в Петербурге в 1783 г. Чем славен Эйлер, едва ли не самый продуктивный и один из самых великих математиков за всю историю человечества, легко узнать, если заглянуть, как в старые времена, в энциклопедический словарь. Сведения же о том, что собой представляет Гольдбах, словари дают скупо. За информацией о нём придётся обратиться к специальной литературе или же провести разыскания в интернете. Между тем некоторые из фактов заслуживают того, чтобы здесь их изложить. Хотя математические статьи, опубликованные Гольдбахом в научных журналах, и не оставили сколько-нибудь заметного следа в математике, он являлся признанным членом математического сообщества своего времени. Был лично знаком или состоял в переписке с рядом выдающихся умов, в том числе с Лейбницем; его переписка с Эйлером продолжалась 35 лет и прекратилась лишь со смертью Гольдбаха. Ему писали охотно и содержательно. Лишь из письма к Гольдбаху знаменитого математика Даниила Бернулли от 28 мая 1728 г. мы узнаём о математических достижениях Василия Евдокимовича Ададурова (1709–1780), и только это сделало возможным появление статьи об Ададурове в биографическом разделе однотомного «Математического энциклопедического словаря». Один из историков науки (кстати, правнук Эйлера и непременный секретарь Петербургской академии наук) писал: «Его [Гольдбаха] переписка показывает, что если он не прославился ни в одной специальности, то это следует приписать большой универсальности его познаний. То мы видим его обсуждающим… кропотливые вопросы классической и восточной филологии; то он пускается в нескончаемые археологические споры…» В своих письмах Гольдбах предстаёт как человек, наделённый и интуицией, и способностью чувствовать новое. В России, куда он приехал в 1725 г. в возрасте 35 лет, Гольдбах сделал головокружительную карьеру. Он сразу получил место секретаря, а также историографа организуемой во исполнение замысла Петра I Императорской академии наук; именно он вёл (на латыни) первые протоколы академии. С 1737 по 1740 г. он был одним из двух лиц, осуществлявших административное управление академией (другим был Шумахер; обоим по этому случаю присвоили чин коллежского советника). В конце 1727 г. он был назначен наставником двенадцатилетнего императора Петра II. Рассказывают, что руководство по обучению царских детей, составленное Гольдбахом в 1760 г., применялось на практике в течение 100 последующих лет. В 1742 г. Гольдбах стал служить по ведомству Коллегии иностранных дел, получал награды, земли и чины и к 1760 г. дослужился до тайного советника. Чин этот довольно точно отражал его обязанности, поскольку Гольдбах состоял в должности криптографа. Эйлеру тоже захотелось чина. Однако Екатерина II, благосклонно встретившая его пожелания относительно жалованья, казённой квартиры и обеспечения его трёх сыновей должностями и доходами, весьма дипломатично отказала: «Я дала бы, когда он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоят г-на Эйлера. Поистине его известность лучше чина для оказания ему должного уважения».

На самом деле Гольдбах выдвинул гипотезу, очень похожую на ту, что носит его имя, но всё же отличную от неё[40]. Дело в том, что в его терминологии к простым числам относилась и единица, которую в наши дни (и в нашей статье) к простым числам не относят.

Гипотезу о разбиении любого числа на три простых слагаемых часто называют тернарной гипотезой Гольдбаха.