Доказательство Евклида настолько просто и поучительно, что сейчас мы его воспроизведём. Итак, мы хотим убедиться, что невозможен такой конечный список чисел, который содержал бы все простые числа. Для этого возьмём какой угодно конечный список простых чисел (k, l, m, …, r, s, t) и найдём простое число, в нём отсутствующее; это будет означать, что простые числа не могут быть исчерпаны никаким конечным списком. Перемножим все числа нашего списка. Мы получим число k · l · m · … · r · s · t. Чтобы о нём говорить, как-нибудь его обозначим, например Q. Ясно, что это Q делится на каждое из чисел k, l, m, …, r, s, t нашего списка. Теперь посмотрим на число Q + 1. Оно больше единицы, а потому, как мы убедились выше, у него найдётся хотя бы один простой делитель. Обозначим буквой p какой-нибудь простой делитель числа Q + 1. Он не может совпадать ни с одним из чисел k, l, m, …, r, s, t, потому что тогда бы получалось, что на это p делятся два последовательных числа, а именно Q и Q + 1, что невозможно. Вот мы и нашли простое число, не входящее в наш список (k, l, m, …, r, s, t). Другое, уже не такое короткое, но весьма остроумное доказательство бесконечности ряда простых чисел принадлежит великому швейцарско-российскому математику Леонарду Эйлеру. Сказанное не вполне точно. Эйлеру не было нужды доказывать хорошо известный факт. Но он доказал одну теорему, содержание которой мы приведём ниже, а из неё этот факт немедленно вытекает. Поэтому мы позволим себе говорить о доказательстве Эйлера.
Доказательство Эйлера
Прежде всего условимся временно отказаться от нашего соглашения называть числами только положительные целые числа. Рассмотрим какую-либо конечную или бесконечную совокупность положительных чисел. Будем называть эту совокупность ограниченной сверху, если существует такое число, которое больше всех чисел, входящих в рассматриваемую совокупность. Всякое такое число будем называть верхним ограничителем этой совокупности. Ясно, что если наша совокупность конечна, то она ограничена сверху: в качестве верхнего ограничителя можно взять, например, сумму всех чисел, принадлежащих нашей совокупности. (Бесконечная совокупность чисел также может быть ограничена сверху, даже если её члены возрастают. Такова, например, совокупность {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …}. Действительно, одним из её верхних ограничителей является число 6. (Упражнение для читателя: какой из ограничителей этой совокупности является самым маленьким?) Предположим далее, что нам удалось расположить все числа исследуемой совокупности в виде конечной или бесконечной последовательности (A):
(A) a1, a2, a3, a4, a5, ….
Если наша совокупность конечна, то последовательность (A) где-то оборвётся. Если же совокупность бесконечна, то последовательность (A) продолжается неограниченно. Будем теперь одну за другой образовывать суммы начальных членов этой последовательности: сначала образуем сумму двух первых членов, затем первых трёх и т. д., пока возможно. Процесс оборвётся, если конечна последовательность (А). Если же она бесконечна, процесс продолжится неограниченно. В итоге возникнет конечная или бесконечная последовательность (В):
(B) a1 + a2, a1 + a2 + a3, a1 + a2 + a3 + a4, a1 + a2 + a3 + a4 + a5, ….
Если совокупность всех членов последовательности (A) конечна, то совокупность всех членов последовательности (В) также конечна и, следовательно, ограничена сверху. Поэтому, если оказалось, что совокупность всех членов последовательности (B) не является ограниченной сверху, то она бесконечна, а значит, бесконечна и совокупность всех членов последовательности (A). В этом суть Эйлерова доказательства бесконечности ряда простых чисел. В качестве последовательности (A) берётся последовательность дробных чисел, обратных простым, т. е. последовательность дробей 1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13 и т. д. Тогда в качестве последовательности (B) выступит последовательность сумм
1/2 + 1/3, 1/2 + 1/3 + 1/5, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, ….
В той своей теореме[35], на которую мы здесь ссылаемся, Эйлер доказал, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху. Следовательно, она бесконечна. А значит, бесконечна совокупность {1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, …} всех дробей, обратных простым числам. Стало быть, бесконечна и сама совокупность простых чисел.
Когда-то изучение простых чисел рассматривалось как чистая игра ума. Оказалось, однако, что простые числа (особенно большие, требующие для своей записи сотен десятичных знаков простые числа) могут быть чрезвычайно полезны для решении многих практических задач защиты информации, в том числе криптографии. Тайнопись существовала уже во времена античности, а возможно, и раньше. Что касается России, то мне довелось видеть факсимильное воспроизведение документа XVII в., в котором говорилось о необходимости изобрести такое письмо, которое только его царскому величеству, и никому другому, было бы ведомо. Мальчишеское воображение всегда увлекала романтика шифров. Вспомним культовый советский сериал «Семнадцать мгновений весны», эту сказку для детей зрелого возраста. Её главный герой – штандартенфюрер Макс Отто фон Штирлиц, под каковым именем скрывается доблестный разведчик (шпион, с германской точки зрения) полковник Максим Максимович Исаев. Пользуясь конспиративным псевдонимом Юстас, Исаев отправляет шифрованные донесения Алексу. Не исключено, что тем же шифром пользуются и другие агенты Алекса. Теперь вообразим себе такую ситуацию. Шифр вот-вот будет разгадан противником, и узнавший об этом Алекс должен срочно сообщить всем своим агентам новый способ шифровки сообщений. В довершение бед Алекс лишен возможности отправить агентам шифрограммы (например, код, которым он пользуется, уже раскрыт). Казалось бы, положение совершенно безнадёжное. Однако в конце 1970-х гг. была предложена технология так называемого открытого ключа, позволяющая нынешним алексам публиковать новые инструкции по шифрованию совершенно открыто: например, в виде объявлений в средствах массовой информации. Инструкция состоит в указании двух чисел. Одно из них является произведением двух достаточно больших простых множителей, но сами эти множители разведцентр не объявляет, так что они не известны даже отправителям шифрованных сообщений. Подобный способ позволяет шифровать сообщение всякому, а вот расшифровать его смогут только в центре. Взломать код тем труднее, чем больше указанные множители.
Среди нерешённых проблем, связанных с простыми числами, назовём две – проблему близнецов и проблему Гольдбаха.
Проблема близнецов
Заметим, что встречаются очень близко расположенные друг к другу простые числа, а именно такие, расстояние между которыми равно 2. Пример: 41 и 43. Такие числа называются близнецами. Начнём последовательно выписывать пары близнецов: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), …, (41; 43), …, (821; 823), …, (1 000 000 007; 1 000 000 009) и т. д. Спрашивается, закончится ли когда-нибудь этот ряд пар? Наступит ли момент, когда будет выписана последняя пара и список близнецов окажется исчерпанным, или же ряд близнецовых пар продолжается неограниченно и их совокупность бесконечна (как бесконечна совокупность простых чисел)? Есть гипотеза, что совокупность близнецовых пар бесконечна. Проблема доказательства этой гипотезы близнецов и есть проблема близнецов. Она не решена до сих пор, хотя с помощью компьютеров и найдены весьма большие близнецы. Рекорд на конец декабря 2011 г. – близнецы, содержащие по 200 700 десятичных знаков: это два простых числа, на единицу большее и на единицу меньшее произведения 3 756 801 695 685 · 2666 669.
Попробуем решить её тем же методом, каким была установлена бесконечность совокупности простых чисел в доказательстве Эйлера. В качестве последовательности (A) возьмём последовательность чисел, обратных близнецам, т. е. последовательность дробей (1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, 1/17,…). В качестве (B) тогда возникнет последовательность сумм
1/3 + 1/5, 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13, ….
Если бы удалось обнаружить, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху, то это означало бы, что ряд близнецовых пар никогда не закончится, и проблема близнецов была бы решена. Такая надежда теплилась до 1919 г., когда норвежский математик Вигго Брун (Viggo Brun) доказал, что совокупность этих сумм ограничена сверху[36]. «И прекрасно, – скажет иной читатель, – это также означает решение проблемы близнецов, но только с противоположным результатом: совокупность близнецов конечна». Однако такой вывод неправилен, что показывает следующий простой пример. Последовательность сумм
1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32, ….
ограничена сверху (наименьший ограничитель – число 1), но ряд степеней двойки (2, 4, 8, 16, 32 и т. д.) – бесконечен.
Итан Чжан и его открытие
Сенсационный прорыв в проблеме близнецов произошёл весной 2013 г. И совершил этот прорыв мало кому до того известный математик китайского происхождения, занимавший на тот момент более чем скромную должность в американском Университете Нью-Хэмпшира. Зовут этого математика Итан Чжан (Yitang Chang, а в стандартной латинской транслитерации пиньинь и с учётом того, что в китайском языке фамилия предшествует имени – Zhāng Yìtáng). В истории математики это редчайший случай, когда математик делает первое выдающееся открытие на пороге шестидесятилетия.
