Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 15)

Возникает естественный вопрос: а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и более высокие степени? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a³ + b³ = c³, или равенство a⁴ + b⁴ = c⁴, или a⁵ + b⁵ = c⁵ и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть тройкой Ферма. Более точно, условимся называть тройкой Ферма для показателя n любую тройку целых положительных чисел a, b, c, для которой выполняется равенство aⁿ + bⁿ = cⁿ. Таким образом, пифагоровы тройки суть не что иное, как тройки Ферма для показателя 2. Итак, вопрос состоит в том, существует ли тройка Ферма для какого-либо показателя, большего двух.

Этим вопросом заинтересовался великий французский математик середины XVII в. Пьер Ферма (вообще-то, занятия математикой, а заодно и оптикой для него были хобби, служебные его обязанности состояли в заведовании отделом петиций тулузского парламента). Поиски требуемых примеров ни к чему не привели, и Ферма пришёл к убеждению, что их не существует. Утверждение о несуществовании троек Ферма принято называть Великой теоремой Ферма. Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма, поскольку автор утверждения не оставил нам его доказательства. Ферма оставил потомкам лишь две латинские фразы, написанные им около 1637 г. на полях изданной в 1621 г. в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта. (Поля в книге были широкими, и Ферма делал на них заметки по ходу чтения.) И вот какие две фразы он, в частности, написал (приводим их в переводе): «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet (букв. скудость поля его не вмещает)]». В бумагах Ферма после его смерти было найдено лишь доказательство Великой теоремы для показателя 4, т. е. невозможности равенства a⁴ + b⁴ = c⁴ ни при каких целых положительных a, b, c (а в нашей терминологии – отсутствия троек Ферма для показателя 4).

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их, да и то, как правило (если не всегда), без доказательств, сообщалась им в личной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 г. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 г. старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Так Великая теорема стала известна человечеству. Могла ли она не привлечь внимания ореолом романтической тайны, окружавшим её появление? Неочевидность наблюдения гения, соединённая с простотой и наглядностью, короткая запись на полях книги Диофанта, утверждение о наличии «поистине удивительного» доказательства, тщетность попыток обнаружить это доказательство… Всё это чем-то напоминало записку из бутылки, выловленной в океане, с точными, но частично размытыми водой указаниями о месте, где зарыт клад.

Лишь через 100 лет дело сдвинулось с мёртвой точки: в 1770 г. великий математик Эйлер доказал теорему Ферма (т. е. отсутствие троек Ферма) для показателя 3. Ещё через 55 лет было установлено отсутствие троек Ферма для показателя 5, затем, в 1839 г., – для показателя 7. Читатель, несомненно, обратит внимание и на медленность продвижения вперед, и на его ускорение. Но как бы ни убыстрялся прогресс, речь шла об отдельных показателях, тогда как Великая теорема в своём полном объёме провозглашала отсутствие троек Ферма для любого целочисленного показателя, начиная с трёх. Впрочем, с самого начала было очевидно, что если тройка Ферма найдётся для какого-то показателя kn, кратного числу n, то и для самого n найдётся тройка Ферма.

Действительно, если a, b, c служат тройкой Ферма для kn, то это значит, что a^kn + b^kn = c^kn, или (a^k)ⁿ + (b^k)ⁿ = (c^k)ⁿ, так что тройка чисел a^k, b^k, c^k служит тройкой Ферма для показателя n. Из полученных к 1839 г. результатов следовало поэтому, что Великая теорема доказана для бесконечных рядов чисел 3, 6, 9, 12, 15, 18, …; 4, 8, 12, 16, 20, 24, …; 5, 10, 15, 20, 25, 30, …; 7, 14, 21, 35, 42, 49, ….

Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание проблемы Ферма. В XIX – начале ХХ в. несколько выдающихся исследователей внесли свой вклад в изучение этой проблемы. Из них мы выделим двух немецких математиков – Куммера и Линдемана.

Эрнст Эдуард Куммер (Ernst Eduard Kummer, 1810–1893), создатель алгебраической теории чисел, начал заниматься проблемой Ферма в 1837 г. Он впервые предложил некие общие методы, позволившие ему, в частности, доказать теорему Ферма для всех показателей в пределах первой сотни, а стало быть, как мы знаем, и для всех показателей, делящихся на какое-нибудь число в пределах первой сотни. А главное, он проложил дорогу для дальнейших исследований.

Среди учеников Фердинанда Линдемана (Carl Louis Ferdinand von Lindemann,1852–1939) были и великий математик Давид Гильберт, и великий геометр Герман Минковский (создатель геометрической теории чисел и той четырёхмерной геометрической модели, которая легла в основу теории относительности). Сам Линдеман совершил одно из величайших открытий в истории математики – доказал, что проблема квадратуры круга, о которой мы расскажем в главе 5, не имеет решения. Но Линдемана мы назвали здесь по совсем иной причине, нежели Куммера. Дело в том, что у него была жена. Ей оказалось недостаточно той всемирной славы, которую принесло мужу его открытие (вспомним «Сказку о рыбаке и рыбке»), и она заставляла его доказывать Великую теорему Ферма. Он страдал, но вынужден был подчиняться. Результатом были недостойные такого замечательного математика публикации с ошибочными доказательствами. Последнее из них относится к 1907 г., а его 66-страничная публикация состоялась в 1908 г. (читатель вскоре поймёт, зачем нам нужны эти даты). Вот уж точно «Не корысти ради, а токмо волею пославшей мя жены», как говаривал в погоне за 12 стульями окарикатуренный Ильфом и Петровым несчастный иерей Фёдор Иванович Востриков. («Бывают странные сближения»[25].) Корыстный мотив возникнет хотя и близко по времени, но всё же позже.

Вскоре в среде математиков появилось ощущение, что доказать теорему Ферма невозможно. (Предпринимались даже попытки эту невозможность обосновать.) Заниматься этой проблемой среди профессионалов сделалось почти так же неприлично, как изобретать вечный двигатель. Я ещё помню, как, поступив в 1947 г. на мехмат, почувствовал это разлитое в воздухе ощущение. (Впрочем, ходили слухи, что, не афишируя того, проблемой Ферма всерьёз занимается Александр Осипович Гельфонд, один из крупнейших мировых специалистов по теории чисел и один из очень немногих советских математиков, удостоенных статьи в Британской энциклопедии[26].)

И раз уже профессионалы заниматься проблемой Ферма не желали, в назидание (или в наказание) им за неё взялись дилетанты – так называемые ферматисты.

Всё началось с того, что Пауль Вольфскель (Paul Friedrich Wolfskehl), родившийся 30 июня 1856 г. в Дармштадте в состоятельной и образованной семье, в 1880 г. заметил у себя симптомы рассеянного склероза. Для истории теоремы Ферма это имело два последствия. Во-первых, Вольфскель, в том году получивший в Гейдельберге степень доктора медицины, понял, что практикующего врача из него не выйдет, поскольку в недалёком будущем он окажется прикован к инвалидному креслу-каталке. Поэтому он перешёл от занятий медициной к занятиям математикой, которой вскоре весьма увлёкся. Он изучал математику в Бонне и Берлине, где слушал лекции того самого знаменитого Куммера (сам читал какие-то лекции, опубликовал несколько математических статей). Но главным увлечением его сделалась теорема Ферма. Говорят, чтение работы Куммера, ей посвящённой, в последний момент спасло Вольфскеля от самоубийства, совершить каковое он намеревался из-за неудач на любовном фронте и безуспешных попыток доказать Великую теорему. Как бы то ни было, именно занятия проблемой Ферма скрасили последние годы жизни Вольфскеля, к тому времени почти полностью парализованного. Итак, первым следствием болезни стало увлечение проблемой Ферма. А вторым – решение родственников, обеспокоенных прогрессирующей неподвижностью Пауля, подыскать наконец ему жену. (Вот уже второй раз в истории долгой осады проблемы Ферма возникает тема жены. Возникнет и в третий.) Предполагалось, что жена будет присматривать за больным. В супруги ему подобрали 53-летнюю старую деву. Брак был заключён 12 октября 1903 г. Родственники крупно просчитались: новобрачная оказалась… как бы это помягче сказать? Короче, она оказалась сущей ведьмой и сумела превратить жизнь мужа в подлинный ад. Поэтому в январе 1905 г. он изменил свою последнюю волю, завещав значительную часть состояния, а именно 100 тысяч марок, научному обществу в Гёттингене для награждения того, кто первым докажет Великую теорему Ферма[27].