Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 14)

Тему египетского треугольника можно подразделить на три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 3² + 4² = 5². В каждой из этих подтем усматриваются элементы, относящиеся к тому, что автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Подкрепим сказанное примерами.

Сперва о понятии «прямой угол». Оно может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но не на визуальных примерах, а вербально, например по телефону. Вот решение. Попросите собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если эти углы равны друг другу, каждый из них и называют прямым. «При чем тут духовная культура, если речь идёт о жердях?!» – возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть надежда, что любопытный скиф его поймёт. Кстати, если скиф окажется не только любопытным, но и глубокомысленным, он заявит, что ему непонятно, какие углы называются равными, а непонятно потому, что каждая сущность может быть равной только сама себе. И в этом мы согласны со скифом. Ведь когда говорят, скажем, о равенстве людей, то всегда прибавляют (хотя бы мысленно), в чем они равны. Вспомним, например, первую фразу 1-й статьи Всеобщей декларации прав человека: «Все люди рождаются свободными и равными в своём достоинстве и правах». Поэтому скиф вправе требовать разъяснений. Вербальные разъяснения здесь таковы: имеется в виду равенство угловых размеров углов, но поскольку неизвестно, что такое угловой размер, то равенство углов понимается как возможность их совпадения при перемещении. («А как же они могут совпасть, если все четыре расстояния от точки пересечения до конца жерди различны?» – не унимается скиф. Продолжить беседу с ним предоставляем читателю.)

Теперь – пример, относящийся к треугольникам. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция – это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различного вида; при этом существенно, что примыкают лишь целые стороны, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым – и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний – как на суше, так и на море – появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II в. до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III в. до н. э., другой знаменитый древний грек, заведовавший Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Эратосфен хотел измерить длину меридиана и считал, что эти два египетских города лежат на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он далее путём изящных геометрических рассуждений вычислил длину всего меридиана и, как следствие, радиус земного шара.

Ещё в XVI в. расстояние (примерно 100 км) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Приблизительность результатов подобных измерений очевидна. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в 1615–1617 гг. измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер 1°11′30''.

Посмотрим, как триангуляция позволяет определять расстояния. Сперва выбирают какой-нибудь участок земной поверхности, включающий в себя оба пункта, расстояние между которыми хотят найти, и доступный для проведения измерительных работ на местности. Этот участок триангулируют, т. е. покрывают сетью треугольников, образующих триангуляцию. Затем выбирают один из треугольников триангуляции; будем называть его начальным. Далее выбирают одну из сторон начального треугольника. Она объявляется базой, и её длину тщательно измеряют. В вершинах начального треугольника строят вышки с таким расчётом, чтобы каждая была видна с других вышек. Поднявшись на вышку, расположенную в одной из вершин базы, измеряют угол, под которым видны две другие вышки. После этого поднимаются на вышку, расположенную в другой вершине базы, и делают то же самое. Так, путём непосредственного измерения получают сведения о длине одной из сторон начального треугольника (а именно о длине базы) и о величине прилегающих к ней углов. По формулам тригонометрии вычисляют длины двух других сторон этого треугольника. Каждую из них можно принять за новую базу, причём измерять её длину уже не требуется. Применяя ту же процедуру, можно теперь узнать длины сторон и углы любого из треугольников, примыкающих к начальному, и т. д. Важно осознать, что непосредственное измерение какого-либо расстояния проводят только один раз, а дальше уже измеряют только углы между направлениями на вышки, что несравненно легче и может быть сделано с высокой точностью. По завершении процесса оказываются установленными величины всех участвующих в триангуляции отрезков и углов. А это, в свою очередь, позволяет находить любые расстояния в пределах участка поверхности, покрытого триангуляцией.

В частности, именно так в XIX в. была найдена длина дуги меридиана от широты Северного Ледовитого океана (в районе Хáммерфеста на норвежском острове Квáлё) до широты Чёрного моря (в районе дельты Дуная). Она была составлена из длин 12 отдельных дуг. Процедура облегчалась тем, что для измерения длины дуги меридиана вовсе не требуется, чтобы составляющие дуги примыкали друг к другу концами; достаточно, чтобы концы соседних дуг находились на одной и той же широте. (Например, если нужно узнать расстояние между 70-й и 40-й параллелями, то можно на одном меридиане измерить расстояние между 70-й и 50-й параллелями, на другом меридиане – расстояние между 50-й и 40-й параллелями, а затем сложить полученные расстояния.) Общее число треугольников триангуляции равнялось 258, длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобы исключить неточности при измерениях неизбежные, а при вычислениях возможные, десять баз были подвергнуты непосредственному измерению на местности. Измерения проводились с 1816 по 1855 г., а результаты были изложены в двухтомнике «Дуга меридиана в 25°20′ между Дунаем и Ледовитым морем» (СПб., 1856–1861), принадлежащем перу замечательного российского астронома и геодезиста Василия Яковлевича Струве (1793–1864), осуществившего российскую часть измерений.

Формулы тригонометрии, упомянутые выше, входят в школьную программу. Подавляющему большинству после школы они никогда не понадобятся, их можно спокойно забыть. Знать – и не только знать, но и осознавать, понимать – надо следующее (и именно это должно входить в обязательный, на наш взгляд, интеллектуальный багаж): треугольник однозначно определяется заданием любой его стороны и прилегающих к ней углов, и этот очевидный факт может быть использован и реально использовался для измерения расстояний методом триангуляции. Если всё же кому-нибудь когда-нибудь и понадобятся формулы тригонометрии, их легко найти в справочниках. Учат ли в наших школах пользоваться справочниками? А ведь это умение несравненно полезнее, чем затверженные наизусть формулы.

Наконец, о равенстве 3² + 4² = 5². Если положительные числа a, b, c обладают тем свойством, что a² + b² = c², то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми, а саму тройку (a, b, c) таких чисел – пифагоровой тройкой. Если будем последовательно умножать члены нашей «египетской» тройки (3, 4, 5) на 2, 3, 4, 5 и т. д., получим бесконечный ряд пифагоровых троек: (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15, 20, 25) и т. д. Но и количество «первичных» пифагоровых троек, не получающихся друг из друга умножением на число, также бесконечно; вот несколько примеров таких троек: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (12, 35, 37); (9, 40, 41). Известен способ, позволяющий получить все пифагоровы тройки.