Владимир Трошин – Со спичками не шутят (страница 6)

2-116. Фигуру, составленную из 16 спичек, разделите спичками на две одинаковые части.

2-117. С помощью 7 спичек, разделите фигуру на 3 одинаковые части.

2-118. Данную фигуру (рис. ниже слева) разделите на 4 одинаковые части с помощью 8 спичек.

2-119. Квадрат ограничивают 16 спичек (рис. выше справа). Требуется разделить его на 4 фигуры площадью по 4 у. кв. ед. каждая с помощью 8, 10, 12 спичек (три задания). Разумеется, нельзя класть две спички на одну и ту же сторону. Труднее выполнить условие, используя 11 спичек (четвертое задание).

2-120. Выложенные в форме квадрата 16 спичек представляют изгородь двора. Часть площади двора занята домом, изображенным в виде квадрата из 4 спичек. Остальную часть двора требуется разделить при помощи 10 спичек на 5 участков, одинаковых по форме и по площади.

2-121. Данную фигуру разделите на 4 одинаковые части с помощью 8 спичек.

2-122. Сад, очертание которого изображено 20 спичками, и в середине которого находится дом квадратной формы, требуется:

а) разделить 18-ю спичками на 6 равновеликих и одинаковых по форме частей;

б) разделить 20-ю спичками на 8 одинаковых частей.

Раздел Д. Различные дополнения к геометрии, не вошедшие в предыдущие разделы по разным причинам.

Две задачи отличаются тем, что для их формулировки и решения, кроме спичек, нужен соответствующий рисунок на бумаге.

2-123. Сторона каждого маленького квадрата на рисунке, имеет длину в одну спичку. Требуется разместить ровно 26 спичек вдоль линий таким образом, чтобы они разделили весь чертёж на две части одинаковых размеров и формы, причем в одной из них должны находиться два нарисованных треугольника, а в другой – два круга.

2-124. На бумаге начерчен квадрат со стороной равной длине 4 спичек и прямыми линиями разделён на 16 меньших квадратов.

Задача состоит в том, чтобы расположить спички на листе выполняя три условия:

1) каждая спичка должна закрывать сторону одного из маленьких квадратов;

2) у каждого из маленьких квадратов ровно 2 стороны должны быть закрыты спичками;

3) спички нельзя размещать, на краю большого квадрата, то есть по внешним сторонам.

Решите ту же задачу для исходного квадрата с длиной стороны в 5 спичек.

Отдохнем от решения заданий. На уроках школьной геометрии, прежде чем решать задачи, учитель объясняет соответствующие теоремы и доказывает их. Оказывается и теоремы можно доказывать «на спичках». Очень важной для всего курса геометрии является теорема о сумме внутренних углов треугольника. Вот как можно доказать ее с помощью простой спички. Начертив на доске треугольник, положим на одну из его сторон (например, в вершине А) спичку, направленную головкой от точки А в сторону точки В.

Далее, следуя рисунку, будем двигать спичку вдоль стороны, до тех пор, пока ее головка не совпадет с вершиной В. Теперь, поворачиваем спичку так, чтобы она описала угол В и расположилась вдоль другой стороны треугольника. Сдвинем теперь спичку вдоль второй стороны до следующей вершины С и поворачиваем спичку так, чтобы она описала угол С. Далее сдвинем спичку вдоль третьей стороны до исходной вершины А, поворачиваем спичку так, чтобы она описала угол А и вернулась в исходное положение, повернувшись при этом на все три угла треугольника, причем строго по часовой стрелке. В итоге она окажется совмещенной с первоначальной стороной треугольника, но ее головка «смотрит» в противоположное направление. Угол, описанный спичкой, равен сумме внутренних углов треугольника, а с другой стороны её суммарный поворот равен развернутому углу, то есть 180⁰. Этот метод доказательства называется «метод скользящей спички». Им можно воспользоваться для определения суммы внутренних углов четырехугольника, он служит удобным способом измерения углов любых многоугольников с любыми сложными самопересечениями.

Серьезные рассуждения подготовили нас к серьезным задачам. Спичечный коробок по форме представляет собой прямоугольный параллелепипед.

2-125. Как измерить диагональ спичечной коробки с помощью простой линейки? Нужно обойтись без вычислений, без формулы для квадрата диагонали, который равен сумме квадратов трех измерений параллелепипеда. Стороны параллелепипеда измеряются элементарно, а вот диагональ?

2-126. Воткните в яблоко с двух диаметрально противоположных сторон две спички.

Если такое яблоко разрезать под некоторым углом α и поворачивать одну половинку относительно другой, то угол между спичками будет изменяться и за пол-оборота достигнет наименьшего значения (какого?).

Разрежьте это яблоко с таким расчетом, чтобы значение наименьшего угла не могло превысить 90⁰. Совместите обе половинки так, чтобы между спичками образовался угол 120⁰. Считайте, что яблоко имеет точную форму шара.

2-127. Сколько всего спичек может быть получено из деревянного куба, ребро которого 1 метр? Каждая спичка должна иметь длину 5 см и поперечное сечение 2×2 мм. Вопрос нужно решить чисто теоретически, считая распил идеальным, то есть на него объем не расходуется.

Теперь еще раз пройдемся по фигурам, увеличивая постепенно количество используемых спичек.

2-128. Из 4 спичек сложен крест, но не так как в задаче 2-6. Получить маленький квадратик в центре не получится. Хотя требование аналогичное: переместить одну спичку так, чтобы получился квадрат.

2-129. Из 5 спичек сложена маленькая стрела. Переложите 3 спички так, чтобы стрела поменяла направление на противоположное.

2-130. Из 6 спичек сложен правильный шестиугольник, у которого все углы тупые по 120⁰. Требуется переложить 4 спички так, чтобы получились треугольники с острыми углами.

2-131. Как переложить 2 спички так, чтобы из трех треугольников получилось два треугольника.

2-132. Из 8 спичек сложите 3 квадрата.

2-133. Переложите 2 спички так, чтобы получилось три квадрата одного размера.

2-134. Переложите 3 спички, чтобы вместо трех треугольников получить три четырехугольника одного размера.

2-135. Из 9 спичек составьте 7 треугольников, лежащих в одной плоскости. Ломать, разрезать и накладывать спички друг на друга не допускается. Есть два решения.

2-136. Из заданной фигуры получите два равносторонних треугольника, убрав 4, или 3, или 2 спички.

2-137. Из 10 спичек сложены три квадрата. Такая фигура уже была в задачах 2-27 и 2-28, но для нее есть еще задачи.

а) переложите 2 спички так, чтобы получился один большой и один маленький квадрат;

б) добавьте 2 спички так, чтобы получилось четыре одинаковых маленьких квадрата и еще один большой квадрат.

2-138. Переложите 3 спички так, чтобы получилось четыре равных четырехугольника.

2-139. Переложите 4 спички так, чтобы получилось четыре равных квадрата и один большой.

2-140. Из 12 спичек сложен крест, площадь которого равна 5 условным квадратам. Измените расположение спичек так, чтобы контур фигуры охватывал площадь равную только 4 условным квадратам.

2-141. Из 22 спичек требуется сложить прямоугольник наибольшей площади.

2-142. Можно ли из 36 спичек, не ломая их, сложить прямоугольный треугольник?

Урок 3. Алгебра

Суперакция от спичечной фабрики Дремлесдрев:

Каждая пятая спичка в коробке … зажигается!

Основные разделы математики, изучаемые в средней школе – это арифметика, геометрия и алгебра. Считается, что математика, помимо своего прикладного практического значения, развивает логическое мышление. Поэтому первыми в раздел алгебры мы включили несколько задач, в которых не нужно производить какие-либо математические действия, а требуются только логические рассуждения, просчет и перебор комбинаций на несколько шагов вперед.

3-1. Разложите в ряд 8 спичек и, перекладывая одну спичку через две, составьте в четыре хода 4 группы по 2 спички в каждой.

Чтобы стало понятнее, как это нужно сделать, дадим маленькую подсказку, покажем конечный результат. Должно получиться так:

3-2. Десять спичек положите в один ряд. Требуется собрать их попарно, всего в пять пар, перекладывая по одной спичке через две, за наименьшее число ходов.

3-3. Пятнадцать спичек сложены в ряд. Требуется собрать их в пять групп по 3 спички в каждой. Перекладывать спички можно только по одной, каждый раз через 3 спички, Решите задачу за 10 ходов.

3-4. Сосчитайте 22 спички, разложенные так, как показано на рисунке, подряд по часовой стрелке, выбрасывая каждую седьмую спичку. Начать счет нужно с такой спички, чтобы выброшенными оказались все спички кроме той, которая лежит отдельно. Вопрос в том, с какой спички начать счет?

3-5. Семь спичек разложите на столе звездочкой, а ещё 6 спичек возьмите в руку. Начиная от любой спички, отсчитайте по часовой стрелке третью и рядом положите ещё одну спичку. Затем опять, начиная от любой спички, в том же направлении, отсчитайте третью спичку, против которой ещё не лежит дополнительная спичка, и также положите около неё ещё одну спичку. Действуя таким образом, постарайтесь разложить все 6 спичек, которые были у вас в руке. При отсчете спичек не следует пропускать и те, около которых уже положена спичка. Как решить задачу?

3-6. Тринадцать спичек расположены расходящимися лучами, как показано на рисунке, причем 12 из них направлены от центра и только одна – к центру. Требуется снять все спички, кроме той, которая обращена к центру, соблюдая следующее правило: сначала снять одну спичку, а затем, двигаясь по часовой стрелке, снимать каждую тринадцатую спичку. Сообразите, с какой спички нужно начать?