e) малое целое – бесконечность, в которой представлена только сторона неограниченного умаления, сокращения, уменьшения и которая известна в истории мысли под названием нуля как предела; после О. Коши в виде бесконечно-малого данный тип бесконечности вошел в основания (стандартного) математического анализа;
f) малое целое – такое бесконечно-малое, т.е. такая бесконечность, которая при всем своем неограниченном уменьшении предстает именно как нечто фиксированное, как определенно данное, т.е. актуальное бесконечно-малое; данный тип бесконечности составляет основу с недавних пор (работы А. Робинсона в 60-х гг. XX века) развитого нестандартного или неархимедова анализа;
g) комбинация представлений о бесконечно-малом в понимании (е) и понимании (f) – бесконечная, точнее, потенциально бесконечная иерархия актуально бесконечно-малых; введена здесь по аналогии с типом бесконечности (с) и, насколько нам известно, в математике специально не рассматривалась;
h) малое целое – построенное по аналогии с типом (d) представление бесконечности при диалектическом объединении понимания (е) и понимания (f), когда всякие бесконечно-малые не только образуют иерархию, но и замыкаются (ограничиваются снизу) величиной 0i – нулем данного i-ого числового класса 8; завершенные иерархии актуально бесконечно-малых, кажется, также еще не явились предметом специальных исследований.
Отметим, бросая общий взгляд на полученный перечень, следующие важные обстоятельства. Прежде всего, нетрудно обнаружить, что кратко рассмотренные у нас точки зрения на бесконечность отнюдь не равноправны между собой. Так, из восьми возможных подходов шесть носят явно промежуточный, подготовительный характер, выступая в качестве того или иного этапа на пути к зрелому – во всяком случае, логически более зрелому – представлению о бесконечности. Интегральными же и итоговыми (каждая в «своей» области) являются представления вида (d) и (h). С другой стороны, приходится констатировать, что к настоящему времени получили развитие далеко не все точки зрения, причем менее разработанными, в частности, в математике оказываются как раз синтетические, итоговые подходы, особенно и прежде всего в позициях (h) и в значительной мере (d). Далее. Если не выходить, напомним нашу исходную посылку, за пределы сферы S+, а в последней ограничиваться лишь описательной стороной дела и не претендовать на развернутые формальные построения, наша классификация в некоторой мере по-новому проясняет и детализирует представления о бесконечности. Вместе с тем в данном пункте она выступает – это важно зафиксировать специально – в тесном союзе с подходом, который уже достаточно давно был развит в «Диалектических основах математики» Лосева. Конструкция бесконечного как диалектического синтеза целого и дробного, данная на страницах этой книги 9, в наших терминах, можно сказать, лишь несколько уточняется по двум направлениям – дробного как малого (присутствует в бинарной форме малое целое), если специально выделять аспект убывающей величины дробимой части, и дробного как многого (в бинарной форме целое многое), если специально выделять аспект возрастающего количества дробимых частей.
Еще раз обратившись к нашему перечню, мы можем выделить три типа бесконечности как таковой, т.е. бесконечности актуальной, и этим типам присвоить наименования определенно унифицирующего характера, прибегнув еще к услугам некоторого рода оксюморона, ибо для характеристик необычного мира бесконечности будет применена соотносительная терминология, почерпнутая из мира конечных величин и потому в определенной мере привычная для обыденного сознания. Итак, предлагается различать следующие типы бесконечности:
Ω – абсолют, или актуально бесконечное большое;
אi– иерархия алефов, или актуально бесконечных средних;
0i – иерархия нулей, или актуально бесконечных малых.
Актуально бесконечное большое предстает здесь единственным, актуально бесконечных средних и малых – бесконечно много, в соответствии с результатами теории трансфинитных чисел (в рамках теории множеств) и нестандартного анализа, соответственно. Попробуем, однако, задаться вопросом, возможна ли теория, в которой иерархии средних и малых актуальных бесконечностей (вместе или порознь) являются ограниченными, т.е. индекс i принимает конечное значение 10. В этом смысле интересной видится гипотетическая возможность, когда вместо убывающего ряда 0i = אi-1 (как обобщения известного соотношения 0 = ∞ –1) может строиться возрастающий ряд 0i = אi × Ω –1 такой, что некоторый 0i становится достаточно большим. Пока такой теории нет, а потому встреча в одном уравнении всех трех типов актуальной бесконечности носит еще, может быть, сугубо символический характер. Да и сами элементы уравнения (за исключением разве что אi – относительно алефов Кантором построена достаточно убедительная теория 11) вернее было бы считать только символами бесконечности, в духе ранней терминологии Кантора и работ Флоренского. Конечно, за всяким символом обязательно стоит та или иная реальность, уже проявленная либо покамест сокрытая.
Однако наша типология бесконечностей, выраженная на языке бинарных форм, еще не завершена. В ее рамках естественно возникает описание еще одного типа бесконечности, который также приходится признать синтетическим и еще, выражаясь языком Николая Кузанского, обнаруживать за ним зримое coincidencia oppositorum. А именно, представляется возможным объединение интегральных типов малое целое (h) и целое многое (d) в единой триадной композиции – малое целое многое или, с переводом составляющей целое в разряд подразумеваемых, в единой бинарной форме малое многое (i). С формальной точки зрения наша сокращенная запись для трех типов (они перечислены выше) и двух «состояний» бесконечности (в аспекте малое и многое) определенно находит себе аналоги в математической области. Например, вспоминаются особенности техники записи скалярного произведения состояний квантовых объектов с помощью «скобок Дирака». Но много интереснее обнаружить, далее, что и математике и даже обыденному сознанию давно известен сам объект, описанный у нас в качестве типа (i). Это – конечное число. Как синтез двух целостностей, а именно синтез малого целого и целого многого всякое конечное число А выступает уже в т.н. неопределенном уравнении А = 0 × ∞. Это уравнение известно даже школьникам, не говоря уже о студентах (но все ли учителя и профессора понимают его смысл?). Можно указать и содержательно развитое философское учение о синтезе нуля и бесконечности в конечном числе, представленное, как нетрудно догадаться, теми же «Диалектическими основами математики» 12. В логическом отношении нуль и бесконечное предшествуют конечному, конечное предстает как развернутый нуль или свернутое бесконечное. Потому в построении типологии на языке бинарных форм мы и имели право продолжить нумерацию возможных подходов к бесконечности до пункта (i), и здесь осталось только придать полученному типу соответствующее наименование – актуально бесконечное конечное. Это будет завершающий наш перечень четвертый тип бесконечности, бесконечность в несобственном смысле слова, т.е. конечное как отрицание (принято говорить – диалектическое снятие) бесконечности, конечное как модификация бесконечности 13.
В заключение осталось отметить следующее. Конечно же, полученная типология непривычна, она носит во многом гипотетический характер и потому может показаться излишней либо избыточной. Но прислушаемся здесь к мнению Гёте и вслед за ним не будем «жаловаться на изобилие теорий и гипотез; напротив, чем больше их создается, тем лучше», ибо гипотезы – это «ступени, на которых надо давать публике лишь самый короткий отдых, чтобы вести ее затем все выше и дальше», это как раз те «удобные образы, облегчающие представление целого» 14. Выше, дальше и к целому дерзает обратиться и намеченная гипотеза о типах бесконечности.
3.8. Загадочный набросок
(еще к теме «Имяславие и теория множеств»)
Однажды при разборе документов из необработанной части архива А.Ф. Лосева нам попался небольшой листок пожелтевшей бумаги (формата страницы школьной тетради) с сильно потрепанными краями и оторванным нижним уголком, отнявшим часть текста. Листок с двух сторон был плотно исписан фиолетовыми чернилами. У текста явно отсутствовало начало, поскольку он открывался тезисом-подпунктом 2 пункта 5. В характерной для автора манере письма строки занимали половину ширины страницы, так что площадь ее заполнялась в два столбика. Почерк выглядел достаточно разборчивым и устойчивым, что сообщало – перед нами рукопись 20-х годов (т.е. периода еще до ареста и пребывания в концлагере, где Лосев существенно подорвал зрение). Тут было довольно много неких «пунктов» в тезисной форме, снабженных обычной для Лосева весьма изощренной буквенно-цифровой нотацией. Итак, тезисы, но чего именно?
Даже при первом знакомстве с их содержанием можно было без труда определить, что перед нами оказался набросок плана работы на тему, которую можно условно (и в то же время с достаточно удовлетворительной точностью) сформулировать с помощью строчки одного из имяславских докладов Лосева: математическое учение о множествах на службе имяславия 1. Это полагалось в давних замыслах философа – построить или по меньшей мере проиллюстрировать определенную часть православной догматики с помощью точных методов и уже в рамках данной воистину трудной задачи развить, в частности, основные положения имяславского учения на базе математических конструкций теории множеств.
