Диаграмма Флоренского предоставляет много места для плюрализма и разнообразия. Так, крайняя позиция теолога, тщательно изгоняющего даже малейшую тень пантеизма из своих построений, ближе всего к комбинации D+ S– N–, а взгляды натурфилософа спинозианского толка могут быть представлены в комбинации D– S– N+. Треугольник вида D– S+ N– призван описывать мироощущение специалиста по основаниям математики, который привычно оперирует в своих построениях с какими угодно индексами при «алефах» (невольно вспоминается «семнадцатый алеф» из любимой шутки «лузитанцев») и не испытывает ни малейшей потребности знать, поминается ли бесконечность за пределами многотомного «Справочника по математической логике». Впрочем, эту же «тройку» можно привлечь, чтобы наглядно представить то состояние дискомфорта современного физика-теоретика, который вынужден работать с континуальными интегралами Фейнмана или вычитать «вакуумные средние», но мечтает о теории вида S–, или (в полной форме) D– S– N–, каковая сможет-таки обходиться без услуг бесконечностей в описании физического мира. Дальнейшие подробности, как и содержательный анализ прочих, не затронутых у нас схем треугольника – а общее число соответствующих комбинаций равно восьми, – мы оставим заинтересованным историкам науки.
Теперь можно точнее определить занимаемую нами позицию в отношении бесконечности. Именно, мы априорно придерживаемся полной, по Кантору, схемы D+ S+ N+, но в рамках данной работы будем заняты вопросом о типах бесконечности в аспекте S+, преимущественно в логическом плане, причем с намеренным уклонением от непосредственного использования языка математики, однако с опорой в иллюстрациях на ее материалы. Вместо суждений о природе и Боге (в аспекте N+ и D+) здесь твердо полагаются, но далеко не всегда непосредственно указываются некоторые вполне напрашивающиеся аналогии и ассоциации – они-то прежде всего и санкционируются связями по сторонам принятого к использованию символа треугольника. Прямые же суждения о бесконечности в области теологии и естествознания мы также оставляем соответствующим специалистам.
Еще одно замечание нужно зафиксировать, касаясь систематизма вообще и, в частности, комбинаторной систематики. Комбинаторика – не просто логическая игра и не дань научному педантизму. Вернее, таковой она может показаться или даже действительно стать, когда перед исследователем уже обозримо простерся полный универсум возможностей и нужно только, что называется, «задним числом» суметь без пропусков рассмотреть и проанализировать те или иные сочетания. Тогда на помощь приходит великое многообразие технических средств от простейших по идеологии и устройству, подобно диаграмме Флоренского и прочим того же уровня «логическим таблицам», до сложнейших вроде методов «морфологического ящика» и приемов моделирования на современных компьютерах. Но совсем иная ситуация возникает там, где такой универсум возможностей еще нужно вообразить и затем построить, когда исходно дана едва ли не одна «единственно верная» точка зрения, так что и комбинировать и координировать ее попросту не с чем. В данном случае уже одно лишь памятование о разнообразии является важнейшим методологическим оружием, а попытка очертить универсум определенного вида и дать опять-таки обозримое и удобное его описание становится задачей творческой. Это, конечно, требует существенных усилий, но в то же время и обещает существенно новые результаты. Такого рода комбинаторика и систематика (относительно представлений о бесконечности) как раз составляют, на наш взгляд, одну из насущных проблем современной мысли.
В основу предлагаемой типологии положена идея множества, восходящая к Кантору, но уточненная и расширенная усилиями ряда его критиков. Очевидна связь между самой этой идеей и тем обстоятельством, что для автора теории множеств существование актуальной бесконечности не вызывало сомнений. В самом деле, если всякую совокупность элементов можно рассмотреть как целое, т.е. как множество, то и бесконечная совокупность, являясь множеством, предстает цельным, актуально данным объединением. Однако Кантор не всегда, видимо, отчетливо представлял, что множество – это объект прежде всего антиномичный и потому к нему естественно было бы подступаться, находясь лишь на позициях диалектики. Потому-то он так удивился, а следом и так отчаялся, когда в теории множеств обнаружились «неразрешимые» парадоксы.
У Кантора было много противников и оппонентов, доставалось ему с разных сторон, но мы особенно выделим ту группу мыслителей, что сосредоточились преимущественно в России. Основной их упрек состоял как раз в недопонимании Кантором диалектики множеств, в односторонности его подхода. Перекос, который укоренился уже в базовом термине канторовской теории, можно исправить, утверждалось представителями этой критической традиции, если вместо недиалектичного множества как многого научиться представлять комплекс единое-многое (П.А. Флоренский) или единство единства и множественности (С.Л. Франк), или сказать то же в более развернутой форме – единичность подвижного покоя самотождественного различия (дефиниция А.Ф. Лосева в 20-е годы) или единораздельную цельность (его же дефиниция начиная с 60-х годов). Сравнительно недавно было выдвинуто также следующее обобщение, формально – во всяком случае, на уровне отсылок к предшественникам – не связанное с указанной традицией, но объективно к ней примыкающее: теория множеств, как утверждается, рассматривает многое, мыслимое как целое, тогда как современный системный подход склонен обнаруживать целое, мыслимое как многое (Ю.А. Шрейдер) 5. Правда, мы здесь не будем придерживаться подобного противопоставления множеств и систем, поскольку оно представляется нам достаточно искусственным. Но, с другой стороны, как раз последние формулировки доставляют весьма наглядный пример и образец удобного языка, заново (на новом материале) переоткрытого современным исследователем спустя примерно полвека после того, как тот же А.Ф. Лосев без устали жонглировал своими «подвижными покоями» и «самотождественными различиями», занимаясь диалектическим переосмыслением идеи множества. Выразительные возможности этого языка – для большей определенности назовем его языком бинарных форм, и название станет ясно из дальнейшего, – мы и попробуем по-своему использовать для сжатого описания диалектики множеств (начиная, следуя традиции, с аспектов многое как целое и целое как многое) с тем, чтобы одновременно и без особого промедления получить типологию бесконечности. На этом пути уже сама наша тема властно потребует также рассмотреть аспекты малое как целое и, конечно, целое как малое.
Перечислим сначала подходы к бесконечности (целому) как многому, т.е. рассмотрим их на базе бинарной формы целое многое (для краткости и без ущерба для смысла уберем «как» в наших формах), а именно:
a) целое многое – бесконечность, в которой представлена только сторона неограниченного роста, умножения, увеличения, известная в истории мысли под названием потенциальной бесконечности; подчеркнем (для примера и потому только в этом эпизоде повествования) момент технического порядка в разъяснение принятой здесь и далее системы нотации – говоря о данном типе бесконечности, мы делаем упор («логическое ударение», по выражению Лосева) на втором члене нашей бинарной формы;
b) целое многое – бесконечность, при всей ее неограниченности в смысле (а) рассмотренная именно как нечто цельное, как определенно данное, т.е. актуальная бесконечность; заметим, что в принятых у нас обозначениях наглядно зафиксировано известное наблюдение К. Гутберлета о тесной связи потенциальной и актуальной бесконечности 6 – здесь два вида бесконечности предстают как разные аспекты одного и того же объекта;
c) попеременная комбинация представлений о бесконечности в понимании (а) и понимании (b) – именно этим приемом воспользовался Кантор в своем учении о бесконечной (точнее, потенциально бесконечной) иерархии актуальных бесконечностей אi; из нашей системы обозначений данная комбинация «выпадает», поскольку она не является логически последовательной (Лосев сказал бы, наверное, что она не имеет диалектически законченного вида), ибо ниоткуда не следует, например, что вся иерархия бесконечностей не может быть актуальна, завершена, финальна;
d) целое многое – тип бесконечности при диалектическом объединении понимания (а) и понимания (b), когда в отличие от предыдущего случая (с), иерархия актуальных бесконечностей здесь замыкается (ограничивается сверху) абсолютом Ω; к утверждению такой возможности в пору кризиса теории множеств пришел и Кантор, явно через силу и с пересмотром своих прежних убеждений – но вполне в духе диалектической антиномики, – заговоривший в переписке с Дедекиндом о т.н. неконсистентных системах, т.е. множествах, не являющихся единствами 7.
Рассмотрение аспекта многое логически исчерпано. Однако бесконечность встречается, как известно, не только на пути количественного роста и увеличения, но и в противоположном направлении. Следовательно, для нас настал черед нового аспекта: перечислим теперь подходы к бесконечности (целому) как малому, т.е. рассмотрим их на базе бинарной формы малое целое. При этом необходимо продолжить сквозное перечисление возможных типов бесконечности, начатое выше под рубрикой многое. И еще сразу же оговорим, что в используемой далее бинарной форме мы сознательно поменяли порядок образующих ее членов, что совершенно безразлично для ближайших типологий, но понадобится нам в дальнейшем. Итак, малое целое в развертывании по типам бесконечности представимо, на наш взгляд, следующим образом:
