Рудольф Баландин – 100 великих парадоксов (страница 50)

Тем не менее некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число частей и составить из них квадрат равной площади (квадратура круга Тарского)».

Чтобы популярно это растолковать, надо быть хорошим специалистом. Поэтому я оставлю цитату из Википедии в её первобытном состоянии. Там же есть такое пояснение: «Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма, если под объёмом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности (свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям). И предполагаем, что объёмы двух конгруэнтных множеств совпадают».

В общем, доказательство теоремы Банаха – Тарского приходится признать весьма замысловатым. Не совсем ясно, почему нельзя создавать что угодно, оперируя нуль-мерными объектами (геометрическими точками и всем тем, что из них построено). Это поистине творение виртуального мира из ничего.

Для непосвящённого теорема Банаха – Тарского выглядит странной выдумкой. К сожалению, мне не удалось выяснить, имеет ли она какое-нибудь практическое значение.

Как утверждает автор Интернета: «Решение этого парадокса… очень важно для теоретической математики». Вполне возможно. Хотелось бы только узнать, в чём заключается теоретическая ценность данного парадокса. Недаром же говорят: нет ничего практичней хорошей теории (авторство этого парадокса выяснить трудно). Австрийский физик Людвиг Больцман: «Помимо своей духовной миссии, теория есть ещё и самое практичное из всего, что можно помыслить; в известном смысле это квинтэссенция практики». М.В. Ломоносов: «Теория без практики мертва и бесплодна». Или он ошибался?

Какой смысл имеет научная теория, не имеющая даже косвенного отношения к реальности, не имеющая никакой практической ценности? Занятная игра ума для узких специалистов, сознающих при этом своё умственное превосходство над профанами…

Возможно, есть какая-то польза в подобных интеллектуальных упражнениях. Скажем, для развития ума и парадоксального мышления. В таком случае их авторы должны бы совершать незаурядные научные открытия. В отношении Банаха и Тарского сообщают только то, что они были хорошими преподавателями.

Парадокс пьяницы

Американский математик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, прежде чем сформулировать данный парадокс, привёл анекдот.

Подвыпивший человек, сидящий у стойки в баре, громко говорит бармену: «Налей мне ещё, и налей всем. Когда я пью, то пьют все! Такой уж я человек».

Довольные посетители выпивают за его здоровье, а он не унимается: «Бармен, ну-ка налей мне ещё, и налей всем! Если я пью, то пьют все. Такой уж я человек».

Все выпивают снова, благодаря щедрого посетителя. А он встаёт, кладёт деньги на стойку и объявляет: «Когда я плачу, платят все! Такой уж я человек».

…Итак, в некое время в каком-то баре, если выпивал один посетитель, то выпивали все. Случай с этим посетителем из анекдота превращается в «парадокс пьяницы», который гласит: «В любом баре имеется по крайней мере один человек, который если пьёт, то пьют все».

Здравый смысл подсказывает: нет абсолютно никаких оснований распространять анекдотичный случай в баре на любой бар. Однако по правилам логики, парадоксальное, а то и нелепое утверждение следует считать верным. Смаллиан объясняет: да, существует такой человек, что если он пьёт, то пьют все. Это следует из принципа логики, согласно которому из ложного утверждения следует любое утверждение.

Взглянем на проблему с формальной точки зрения. Утверждение о том, что все пьют, либо истинно, либо ложно. Предположим, что оно истинно. Выберем кого-нибудь и назовём его Джимом. Так как все пьют и Джим пьёт, то верно, что если Джим пьёт, то все пьют. Следовательно, есть по крайней мере один такой человек (а именно Джим), что если пьёт он, то все пьют.

Если я пью, то пьют все. Такой уж я человек

Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть не верно, что все пьют. B этом случае существует по крайней мере один человек (назовем его Джимом), который не пьёт. Поскольку не верно, что Джим пьёт, то верно, что если Джим пьёт, то пьют все. Следовательно, и в этом случае существует такой человек (а именно Джим), что если он пьёт, то пьют все.

Таковы парадоксы импликации (в переводе с латинского – связи, сплетения). Они возникают из-за условных утверждений классической логики, когда одно утверждение обосновано ссылкой на другие. То есть: «Если А, то В».

Оно считается ложным только в том случае, если А истинно, а В ложно, а истинным во всех других случаях. Содержание утверждений А и В не имеет значения. Они могут быть никак не связанными между собой по смыслу, но формально такое утверждение должно быть признано истинным.

Из Интернета: «Так истолкованное условное утверждение носит название “материальной импликации”. Оно обладает следующими особенностями:

Если B истинно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности A. То есть истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения. Пример: утверждение “Если дважды два равно пяти, то снег бел” является истинным.

Если A ложно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности B. То есть с помощью ложного утверждения можно обосновать всё, что угодно. Пример: утверждение “Если дважды два равно пяти, то снег красный” является истинным.

Если А является противоречивым (сложным) утверждением, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности В. То есть из противоречивого утверждения можно вывести все, что угодно. Пример: утверждение “Если дважды два равно четырём и дважды два не равно четырём, то Луна сделана из зелёного сыра” является истинным.

Если В является тавтологией (то есть утверждением, истинным при любом содержании; такие утверждения выражают логические законы), то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности А. То есть логические законы следуют из любых утверждений. Пример: утверждение “Если снег бел, то дважды два равно четырём или дважды два не равно четырём” является истинным.

Эта особенность материальной импликации является прямым следствием двух основных допущений классической логики:

1) всякое утверждение либо истинно, либо ложно, а третьего не дано:

2) истинностное значение сложного утверждения зависит только от истинностных значений входящих в него простых утверждений, а также от характера связи между ними, и не зависит от их содержания».

Оказывается, по всем правилам классической логики можно утверждать сущую ерунду. Это действительно парадокс! Он показывает, что в классической логике есть существенные изъяны.

Как в парадоксе удвоения шара, формальные умственные упражнения занятны, но уводят мысль слишком далеко от действительности.

Неожиданность предсказанной неожиданности

В середине прошлого века английский философ Д. Дж. О’Коннор предложил такой логический парадокс. Офицер сообщает солдатам: «На следующей неделе будет неожиданная тревога. О ней никто не должен знать до того дня, на который она назначена».

Офицер ушёл, а солдаты стали рассуждать, как понимать его слова. Один сказал: «Наш командир всегда говорит правду. Значит, на следующей неделе непременно объявят тревогу». Другой возразил: «Никак нет. Он честно предупредил, что тревога будет неожиданной. Какая же может быть неожиданность, если он нам о ней сообщил? Значит, будет тревога когда угодно, только не на той неделе».

Вывод был логичным, и с ним все согласились.

Однако тревога была именно на следующей неделе, к немалому удивлению солдат. Офицер сказал правду! Во-первых, тревогу объявили именно на этой неделе. Во-вторых, она стала неожиданностью для солдат, ибо они по всем правилам логики решили, что её в эту неделю не будет.

Более распространён трагичный вариант парадокса.

В понедельник начальник тюрьмы сообщил преступнику, приговорённому к казни:

– Пришло распоряжение казнить вас на этой неделе в полдень. Особо подчёркнуто, что казнь должна быть для вас неожиданной.

Начальник тюрьмы никогда не обманывал заключённых. Вот и на этот раз сказал чистую правду.

Приговорённый решил, что таким замысловатым образом ему намекнули, что казни на этой неделе не будет. Он рассуждал так: каждый полдень на этой неделе я мог бы ожидать казни. Поэтому она в этот день и в это время не будет для меня неожиданностью. Однако начальник предупредил, что она станет для меня сюрпризом, а он никогда не обманывает. Значит, казнь на этой неделе не состоится.

Через день, в среду, начальник тюрьмы постучал в дверь его камеры ровно в полдень и объявил, что сейчас предстоит казнь. Для узника это стало полной неожиданностью!

Всё сказанное начальником тюрьмы оказалось правдой.

Так завершается классический вариант парадокса неожиданной казни. На мой взгляд, у него может быть такое продолжение.

Один преступник, осуждённый за крупные математические махинации, которому начальник тюрьмы сказал свою привычную краткую речь, предложил ему пари: «Давайте уговоримся, если казнь не станет для меня сюрпризом, вы её отложите на неопределённое время».