Рудольф Баландин – 100 великих парадоксов (страница 49)
Есть ещё один поучительный аспект утверждения «все вόроны чёрные». В процессе его проверки вряд ли быстро встретится белый ворон. Чем больше будет встречено чёрных воронов, тем больше будет укрепляться мысль, что исходный постулат абсолютно верный. Но вдруг после тысяч подтверждений возникло одно опровержение: обнаружен белый ворон.
Конечно, не исключено, что чёрного ворона специально покрасили в белый цвет, или что он угодил в белую краску, или это вовсе не ворон… Если все сомнения будут сняты, останется один достоверный факт против многих тысяч столь же достоверных фактов.
Учитывая формальное соотношение «за» и «против», можно пренебречь единственным фактом, «не вписавшимся» в общую картину. Однако в науке именно этот один факт имеет больший вес, чем тысячи подтверждений. Он открывает возможность для новых нетривиальных идей.
Гранд-отель Гильберта
Это не обычное заведение, а математическое. В нём бесконечное количество комнат. Все они заняты постояльцами. Свободных мест нет. Прибыл постоялец. Как его разместить? В этом отеле – без проблем.
Достаточно постояльца из № 1 переместить в № 2, а постояльца из него – в № 3, а из № 3 – в следующий, и так далее до бесконечности. Вот и освободился номер! Ведь комнат бесконечно много.
Да что там один «лишний» человек. Пусть прибудет тысяча; в конце концов такой отель может вместить бесконечное множество посетителей, несмотря на то, что все номера уже заняты.
Парадокс сформулировал столетие назад математик Давид Гильберт. Так он показал, что операции с бесконечными (воображаемыми) объектами не подчиняются знакомым нам с детства законам математики.
Например, в любой нормальной гостинице, где комнаты пронумерованы по порядку, количество чётных или нечётных номеров будет меньше числа всех номеров. Это очевидно.
Отель Гильберта может вместить бесконечное множество посетителей, несмотря на то, что все номера уже заняты
А в «Гранд-отеле Гильберта» количество комнат и с чётными номерами, и с нечётными не меньше общего числа комнат. Это противоречит здравому смыслу, ибо бесконечность остаётся вне нашего личного и коллективного опыта. Для нас она – нечто умозрительное, предполагаемое.
…Поговорка: всему есть предел. Бесконечность запредельна. Что там, за пределом, никто не знает. Надо догадываться, фантазировать, предполагать. Но почему – надо? Только потому, что хочется. Ограниченный ум человека не желает признавать ограничений. (Ещё один парадокс.)
На взгляд дилетанта, следовало бы вместо бесконечности или, пожалуй, в связи с ней, признать неопределённость как одну из философских, логических и математических категорий.
В таком случае не надо в придуманном Гильбертом Гранд-отеле пересаживать бесконечное множество постояльцев, что требует бесконечно много времени. Достаточно признать, что номеров в гостинице так много, что и сосчитать не удаётся. Наверняка найдётся место для ещё одного или даже многих клиентов, тем более что часть номеров неизбежно освобождается по разным причинам.
Как бы ни были увлекательными и парадоксальными игры с бесконечностью, приходится признать, что они основаны на вере, а не на фактах и знаниях, которые не бесконечны.
Лампа Томпсона
Британский философ Джеймс Ф. Томпсон в 1954 году предложил мысленный эксперимент с лампой, назвав его парадоксом о сверхзадаче.
Из Интернета: «Он рассмотрел выполнение бесконечного числа задач за заданное время, которому он дал название сверхзадачи. Чтобы опровергнуть возможность сверхзадач, он представил лампу Томсона – мысленный эксперимент, похожий на парадоксы Зенона».
Предположим, есть электрическая лампа, и мы её периодически включаем и выключаем. Сначала она включена на минуту, после чего на полминуты отключается. Снова включена уже на четверть минуты. Новое включение – на одну восьмую минуты, и так далее.
Каждый раз время включения и выключения лампы уменьшается вдвое. Вся процедура длится 2 минуты. Как узнать, будет спустя этот срок лампа включена или выключена?
Каждое нечетное нажатие кнопки будет лампу включать, каждое четное – выключать. Спустя две минуты после начала опыта он завершится тем, что лампа или будет включена (при последнем нечётном нажатии включателя), или выключена (последним было чётное нажатие на выключатель).
Парадокс с лампой Томсона напоминает парадоксы Зенона
Какое же число будет последним – чётное или нечётное?
«Проблема в том, что последнего натурального числа в природе не существует по определению. То есть лампа будет либо выключена, либо включена, однако узнать об этом нет никакой возможности! Парадокс!»
Такое объяснение, мне не вполне понятное, из Интернета. Как мне представляется, интервал между включением и выключением лампы будет стремительно сокращаться, приближаясь к двухминутному рубежу всё более медленно, но так и не достигнув его.
Однако наблюдатель, не дожидаясь конца этого бесконечного сходящегося ряда, ровно через 2 минуты прекратит эксперимент. Перед этим включение и выключение чередовались с огромной скоростью, за ничтожные отрезки времени (выражение парадоксальное, ибо время как субстанцию не материальную, резать невозможно).
Тут должен сказаться тот промежуток времени, который требуется для переключения. Он не может равняться нулю, ибо тогда переключения не будет. Выходит, спустя 2 минуты после включения лампы Томпсона, возможно три варианта: лампа включена, выключена или не включена и не выключена (момент переключения).
Вот ещё один вариант объяснения:
«По мнению одних, лампа Томсона – вполне разумный “мысленный эксперимент”, по мнению других, – вопиющая нелепость.
Парадокс с лампой Томсона беспокоит наш разум потому, что не существует логической причины, по которой лампу Томсона нельзя было бы бесконечно много раз включить и выключить.
Если бегун Зенона успевает за 2 мин. преодолеть бесконечно много отрезков дистанции, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, то почему ровно за 2 мин. нельзя успеть бесконечно много раз включить и выключить некую реально не существующую идеальную лампу? Но если лампа Томсона может за 2 мин. бесконечно много раз перейти из состояния “вкл.” в состояние “выкл.”, то это означает, что существует “последнее” натуральное число, с чем трудно согласиться.
Философ Макс Блэк сформулировал тот же парадокс несколько иначе. Он рассмотрел “машину бесконечности”, переводящую шарик из лунки
Ряд 1 + 1/2 + 1/4 +… сходится, и все операции по перекатыванию шарика завершаются в течение 2 мин. Но в какой из лунок – в
На последний вопрос можно ответить: если шарика нет ни в одной из двух лунок, значит, он находится между ними.
Парадокс удвоения шара
Геометрическую теорему, которую называют парадоксом удвоения шара, доказали польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский. Чтобы понять, как они это сделали, надо профессионально знать соответствующий раздел высшей математики. Будем довольствоваться общим описанием.
Утверждается: если шар разделить по меньшей мере на пять частей, из них можно составить два шара, в точности подобные исходному шару.
Только и всего!
Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара
Сразу хочется спросить, а можно ли реализовать на практике такую теорию? Это было бы самым замечательным достижением за всю историю человечества!
Увы, когда речь идёт о теоретической высшей математике, надо готовиться к фантастическим идеям, которые доказываются с научной безупречностью. Вот только не надо вспоминать о нашем бренном материальном мире. Математика – наука идеалистическая.
То, что для непосвящённого выглядит как парадокс (а то и нелепость), для знатока представляется оригинальной логичной теоремой, которая может иметь несколько столь же сугубо теоретических следствий.
Для популярного объяснения теоремы Банаха – Тарского в Интернете приведено такое рассуждение. Окружность состоит из бесконечного количества точек, ибо они не имеют никаких измерений в пространстве как нуль-мерный объект. Если взять каждую вторую точку окружности, то они могут составить ещё одну окружность точно такого радиуса, что и первая.
«По такому же принципу нужно действовать и с шаром, чтобы получить его точную копию из него самого. Очевидно, что “куски” в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике)», – пишет автор этого комментария.
Ах, если б столь волшебный метод удвоения (а почему не утроения, учетверения и так далее?) имел хотя бы какое-нибудь практическое применение! Об этом сведений нет.
Википедия: «Для плоского круга аналогичное свойство неверно. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено на все ограниченные множества как конечно-аддитивная мера, инвариантная относительно движений; в частности, любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь.