Любые лучи света, направляемые через оптический центр рассеивающей линзы О, проходят, как в собирающей линзе, не изменяя своего первоначального направления; на рис. 4,б показано прохождение этих характерных лучей 2 и 3 через оптический центр рассеивающей линзы.
Рассеивающие линзы применяют во всевозможных оптических устройствах и очках (мениски).
Определение фокусных расстояний. Фокусные расстояния f собирающей и рассеивающей линз по их радиусам сферических поверхностей R1 и R2 и показателям преломлений окружающей среды n2 и материала n1; из чего они изготовлены, определяют по формуле:
В формуле знаки (+) берут для собирающей линзы, знаки (—) для рассеивающей. Для плоско-выпуклых и плоско-вогнутых линз R2 = оо, 1/R2 = 0, и тогда формула упрощается:
Фокусные расстояния для собирающей и рассеивающей линз, выполненных из стекла (n1 = 1,5) и находящихся в воздухе (n2 = 1), равны:
или
Фокусные расстояния плоско-выпуклых и плоско-вогнутых линз, выполненных также из стекла и находящихся в воздухе, определяют по формуле:
f = ± 2R.
Из приведенных формул видно, что передние и задние фокусные расстояния собирающих и рассеивающих линз равны между собой: f1 = f2.
Для характеристики оптических свойств линзы можно пользоваться величиной фокусного расстояния f, но в оптике часто пользуются величиной D, обратной фокусному расстоянию, называемой оптической силой линзы, которая характеризует преломляющую способность линзы, то есть чем короче фокусное расстояние линзы, тем больше величина D и тем сильнее преломляются лучи в ней. За единицу оптической силы линзы принимается оптическая сила линзы, имеющей фокусное расстояние 1 м, и такая единица называется диоптрией (дп). Для собирающей линзы D > 0, а для рассеивающей D < 0.
Для закрепления материала решим несколько примеров из практики.
Пример 1. Двояковыпуклая линза, выполненная из стекла (n = 1,5), имеет радиусы кривизны сферических поверхностей R1 = 100 и R2 = 150 мм. Определить фокусное расстояние и оптическую силу линзы.
f = 2∙R1∙R2/(R1 + R2) = 2∙100∙150/(100 + 150) = 120 мм = 0,12 м
D = 1/f = 1/0,12 = 8,33 дп
Пример 2. Очковая линза имеет оптическую силу 4 дп. Определить ее фокусное расстояние
f = 1/D = 1/4 = 0,25 м = 250 мм.
Пример 3. Размеры плоско-выпуклой линзы приведены на рис. 5,а. Диаметр d = 53 мм, h = 11 мм. Определить фокусное расстояние и оптическую силу линзы.
Рис. 5. Определение радиусов сферических поверхностей линз по их геометрическим параметрам:
а, б — плоско-выпуклая и двояко-выпуклая линзы
Сечение данной линзы представляет сегмент окружности радиуса R, который определяется по формуле (Бронштейн И.Н. Справочник по математике. М., Наука, 1965):
R = (d2 + 4∙h2)/8∙h
Подставляя данные линзы в формулу, получаем радиус сферической поверхности:
R = (532 + 4∙112)/8∙11 = 37,4 мм
Фокусное расстояние:
f = 2∙R = 2∙37,4 = 74,8 мм = 0,0748 м.
Оптическая сила:
D = 1/0,0748 = 13,4 дп.
По формуле, приведенной в примере 3, можно определять радиусы сферических поверхностей любой линзы, например сечение двояковыпуклой линзы можно представить как площадь, состоящую из двух сегментов с высотами стрел h1 и h2 и диаметром d (рис. 5 б). Для каждого сегмента находят радиус окружности, который одновременно является радиусом сферической поверхности.
Практическое определение фокусного расстояния. Для практического определения фокусного расстояния собирающей линзы можно использовать солнечный свет и необходимо собрать простое устройство, состоящее из основания с измерительной линейкой, на котором линза устанавливается жестко, а матовое стекло, являющееся экраном, легко передвигается относительно линзы (рис. 6).
Рис. 6. Практическое определение фокусного расстояния линзы:
1 — фокусное расстояние, измеренное линейкой; 2, 3 — устройство с линейкой; 4 — солнечные лучи, направляемые на линзу; 5 — линза в оправе; 6 — лучи света, преломленные в линзе; 7 — матовое стекло; 8 — фокус линзы
При определении фокусного расстояния линзы ее главную оптическую ось устанавливают вдоль солнечных лучей и, перемещая матовое стекло, добиваются собирания солнечных лучей, прошедших линзу, в минимальную точку на матовом стекле. Затем матовое стекло закрепляют винтом и замеряют по линейке расстояние между ним и оптическим центром линзы, которое является искомым фокусным расстоянием линзы.
Построение изображения предметов в собирающей линзе. На рис. 7 изображена линза и на ее главной оптической оси CD показаны точки: О — оптический центр, F и F1 — точки переднего и заднего фокусов и 2F и 2F1 — точки двойных фокусных расстояний. Плоскости, проведенные через точки F и F1 перпендикулярно к главной оптической оси, называются передней и задней фокальными плоскостями MN и M1N1, а плоскости, проведенные через точки 2F и 2F1, называются передней и задней главными плоскостями KL и K1L1.
Рис. 7. Построение изображения предметов в собирающей линзе:
F и F1 — точки переднего и заднего фокусов; 2F и 2F1 — точки двойных фокусных расстояний; а и а1 — расстояния между линзой и изучаемым и изображаемым предметом; 1, 2, 3 — характерные лучи в линзе для построения изображения предметов, в частности отрезка прямой АВ
Пространство, расположенное слева от линзы, в котором находятся изучаемые предметы, называется пространством предметов, а пространство справа от линзы, в котором изображаются изучаемые предметы, называется пространством изображений. Расстояния между линзой и изучаемым и изображаемым предметами обозначают буквами а и ах.
Если изучаемый предмет расположить перед линзой в пространстве предметов, то его изображение получается за линзой слева. Для построения хода любого луча, падающего на линзу, а также для получения геометрического изображения предмета за линзой пользуются тремя важнейшими характерными лучами, рассмотренными выше:
— луч света 1, параллельный главной оптической оси, преломляясь в линзе, проходит через ее задний фокус F1;
— луч света 2, направляемый через оптический центр линзы, проходит через нее не преломляясь;
— луч света 3, проходящий через передний фокус F, после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси согласно принципу обратимости прохождения лучей в линзе.
На рис. 7 показано изображение точки А, получаемое характерными лучами. Аналогично можно выполнить и для точки В и, соединяя их, получают изображение A1B1 отрезка прямой АВ.
Рассматриваемый предмет может находиться на любом расстоянии а слева от линзы в пространстве предметов, в котором выделяют пять характерных участков (рис. 8); оо > а > 2f, а = 2f, 2f > а > f, а = f и а < f.
Рис. 8. Изображения, даваемые собирающей линзой
На рисунке в пространстве предметов линзы расположены буквы А, Б, В, Г, Е и Т в качестве изучаемых предметов и там же показаны их изображения, для примера приведено изображение буквы В, пользуясь характерными лучами. Рассмотрим характерные участки пространства предметов:
— оо > а > 2f (буква А). Если рассматриваемый предмет перемещается к линзе из бесконечности, то его изображение, даваемое линзой, также перемещается от задней фокальной плоскости (от фокуса F1), удаляясь от линзы и увеличиваясь в размере. При этом изображение действительное, перевернутое и уменьшенное. Изображение буквы А выполнено пунктирными линиями:
— а = 2f (буква Б). Когда предмет попадает в переднюю главную плоскость Н, то его изображение оказывается в задней главной плоскости Н1, оно действительное, перевернутое и имеет тот же размер, что и предмет (Б = Б1);
— 2f > а > f (буква В). Когда предмет находится в промежутке между фокусным и двойным фокусным расстояниями, то его изображение находится за задней главной плоскостью Н1 и оно действительное, перевернутое и увеличенное. С приближением предмета к передней фокальной плоскости (к точке переднего фокуса) его изображение все далее удаляется от задней главной плоскости и увеличивается в размере;
— а = f (буква Г). Изображение предмета, оказавшегося в передней фокальной плоскости (в точке переднего фокуса), находится в бесконечности и неопределенности;
— а < f (буквы Е и Т). Как только предмет переходит переднюю фокальную плоскость (фокус F), то его изображение скачком переходит из пространства изображений в пространство предметов и оно становится прямым, мнимым и увеличенным, то есть изображение предмета на экране не образовывается. Глядя сквозь линзы на предмет, мы видим его изображение в увеличенном и прямом виде. По мере приближения предмета к линзе его изображение по величине уменьшается, как видно из рис. 8, высота изображения буквы Т меньше высоты изображения буквы Е. Свойство линзы изображать предметы, находящиеся возле передней фокальной плоскости (а ~= f), в прямом и увеличенном виде широко используется в лупах.
Часто предмет, наблюдаемый невооруженным глазом, рассматривается под малым углом зрения и образует на сетчатке глаза столь малое изображение, что подробности предмета не могут восприниматься с необходимой отчетливостью (рис. 9,а). Казалось бы, в этом случае выходом из затруднительного положения является приближение предмета к глазу, которое увеличивало бы угол его зрения до необходимой степени.
Рис. 9. Рассматривание небольшого предмета невооруженным глазом (а) и через лупу (б):
