Джордж Сартон – История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности (страница 80)

Вполне возможно, что первые иррациональные числа были открыты Гиппасом (если не раньше), но доказать это невозможно. Очень хочется прийти к такому выводу благодаря распространенности преданий, а также и из-за того, что такая гипотеза почти не оставляет времени для развития теории иррациональности. Однако доказательство иррациональности квадратного корня из 2, приведенное выше, при всей его простоте требовало некоторой абстракции, которая едва ли была возможна во время Гиппаса, скажем, в начале V в. Согласно еще одному преданию, Гиппасу приписывали некоторые познания в построении додекаэдра, геометрического тела правильной формы, 12 граней которого представляют собой правильные пятиугольники. Интерес к пятиугольнику был вполне естественным для пифагорейцев, чьим символом была пентаграмма (правильный многоугольник, полученный соединением вершин правильного пятиугольника через одну).

Рис. 59. Пятиугольники и пентаграммы

К.А. Курт фон Фриц (1900–1965) выдвинул очень интересную гипотезу. Согласно ей, интерес Гиппаса к пентаграммам и пятиугольникам, числам и их отношениям привел бы его к понятию несоизмеримости. Как ремесленнику найти общую меру двух отрезков, А и Б? Он наверняка попытается измерить более длинный отрезок А с помощью более короткого В, а если не получится, он попробует измерить отрезок А с помощью частей отрезка В. В данном случае такой метод применить нельзя из-за приблизительности и несовершенства физических измерений. Однако, если Гиппас рассматривал пятиугольник с его диагоналями, он наверняка заметил, что диагонали пятиугольника составляют пентаграмму и заключают в себе меньший пятиугольник (рис. 59). Тот же процесс можно продолжить, что уже было бы достаточно соблазнительно. На практике такой процесс невозможно продолжать очень долго, но очевидно, что в теории его можно продолжать до бесконечности, а это означает, что диагонали и стороны невозможно свести к общей мере, то есть они несоизмеримы.

Возможно, Гиппас открыл несоизмеримые числа интуитивно, до того, как их существование было полностью доказано. Возможно даже, что греческие математики еще до конца века начали рассматривать более сложные случаи. В «Гиппии Большем» (303 г. до н. э.) встречается ремарка: подобно тому как четное число может быть суммой двух четных или двух нечетных чисел, так и сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. «И что же мешает, чтобы из двух величин, составляющих вместе четное число, каждая в отдельности была бы то нечетной, то четной или, опять-таки, чтобы две величины, каждая из которых неопределенна, взятые вместе, давали бы то определенную, то неопределенную величину и так далее во множестве других случаев»[53].

Рис. 60. Простое построение различных несоизмеримых чисел

Если Гиппас открыл иррациональность √2 и √5, как Феодору удалось найти другие иррациональные числа, вплоть до √17? Возможно, многие из них ему удалось построить довольно легко, как показано на рис. 60. Как только поняли и признали возможность существования иррациональных чисел, найти новые стало нетрудно. Однако возникли препятствия другого рода: если существуют числа, которые невозможно представить в виде пропорции вида n/m, значит, больше нельзя утверждать, что верны подобия пифагорейцев между числами и линиями или между арифметикой и геометрией – или все-таки можно? У нас нет причин предполагать, что эти трудности удалось преодолеть до IV в., но долгий период брожения идей, представленный Гиппасом и Феодором, подготовил эпоху Теэтета и Евдокса. Мы продолжим обсуждение этой темы, когда дойдем до соответствующего времени.

Благодаря своей особой одаренности, «греческому гению», древние греки интуитивно понимали математическую истину, как интуитивно понимали красоту. Похоже, они, пусть и не с самого начала, осознали, что невозможно построить логически стройную математику, не решив множества задач с участием бесконечности. Можно лучше оценить раннюю глубину греческого гения, если помнить, что сегодня существует множество хорошо образованных

людей, например врачей или грамматистов, которые едва ли поймут то, о чем мы говорим, тем более совершат подобные открытия. В этой главе уже приведено много примеров интуиции древних греков, связанной с бесконечностью. Мы говорили о теориях, которые объясняли Зенон, Демокрит, Гиппас, Феодор. Далее речь пойдет еще о двоих: Антифоне и Брисоне.

Он получил такое прозвище для различения со своим современником, Антифоном Оратором, который также жил в Афинах (ок. 480–411) и сыграл более заметную роль в литературной и политической истории.

Антифон Софист, афинянин, чей расцвет совпал с расцветом Сократа, в какой-то степени соперничал с последним в роли наставника молодежи. Антифон был софистом, интересовался многими областями науки, а кроме того, предсказаниями, в частности толкованием снов. Нельзя забывать, что предсказания, особенно онейромантия (толкование снов), тогда на законном основании считались наукой и привлекали самых образованных людей. В то время пределы знания сознавались не так остро, как в наши дни. Однако Антифон заслуживает нашего внимания, поскольку изобрел новый способ решения старой задачи – квадратуры круга.

Антифон предложил вписать простой правильный многоугольник, скажем квадрат, в данный круг. Затем на каждой стороне квадрата можно построить равнобедренный треугольник, вершина которого будет находиться на окружности. Так можно построить правильный восьмиугольник, а продолжая таким же образом, без труда можно строить правильные многоугольники с 16, 32, 64… сторонами. Далее, очевидно, что площадь каждого из этих многоугольников ближе к площади круга, чем площадь предшествующего многоугольника, или, иными словами, по мере того как все больше правильных многоугольников вписывается в один и тот же круг, площадь этого круга постепенно уменьшается. Площади многоугольников можно вычислить, или многоугольники можно «квадратировать»; они постепенно возрастают, хотя не могут превысить определенный лимит – границу самого круга.

Аристотель, его комментаторы и другие критиковали данный подход на основании того, что, сколько бы раз ни удваивать стороны каждого многоугольника, они никогда не заполнят площадь круга целиком.

Брисон родился в семье логографа и мифолога Геродора из Гераклеи Понтийской, мегарской колонии на южном побережье Черного моря. Он был учеником Сократа, а также ученика Сократа, Евклида Мегарского. Таким образом, Брисон принадлежит к более позднему поколению, чем Антифон; скорее всего, расцвет его жизни пришелся на первую половину IV в., но говорить о нем лучше здесь, поскольку его труд очень хорошо дополняет труд Антифона.

В то время как метод Антифона состоял во вписывании в круг ряда многоугольников с 4, 8, 16, 32… сторонами, Брисон предлагал строить описанные многоугольники. Площадь описанных многоугольников постепенно уменьшалась. Площадь круга – верхняя граница вписанных и нижняя граница описанных многоугольников. Конечно, Брисона подвергали такой же критике, что и Антифона; его последовательно критиковали Аристотель, Симпликий и многие историки математики.

Мне кажется, что современные историки (например, Ф. Рудио и И.Л. Гейберг) излишне строги к Антифону и Брисону. Да, методу последнего недоставало строгости, но он основывался на здравой интуиции и постепенно привел к методу подбора (сформулированному Евдоксом) и к интегральному исчислению.

Невозможно отрицать, что Брисон сделал одно открытие: площадь круга – граница для растущих площадей вписанных многоугольников и уменьшающихся площадей описанных многоугольников. По мере того как растет количество сторон этих двух последовательностей многоугольников, их площади все больше приближаются к площади круга с обеих сторон. Этот метод был на деле применен Архимедом (III – 2 до н. э.), который измерил площади двух вписанных и описанных многоугольников по 96 сторон в каждом и пришел к выводу, что 3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇ (3,141 < π < 3,142).

Прежде чем завершить раздел, стоит заметить, что люди, чьи математические идеи мы рассматривали (за исключением, может быть, Гиппократа), не были математиками в современном ограниченном смысле слова; они были философами и софистами, которые осознавали фундаментальную важность математики и пытались как можно лучше ее понять. Интересно, что они родились в самых разных частях Эллады. Зенон родом из Великой Греции, Гиппократ и Энопид – из Ионии, Демокрит из Фракии, Гиппий с Пелопоннеса, Феодор из Кирены, Брисон – с побережья Черного моря; Антифон, насколько нам известно, был афинянином (единственный среди них). Если бы мы упомянули Архита Тарентского, жившего на рубеже веков (о нем речь пойдет позже), к нашему перечислению можно было бы добавить еще и Сицилию. Это доказывает, что математический гений был так же широко распространен в Элладе, как и художественный или литературный гений. Этот гений не был афинским или не был привязан к определенной местности; то был гений Греции.

Астрономия

В нашем обзоре астрономических идей V в. до н. э. можно оставить идеи таких философов, как Гераклит, Эмпедокл, Анаксагор, и ограничиться в основном пифагорейцами. В самом деле, школа пифагорейцев в тот период была ведущей астрономической и самой прогрессивной. Их математический мистицизм имел свою полезную сторону, так как помог заметить закономерности в движении небесных тел и открыть космические законы. Как выразился Платон, «пожалуй, как глаза наши устремлены к астрономии, так уши – к движению стройных созвучий; эти две науки – словно родные сестры; по крайней мере, так утверждают пифагорейцы»[54]. Слова Платона прекрасно подчеркивают пифагорейскую концепцию единства математики, музыки и астрономии, которая оказывала влияние на астрономическое мышление вплоть до эпохи Кеплера.