Джордж Сартон – История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности (страница 79)

Гиппократ пишет «линия, на которой имеется АВ» или «точка, на которой имеется К», в то время как Евклид, а следом за ним и мы пишем просто «отрезок АВ» и «точка К». Такая разница то и дело встречается в истории математических записей и, можно сказать более общо, в истории науки. Изобретателю редко удается описать свое изобретение простейшим способом. Для того чтобы довести изобретение до конца, нужен другой человек или много людей, не таких умных, как изобретатель, зато более практичных. Так, изобретение Гиппократа могли усовершенствовать другие учителя или даже ученики, которые стали писать короче «отрезок АВ» из чистой лени.

Если Гиппократ в самом деле написал первый учебник геометрии, что не только возможно, но и вполне вероятно, он обязан был сжать доказательства. Согласно утверждению Прокла, Гиппократ изобрел метод геометрической редукции (apagoge), то есть переход от одной задачи или теоремы к другой, решение которой влечет за собой решение первой.

Достижения Гиппократа Хиосского были значительными, более того, настолько крупными, что его можно назвать отцом геометрии на тех же основаниях, что Гиппократа Косского называют отцом медицины. И все же лучше избегать подобных метафор, ибо нет абсолютных отцов, кроме Отца нашего Небесного.

По свидетельству Прокла (V – 2), Энопид был немного моложе Анаксагора; он ставит его впереди Гиппократа и Феодора. Можно заключить, что расцвет Энопида пришелся на третью четверть V в. Интересно отметить, что он был не только современником Гиппократа, но и его земляком. Должно быть, они познакомились на Хиосе или в Афинах. Едва ли для нас важно, был ли он моложе или старше Гиппократа, ибо значение имеет хронологический порядок открытий, который отличается от хронологического порядка дат рождения; одним лучше работается в молодости, другим в старости.

Энопид больше прославился как астроном, а не как математик, поэтому мы уделим ему больше внимания во втором разделе данной главы. Его вклад в математику скромен и все же важен. Он первым решил следующие задачи: 1) о восстановлении перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку; 2) о построении угла, равного данному.

Поскольку все могут решить такие задачи приблизительно, то, что решение приписывают Энопиду, означает, что он первым показал, как решать такие задачи с помощью линейки и циркуля. Без решения таких задач невозможно было создание «Начал». Однако Прокл утверждает, что Энопид решил первую задачу в астрономических целях; кроме того, по словам Прокла, Энопид использовал старое название для перпендикуляра (cata gnomona, а не orthios). Все это подтверждает переходный характер того периода: геометрические знания постепенно выстраивались и оформлялись, «Начала» находились в процессе создания.

Гиппий родился в Элиде, исторической области на северо-западе Пелопоннеса. Элида славилась коневодством и считалась почти священной для греков благодаря Олимпийским играм, которые проходили там каждый четвертый год на равнинах Олимпии. Гиппий родился около 460 г. и прославился гораздо больше старших Гиппократа и Энопида, потому что много странствовал по всей Греции, читал публичные лекции и преподавал. Он был своего рода странствующим софистом, деятельностью которого руководили любовь к славе и деньгам. Гиппий готов был обсуждать любую тему, но особенно интересовался математикой и наукой. Попав в Спарту, он испытал разочарование: спартанцы не настолько любили науку, чтобы вознаграждать лекторов. Он увековечен в двух диалогах Платона, «Гиппий больший» и «Гиппий меньший», где выступает как софист, тщеславный и надменный. Хотя Платон создал довольно непривлекательный образ, математические достижения Гиппия бесспорны благодаря единственному, поистине поразительному открытию.

Рис. 58. Квадратриса Гиппия Элидского

Чтобы решить задачу трисексции угла, Гиппий изобрел новую кривую, первый в истории пример трансцендентной кривой – ее невозможно было начертить с помощью какого-либо инструмента, но лишь точку за точкой. То есть в то самое время, когда лучшие математики старались консолидировать геометрические сведения, чтобы возвести стройное здание, Гиппию хватило смелости отойти от общих усилий и начать исследовать таинственное неизвестное за пределами этого здания.

Кривую, изобретенную Гиппием, назвали квадратрисой (название появилось позже). Она получается следующим образом (рис. 58). Допустим, у нас есть квадрат ABCD (со стороной а), в который вписан сектор четверти круга с центром в точке А. Предположим, что радиус поворачивается с постоянной скоростью из положения АВ в положение AD и что в то же время сторона ВС движется к AD с постоянной скоростью, оставаясь параллельной самой себе. Место точки пересечения (Ги Z) двух линий и будет квадратрисой. Далее, < BAD: < EAD получается дуга BD: дугу ED = В А: FH. Допустим, вектор AF соединяет центр А с точкой F кривой; пусть ее длина будет ρ и она образует угол ϕ с AD; в таком случае, a/(ρ sin ϕ) = (π/2)/ϕ.

С помощью полученной кривой можно произвести трисекцию любого угла, обозначенного ϕ. Давайте разделим отрезок FH на две части в пропорции 2: 1, чтобы FF₁ = 2F₁H. Затем проведем линию B″C″, которая разрезает FH на F₁, а кривую на L, и соединим точки AL. Угол NAD равен 1/3 ϕ.

С помощью этой кривой можно разделить любой угол в любом соотношении; достаточно (в нашем примере) разделить отрезок FHb этой пропорции и продолжить вычисления, как показано выше.

Ту же кривую столетие спустя применяли Динострат (IV – 2 до н. э.) и другие для вычисления квадратуры круга, и именно по этой причине кривая получила название квадратрисы.

Помимо математика Феодора Киренского, был еще один Феодор Киренский, гораздо лучше известный всем, кроме математиков; иногда его называют Феодором Атеистом. Он был учеником Аристиппа Киренского, а тот, в свою очередь, был учеником Сократа. Феодора Атеиста изгнали из Кирены; некоторое время он жил в Александрии. В конце жизни ему разрешили вернуться в родной город, где он и умер (примерно в конце IV в.). Иными словами, два Феодора Киренских не были современниками. Математик жил во второй половине V в., а философ – во второй половине IV в.

Математик Феодор Киренский лучше всего известен нам благодаря началу «Теэтета», где Феодор называется знаменитым учителем. Тогда (в 399 г.) он был стариком, поэтому можно предположить, что он родился около 470 г. Говорят, что Платон навещал его в Кирене; во всяком случае, в конце века Феодор побывал в Афинах. Он принадлежал к сократическому кружку и учил (или мог учить) Платона математике. Ему приписывают единственное математическое открытие, однако оно поразительно. Говорят, что он доказал, что все квадратные корни неквадратных целых чисел от 3 до 17 являются иррациональными.

Важно, что открытие иррациональности квадратного корня из 2 ему не приписывали, что может означать только одно: об этом стало известно до него. В самом деле, открытие приписывают ранним пифагорейцам. Открытие иррациональности √2 было поразительным сюрпризом, и пифагорейцы, кажется, какое-то время считали его исключением.

Квадратный корень из 2 появляется вполне естественно и просто, потому что это диагональ единичного квадрата (стороны и площадь которого равны 1). Как ранние пифагорейцы открыли иррациональность √2?

Вначале позвольте представить еще одного человека, Гиппаса из Метапонта, раннего пифагорейца, о котором рассказывали удивительные истории. Говорят, его изгнали из пифагорейской школы за то, что он раскрывал посторонним математические секреты. По одной легенде, он рассказал о построении додекаэдра в шаре и выдал открытие за свое; по другому преданию, он раскрыл открытие иррациональных чисел – что, вполне возможно, относится к √2 и √5. Прежде чем оставить Гиппаса, о нем следует сказать еще кое-что. Ранние пифагорейцы различали три вида средних величин: среднее арифметическое, среднее геометрическое и субконтрарное. Гиппас предложил называть третью величину средним гармоническим. Название подходило благодаря значимости гармонии в теории музыки. Он же дал определение еще трем средним величинам. Давайте вернемся к открытию иррациональных чисел, что для математиков VI и V вв. стало своего рода логическим скандалом.

Иррациональное число (alogos) – такое число, которое невозможно представить в виде частного двух целых чисел; открытие возникло из потребности измерения геометрических величин, когда стала ясна несоизмеримость диагонали и стороны единичного квадрата.

Как можно было доказать существование иррациональных чисел? Традиционное доказательство принадлежит Аристотелю; оно строится на сведении к абсурду. Оно настолько коротко и просто, что мы его воспроизведем.

Представьте квадрат со стороной а и диагональю с. Мы должны доказать, что а и с несоизмеримы. Допустим, что они соизмеримы и их соотношение с /а выражается простейшим образом в виде γ/α. Тогда с²а² = γ²/α²; но с² = 2а²; таким образом, γ² = 2α². Отсюда γ² – четное число и γ – четное число, а α должно быть нечетным. Если γ – четное число, можно записать, что γ = 2β; тогда γ² = 4β² = 2α², поэтому α² = 2β². Отсюда следует, что α₂ – четное число и α – четное число. Получается, что число а одновременно четное и нечетное, что невозможно; поэтому а и с несоизмеримы.