Джордж Сартон – История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности (страница 141)

Величайшая заслуга Аристотеля перед математикой заключается в его осторожном подходе к преемственности и бесконечности. Последнее понятие, замечает он, существует лишь потенциально, не в действительности. Его взгляды на такие основополагающие вопросы, развитые и проиллюстрированные Архимедом и Аполлонием, послужили основой вычислений, изобретенных в XVII в. Ферма, Дж. Валлисом, Лейбницем и двумя Исааками, Барроу и Ньютоном (в противоположность небрежному обращению Кеплера и Кавальери с бесконечно малыми величинами). Такое утверждение, которое невозможно изложить подробно в книге, не рассчитанной на математиков, – поистине очень высокая похвала, но мы обязаны его сделать, тем более что Платон более знаменит как математик, чем Аристотель, что крайне несправедливо. Аристотель был логичен, но скучен; Платон был более привлекателен, однако нелогичен до крайности. Аристотель и его современники заложили лучший фундамент для великолепных достижений Евклида, Архимеда и Аполлония, в то время как соблазнительный пример Платона поощрял все безумства арифмологии и гематрии и возбуждал иные суеверия. Аристотель был честным учителем, Платон – магом, Крысоловом; нет ничего удивительного в том, что последователей Платона больше, чем последователей Аристотеля. Но нам всегда следует с благодарностью вспоминать о том, что многие великие математики обязаны своим призванием Платону; они получили от него любовь к математике, но не следовали ему в другом, и их гениальность послужила их спасением.

Оставим Аристотеля и Ликей и вернемся к Академии. Нам всегда следует помнить, что в то время в Афинах модно было изучать математику. Ее изучали в обеих школах, возможно, в духе дружеского соперничества. Большинство математических исследований, скорее всего, велось в Академии, где сколархами после Платона стали Спевсипп и Ксенократ. Прокл называет братьев Менехма и Динострата друзьями Платона и учениками Евдокса; Февдий из Магнесин написал учебник для Академии. С другой стороны, Евдема Родосского, которого называли учеником Аристотеля и Феофраста, лучше отнести к Ликею. На подобные вопросы невозможно ответить точно. Нам известны главы обеих школ (по крайней мере некоторые из них), однако списков студентов не существовало, и, возможно, посещение было неофициальным. Отдельные люди названы учениками Платона или Аристотеля, а не студентами Академии или Ликея.

Спевсипп, племянник Платона, в 348/347 г. стал преемником Платона на посту сколарха Академии. Судя по фрагментам, его утраченный труд «О пифагорейских числах» стал продолжением исследований Филолая; он занимался многоугольными числами и пятью правильными многогранниками.

После смерти Спевсиппа устроили выборы нового сколарха; голоса разделились почти поровну в пользу Гераклида Понтийского и Ксенократа Халкидонского, но последний победил и пробыл сколархом Академии 25 лет (339–315). Интересно, что и Аристотель, и Гераклид, и Ксенократ были «северянами», и новый сколарх был старым другом Аристотеля (который многократно ссылается на него в своих работах). Поэтому можно предположить, что Ксенократ был так же хорошо знаком с математическими взглядами Аристотеля, как и с математическими взглядами Платона. Он продолжил политику Платона по исключению из Академии соискателей, которые не обладали геометрическими познаниями. Одному из них он сказал: «Ступай своей дорогой, ибо ты не обладаешь средствами для того, чтобы овладеть философией». Такая история вполне правдоподобна.

Ксенократ написал множество трактатов; к сожалению, все они утрачены. Однако, судя по названиям, процитированным Диогеном Лаэртским, речь в некоторых из них шла о числах и геометрии. Применение в геометрии принципа непрерывности, которое обострилось благодаря парадоксам Зенона, привело его к понятию неделимых линий. Ксенократ подсчитывал количество слогов, которое можно образовать с помощью букв алфавита (по мнению Плутарха, ответ был равен 1 002 000 000 000); это самая первая известная задача по комбинаторному анализу. К сожалению, помимо скудных обрывков информации, о его деятельности нам ничего не известно.

Менехм и Динострат были братьями, о которых нам известно лишь то, что говорит о них Прокл в коротком абзаце комментария к первой книге «Начал» Евклида. По мнению Прокла, они «сделали геометрию более совершенной».

Неизвестно, где и когда родились братья, но жили они в Афинах, посещали Академию и учились у Платона, а позже у Евдокса. Можно заключить, что они жили примерно в середине IV в. до н. э.

Оба брата занимались созданием геометрического синтеза. Менехма особенно интересовала старая задача об удвоении куба. Эту задачу Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) свел к нахождению двух средних пропорциональных между двумя отрезками, один из которых в два раза длиннее другого. Выражаясь современным языком, можно сказать, что Гиппократ свел решение кубического уравнения к двум квадратным уравнениям. Как их можно решить? Менехм нашел два способа решения, найдя пересечение двух конусов – двух парабол в первом случае и параболы и гиперболы во втором.

Так в мировой литературе появились конические сечения; открытие этих кривых приписано Менехму. Способ их построения, выбранный им, сейчас кажется очень странным; он воображал, что плоскость разрезает правильный круговой конус, при этом плоскость всегда перпендикулярна образующей линии этого конуса. Три разных конуса (которые он, похоже, различал) были получены путем увеличения угла конуса; пока угол острый, сечение представляет собой эллипс; когда угол прямой, сечение представляет собой параболу; когда угол тупой, получаются две ветви гиперболы. О. Нейгебауэр предположил, что Менехма могло привести к открытию использование солнечных часов. Если Нейгебауэр прав (а его доводы кажутся мне очень правдоподобными), странно думать, что эти кривые астрономического происхождения были введены в теорию астрономии лишь спустя две тысячи лет. Менехм открыл их (ок. 350 г. до н. э.) благодаря своим наблюдениям за Солнцем, но лишь Кеплер (1609) стал с их помощью объяснять Солнечную систему.

Александр Великий спросил Менехма, есть ли короткий путь к приобретению геометрических познаний, и Менехм ответил: «О, царь, для поездок по стране есть царские дороги и дороги для обычных граждан, но в геометрии дорога для всех одна». Эта легенда общеизвестна, и ее героями делают Евклида, Птолемея и Менехма. Последний лучше подходит на роль героя, потому что он старше Евклида и Птолемея. Кроме того, Александр, воспитанник Аристотеля, вполне мог задать такой вопрос. Великий царь был по натуре нетерпеливым, но ему предстояло узнать: путь для получения прочных знаний, возможно, дольше, чем для завоевания мира.

Выше мы объясняли, что геометрическая мысль в V в. до н. э. подхлестывалась существованием трех задач: 1) квадратуры круга; 2) трисекции угла и 3) удвоения куба. Гиппократ Хиосский и Менехм особенно интересовались третьей задачей; Гиппий Элидский нашел оригинальное решение второй задачи при помощи изобретенной им кривой – квадратрисы. Такое название было дано кривой потому, что Динострат, брат Менехма, приложил ее к решению первой задачи. Становится ясно, что три знаменитые задачи по-прежнему будоражили воображение геометров Академии в IV в. и помогали им расширить пределы их познаний.

По словам Прокла, Февдий из Магнесин отличился в математике и других областях философии; он составил хорошие «Начала» (ta stoicheia) и многие частные положения перевел в более общие.

Это утверждение очень важно, несмотря на его краткость. Перед нами первое свидетельство существования книги, которую можно назвать «учебником геометрии» (или «Началами») Академии. Одни математики того времени больше интересовались открытиями, другие – синтезом и логической последовательностью; первые напоминали искателей приключений или завоевателей, вторые – колонизаторов. Две эти тенденции всегда сосуществовали во времена здорового развития математики, и они одинаково необходимы. Обстановка на границах всегда более напряженная, чем внутри. Насколько можно судить из лаконичных слов Прокла, в задачу Февдия входило расположить геометрические познания, добытые первопроходцами, как можно в более красивом и логичном порядке. Февдий был предшественником Евклида и способствовал его достижениям.

Евдем был учеником Аристотеля и другом Феофраста. Поэтому можно предположить, что он жил в третьей четверти IV в. до н. э. и принадлежал к Ликею. Более того, Прокл, который четырежды цитирует его в своем комментарии к Первой книге Евклида, называет его «Евдемом перипатетиком». Среди приписываемых Евдему, но утраченных сочинений были история арифметики, геометрии и астрономии. Он первый известный нам историк науки, и, хотя до нас дошли лишь фрагменты, мы имеем все основания предположить, что его труд стал главным источником, из которого просочились все известные нам сведения о доевклидовой математике. Один из самых важных фрагментов связан с квадратурой луночек Гиппократа Хиосского, о которых мы уже говорили.

Появление в то время историка математики и астрономии очень важно; оно доказывает, что в этих двух областях уже было проделано столько работы, что возникла необходимость в их историческом обобщении. Давайте с благодарностью вспомним имя первого историка математики и назовем его присутствие в Афинах около 325 г. новым доказательством славы эллинизма.