Джордж Сартон – История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности (страница 125)

Рис. 79

Что такое золотое сечение? По мнению Прокла, теоремы, связанные с «тем сечением», начались с Платона, а Теэтет приложил к ним метод анализа. Скорее всего, эти теоремы были открыты Теэтетом или другими, а Платон приложил их к своим фантазиям. Любопытное использование определенного артикля применительно к «тому сечению» (hē tomē) должно было почти наверняка относиться к исключительному сечению, делению отрезка в крайнем и среднем отношении, которое напрашивается при построении пятиугольника и додекаэдра. В более позднее время Лука Пачоли (1509) назвал это сечение «божественным». Золотым его назвали еще позже. Термин «золотое сечение» пользовался огромным успехом; многие художники и мистики носились с мыслью о том, что именно это сечение – одна из тайн красоты.

Дабы освежить память читателя, приведем задачу, как ее формулирует Евклид (книга II, предложение 11): «Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке». Или, выражаясь алгебраическими терминами, дана прямая а, которую необходимо разделить на два отрезка, х и а – х, так, чтобы

а/х = х/(а — х).

Решение достаточно простое (рис. 79). Если отрезок АВ равен а, восставим перпендикуляр от В, равный а, и сделаем его диаметром окружности С. Проведем отрезок АС, который пересекает окружность в точке D. Окружность радиуса AD пересекает прямую в точке Е и делит отрезок АВ в крайнем и среднем отношении. Доказательство настолько простое, что мы не будем его приводить.

Вклад Евдокса в теорию золотого сечения способствовал его популярности, но самыми выдающимися его математическими

достижениями стали общая теория отношений и метод исчерпывания.

Метод исчерпывания опирается на бесконечно малые понятия; он был основан на строгом понятии предела. Изобретя свой метод, Евдокс стал одним из предтеч интегрального исчисления. Интегрирование простых площадей делалось и до него. Несомненно, до него были получены такие результаты, как отношение кругов друг к другу, подобное отношению квадратов с такими же диаметрами. Более того, Гиппократ утверждал, что доказал эту теорему. Как он это сделал?

Доказательство Евклида основано на методе исчерпывания, изобретенном Евдоксом; поэтому можно предположить, что на самом деле перед нами доказательство Евдокса.

1) Впишем в круги A и B правильные многоугольники площадью A′ и B′, которые имеют столько сторон, что разность A – A′ и B – B′ произвольно мала.

2) Требуется доказать, что a²/b² = A/B.

Допустим, что это не так и что

a²/b² = A/C.

Может ли C быть меньше B?

Сократим разность B – B′ так, чтобы

B – B′ < B – C, или B′ > C.

Равенства

a²/b² = A/C = A′/B′

противоречат друг другу, так как

A > A′, C < B′.

Так же можно доказать, что С не может быть больше В. Если С не может быть ни меньше, ни больше, чем В, значит, C = B и теорема доказана.

Решение можно было обобщить, но античным ученым это не удалось. Метод исчерпывания был строгим, но частным; необходимо было в каждом случае приводить отдельное доказательство. С помощью своего метода Евдокс сумел доказать формулы, связанные с объемами пирамиды и конуса, открытые Демокритом.

К середине IV в., главным образом благодаря усилиям Теэтета и Евдокса, геометрия поднялась на гораздо более высокий уровень и приблизилась к евклидовой. Стадия интуитивных открытий миновала, и математиков, получивших хорошую логическую подготовку, больше не устраивали частные результаты; им требовалась строгость. Каков вклад Платона в этом отношении? Трудно сказать. Возможно, он настаивал на ясности и логичности формулировок, но главные, чисто математические, достижения принадлежали не ему. Возможно, он помог математикам; они могли без него обойтись, а он без них обойтись не мог.

Астрономия

Эпоха Платона характеризуется такими же блестящими открытиями в астрономии, как и в математике. И принадлежат они главным образом тому же человеку, Евдоксу Книдскому. История, которую нам необходимо рассказать, довольно сложна. Сначала разберемся с достижениями, которые приписывают вавилонским астрономам. Греческую историю необходимо разделить на три части: предшественники; Евдокс; Платон и Филипп Опунтский.

Для того чтобы объяснить, какую роль могли играть вавилонские астрономы в развитии греческой астрономии, необходимо немного отступить назад. По словам Птолемея (II – 1), Гиппарх Никейский (II – 2 до н. э.), сравнивая свои наблюдения за неподвижными звездами с другими наблюдениями, проведенными столетие назад в Александрии Аристиллом и Тимохарисом (III – 1 до н. э.), пришел к выводу, что все звезды немного сдвинулись к востоку. Иными словами, он открыл предварение равноденствий или астрономическую прецессию. Гиппарх предположил, что точки равноденствий постепенно перемещаются среди звезд, благодаря чему каждый год равноденствие наступает раньше, чем в предшествующие годы. По мнению Гиппарха, смещение звезд по долготе, то есть прецессия, составляла 45″ или 46″ в год, что составляло всего 1°10′ за столетие. (Птолемей исправил цифру до 36″ в год, или точно до 1° за столетие, но Гиппарх был ближе к истине, так как искомая величина составляет 50″,26.) Мог ли Гиппарх заметить разницу в 1°? Да, в этом не было ничего невозможного, но ему было бы легче открыть прецессию, если бы ему были доступны более старые наблюдения, а ему могли быть доступны точные наблюдения, проводимые вавилонянами. Птолемей пишет о халдейских наблюдениях, проведенных в 244, 236, 229 гг. до н. э. Выдвигались предположения, что Гиппарху не только были доступны более ранние наблюдения (что весьма вероятно), но и что прецессию открыл уже в 379 г. до н. э. вавилонский астроном Кидинну.

Известно, что халдейские астрономы накопили большое количество наблюдений и их знания отличались поразительной точностью. Самыми ранними из известных нам астрономов были Набуриан (Набуриманну, сын Балату), который жил в Вавилоне в 491 г., и Кидинну, живший около 379 г.; они изобрели лунные таблицы в соответствии с двумя разными системами. Их последователи произвели наблюдения, которые записаны в «Альмагесте». Можно утверждать почти наверняка, что Гиппарх был знаком с этими наблюдениями, которые облегчили ему работу, особенно открытие прецессий.

Открытие, следует отметить, было неизбежным, как только сравнили списки звезд, достаточно разбросанные по времени. Астрономы, проводившие подобные сравнения, не могли не заметить, что все долготы увеличивались одинаково; что количественное значение было очень маленьким, около 1°24′ за столетие, 4°12′ за три столетия, 5°36′ за 400 лет. И какими бы приблизительными ни были наблюдения, неизбежно должно было прийти время, когда прецессию заметили, я не говорю «объяснили»; это другая история.

Мы не можем перейти к другой теме, не сделав еще одного замечания, пусть даже из-за него придется еще больше отступить во времени. После того как Гиппарх заметил прецессию, а Птолемей опубликовал результаты, требовалось подтвердить открытие дополнительными наблюдениями. Можно было ожидать, что столь фундаментальное открытие сразу же прочно утвердится. Ничего подобного! Почти все последователи Птолемея закрывали на него глаза; ссылался на него лишь Теон Александрийский (IV – 2) и Прокл (V – 2). Но последний прецессию отрицал, а Теон, хотя и соглашался с оценкой Птолемея (1° за 100 лет), предполагает, что все ограничено колебаниями по дуге в 8°, что означает, что прецессия накапливается около восьми веков, а затем движется вспять. Прокл соглашался с таким допущением; он считал, что тропические звезды не описывают полный круг, а движутся на несколько градусов вперед-назад.

Таким образом, Теон стал автором теории «трепета равноденствий», которая, несмотря на свою ошибочность, завоевала большую популярность. Теория предварения равноденствий, открытая Гиппархом и объясненная Птолемеем, и теория «трепета» противоречили друг другу, хотя многие астрономы пытались найти компромисс между ними. «Трепет» принимал индийский астроном Ариабхата (V – 2), который, возможно, стал связующим звеном между Теоном и Проклом, с одной стороны, и Сабитом ибн Куррой (IX – 2), первым арабским астрономом, написавшим об этом, – с другой. К чести мусульманских астрономов следует заметить, что большинство из них отвергало теорию «трепета»; так было с аль-Фаргани (IX – 2), аль-Баттани (IX – 2), Абд аль-Рахманом аль-Суфи (X – 2) и Ибн Юнусом (XI – 1). К сожалению, аль-Заркали (IX – 2) и аль-Битруджи (XII – 2) поддерживали эту ложную теорию, а поскольку их влияние было значительным, в основном они в ответе за ее распространение среди мусульманских, иудейских и христианских астрономов, настолько, что ее принимали Иоганн Вернер (1522) и сам Коперник (1543)! Тихо Браге и Кеплер выражали сомнения относительно непрерывности и систематичности прецессии, но, в конце концов, отвергли «трепет». Вопрос прояснился окончательно лишь после того, как предварение равноденствий получило обоснование в «Математических началах натуральной философии» Ньютона (1687).

Трудно понять живучесть ложной теории «трепета». В самом начале нашей эры временной отрезок наблюдений был еще слишком мал для того, чтобы измерить прецессию с точностью и без неясности. Но с течением времени никакой неясности не осталось. Между наблюдениями звезд, зафиксированными в «Альмагесте», и наблюдениями, которые мог проводить Коперник, прошло 15 веков, и разница долгот составляла до 21°. Как можно было объяснить такое расхождение с помощью «трепета»? Как можно было объяснить это по-другому, кроме как устойчивым накоплением расхождений того же знака?