Ашимов И.А. – АнтиЖизнь и АнтиСмерть: навигации в пространстве техногенных смыслов (курс проблемных семинаров) (страница 7)

По Кантору, множество называется упорядоченным, если для любых двух его элементов выполняется требование: «а > b» или «a < b» и при этом свойство порядка транзитивно: если «a > b» и «b > c», то и «a > c». Множество будет вполне упорядоченным, если потребовать дополнительно: во-первых, никакой элемент не следует за самим собой; во-вторых, в любом подмножестве имеется первый элемент. Отсюда видно, что множество натуральных чисел вполне упорядоченно, а множество вещественных чисел лишь упорядоченно.

Мощность континуума есть некоторый алеф: С=Аx. Остается доказать, что х = 1. Н.Н.Лузин высказал догадку о том, что континуум-гипотеза носит характер свободной аксиомы, подобно аксиоме о параллельности прямых в геометрии. Именно эта догадка оказалась подлинным смыслом достигнутого уже в наше время в аспекте решения континуум-проблемы в исследованиях К. Геделя и П.Коэна.

Итак, результаты исследований показывают, что континуум не может состоять из определенной, хотя бы и большей счетной совокупности непротяженных элементов-точек, ибо мощность континуума на алефической шкале может совпадать как с первым алефом, так и со вторым, и, по-видимому, любым алефом. Значит, место мощности континуума на шкале алефов не определено, можно говорить о свободном перемещении мощности континуума с алеф-один на алеф-два и т.д. и при этом не будет противоречия с основными аксиомами теории множеств. Достигнутое решение континуум-гипотезы относится к теории множеств построенной на основе аксиоматики Цермело-Френкеля.

Таким образом, континуум оказался чем-то несравненно более богатым, чем просто лишь множество точек, хотя бы и за-бесконечной мощности, и само понятие «множество», вовсе не исчерпывает его сущности. В связи с этим уместно сказать, что для Г.Вейля, как и для других интуиционистов, континуум вообще не является множеством точек: континуум – это среда свободного становления, в которой мы можем помещать точки, стягивая интервалы, но которая не состоит из точек. На неисчерпываемость континуума множествами любых чисел указывал и А.А. Холшевников.

Исключительно множественная концепция точечного континуума является односторонней идеализацией «реального» континуума, причем идеализацией не только законной, но и необходимой в рамках абстрактных математических построений. Однако вынесение ее за пределы той или иной аксиоматической системы с последующим приписыванием ей какого-то реального смысл недопустимо. Нельзя не видеть, что это является также естественным подтверждением известных представлений о диалектической природе континуума и неисчерпаемости его в одностороннем «точечном» или чисто «множественном» представлении.

Допустимо ли подобное философское истолкование достигнутого решения континуум-гипотезы? Некоторые математики в философском истолковании независимости континуума-гипотезы идут дальше. В связи с этим открытием, П.Коэн признает вполне допустимым даже крайний финитизм, вообще отрицающий какой-либо реальный смысл за бесконечными множествами. С точки зрения диалектики множественного и целого, финитистская концепция континуума также одностороння, как и противоположная ей наивно реалистическая, абсолютизирующая его множественный аспект. И сам П.Коэн, отмежевавшись от обеих точек зрения, в конечном счете склоняется к признанию неисчерпываемости континуума любыми известными в настоящее время типами множеств.

Со времен Ф.Гегеля существует не как аксиома, а как факт диалектической логики известное положение о соотношении понятий многого и единого. В нашем примере понятие многого существует лишь постольку, поскольку есть противоположное ему понятие единого (понимаемого в качестве отрицания многого и всякой множественности). Понятия «Жизнь» и «Смерть» оказываются неразрывно связанными, взаимно обуславливаемыми и взаимно определяемыми через отрицание одного другим. Причем так, что многое в конечном счете имеет своим основанием единое. Но вырастая из него, оно никогда не исчерпывает его, а единое, в свою очередь, именно благодаря этому существует через многое и во многом.

Поэтому, «мир» или «реальность», с точки зрения диалектической логики, обладает неустранимой «двуликостью» или «противоречивостью», и одного лишь понятия множества недостаточно для исчерпывающего описания реальности: необходимо обращение к прямо противоположному и дополнительному по отношению к нему понятию единого. Именно с этим логическим фактом взаимоопределимости и взаимоотносимости категорий множественного и единого математики и столкнулись в проблеме континуума.

Следует особо подчеркнуть уникальность современного этапа в исследовании континуума. Даже беглого ознакомления с историей этого понятия в математике достаточно для того, чтобы заметить в истории оснований математики попеременное обращение к концепциям прерывности или непрерывности, которое никогда не было простым повторением пройденных этапов, но каждый раз расширяло математический горизонт и обогащало арсенал математических методов.

Тем не менее вся прошлая история континуума хорошо вкладывается в старую схему единства прерывного и непрерывного. Поэтому при поверхностном подходе к результатам достигнутого решения континуум-проблемы может показаться, что и в настоящее время мы имеем еще один (и лишь один из многих) поворотов к «чистой непрерывности» континуума. Однако такое представление было бы в корне ошибочным, ибо оно игнорирует следующие важные обстоятельства:

1) Отвергаемая здесь концепция континуума была сформулирована на теоретико-множественном языке, в котором термины «прерывность – непрерывность» занимают подчиненное положение по отношению к термину – «множество» (множества могут быть прерывными и непрерывными). И если оказалось, что в конечном счете континуум не есть множество, то это означает, в частности, что он не является множеством с заданными на нем свойствами непрерывности или прерывности.

2) Обнаруженный факт невозможности исчерпывающего и однозначного описания континуума как множества, ведет к признанию в нем свойств нетривиальной целостности, которую следует понимать как отрицание и исключение всякой множественности. Более адекватной природе континуума оказывается диалектика множественного и единого (как неразложимого на многое целого), чем диалектика прерывного и непрерывного, которая вся опирается на понятие множества. Диалектика прерывного и непрерывного в некотором смысле разрешается в диалектику множественного и целого и снимается в ней, когда обнаруживается неуниверсальность понятия множества и необходимость введения его полного отрицания.

Теоремы Геделя о неполноте формальных систем и континуум-проблема. В процессе развития идей Гильберта было установлено, что центральный вопрос обоснования математической теории – вопрос о ее непротиворечивости – приобретает вполне точный смысл для такой теории, которая полностью формализована. На основании определенных правил вывода, которые также записаны в формальном виде, от аксиом можно перейти к любому предложению теории или вывести его. Сам вывод также формализуется. Суть доказательства непротиворечивости формализованной системы заключается в установлении таких ее свойств, которые делают невозможным проявление в ней предложений типа «А и не-А». Это доказательство проводится с привлечением наиболее простых и не вызывающих сомнений средств.

Сам по себе факт установления возможности доказательства лишь относительной непротиворечивости для достаточно богатых систем имеет огромное философское значение, поскольку он очевидным образом идейно смыкается с известными философскими положениями о диалектике относительного и абсолютного в знании. От знаменитой формулы: «непрерывность есть единство во множественности – остается только множественность». Для понимания эпистемологического смысла достигнутого решения континуум-проблемы оказывается необходимым обращение к диалектике понятий множественного и единого (понимаемого как отрицание и противоположность многого). Но изучение соотношения этих понятий и связанной с ними диалектической идеи выходит за пределы математики и относится уже к области философии.

Следует обратить внимание на одно обстоятельство, также свидетельствующее об уникальности теоретико-познавательных проблем, возникающих в связи с установлением неразрешимости континуум-гипотезы. Однако континуум-гипотеза содержит более глубокую проблему, чем постулат о параллельности в геометрии. Думается, что именно диалектика множественного и единого (целого) позволяет понять, в чем тут дело.

Дж. Белл, основываясь на том, что существенное разделение предусмотрено законом исключенного третьего, определяет разрыв между интуиционистскими (Брауэра и Ловера) и классическими (Стевина и Робинсона) континуумами. Дж. Белл выделяет две различные исторические концепции бесконечно малого – Лейбница и Ньивентейдта. Причем, концепция Лейбница была реализована в теории Робинсона, а концепция Нивентийдта в теории Ловера. Следовательно, в непрерывности имеют место «малые» этапы, которых мы в своей практике либо опускаем, либо не признаем вовсе. Отсюда можно сделать допущение о том, что между категориями «Жизнь» и «Смерть» есть промежуточные «малые» этапы, как элементы прерывности в непрерывности.