Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 31)

В самом деле, для точек О, R, S, Т

Для точек же О, М, N, L

Теперь второй сюжет: построения циркулем и линейкой.

(В 11 классе я на экзамене по геометрии получил такое задание, что даже и циркулем пользоваться было нельзя. Третий сюжет, который мы рассмотрим, — это построение одной линейкой. Циркуль отменяется. Есть только линейка. Здесь всё еще веселее. Я расскажу про одну конкретную очень красивую задачу. Но об этом — ниже.)

Помните ли вы о построениях циркулем и линейкой? Построения циркулем и линейкой выводят на весьма сложные математические закономерности. Что мы умеем строить циркулем и линейкой? Можно, например, построить равнобедренный треугольник, если известны длина основания и длина боковой стороны.

Ну, скажем, основание 10 см, а боковые стороны — по 13 см. Линейкой проводим любую прямую, циркулем делаем на ней в любом месте засечку. Циркулем же измеряем основание (10 см) и делаем на прямой вторую засечку, предварительно установив иглу циркуля в первую. Берем раствор циркуля равным длине боковой стороны (13 см) и ставим иглу циркуля сначала на левый край основания, проводя достаточно длинную дугу в верхней полуплоскости, а затем на правый край (и проводим дугу до пересечения с первой дугой). Взяв линейку, соединяем точку пересечения дуг сначала с левой точкой основания, а потом с правой (см. рис. 114).

Рис. 114. Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки.

В общем, всё это быстрее сделать, чем описывать. Если Вы устали, вот вам задачка. Один школьник перепутал, что такое 10 см — основание или боковая сторона. И из-за этого построил не тот треугольник, что было нужно. Как вы думаете, что сильнее исказилось (в процентах) из-за рассеянности: площадь треугольника или его периметр? (Ответ: площадь изменилась больше, чем на 15 процентов, а периметр менее, чем на 10 процентов.)

Можно построить квадрат. А вот можно ли построить правильный пятиугольник с данной стороной? Это не очень просто. Но можно. Пифагорейцы уже умели строить правильный пятиугольник. Правильный шестиугольник построить совсем просто: строю окружность с радиусом, равным заданной стороне 6-угольника. Теперь делаю подряд 6 засечек на окружности окружностью того же радиуса. О чудо, шестая попадает прямо в то место, откуда мы начали. Так уж вышло! Далее прикладываем линейку к первым двум засечкам и проводим отрезок, их соединяющий. Потом то же делаем для следующих двух засечек, и т. д., пока не получим все 6 сторон шестиугольника (см. рис. 115). Итак, правильный шестиугольник построить просто. Треугольник — тривиально, квадрат — очень просто, пятиугольник сложно, но можно. Вопрос. Можно ли построить правильный семиугольник? Древние сломали миллион копий в спорах и потратили кучу часов, пытаясь решить эту задачу, но решена она была только в XIX веке!

Рис. 115. О, чудо! Шестая засечка совпала с первой вершиной!

На самом деле, кроме этой задачи, древние оставили нам еще три известные проблемы.

1. Трисекция угла. Дан какой-то угол на плоскости. Надо разделить его на три равные части. Знаменитая проблема древних; примерно в том же начале XIX века было доказано, что трисекция угла с помощью циркуля и линейки невозможна.

2. Квадратура круга. Что значит «квадратура круга»? Дан круг. Нужно построить квадрат с такой же площадью. Пусть радиус круга r равен единице, тогда его площадь S равна π (по формуле S = πr²). Значит, нужно построить квадрат со стороной, равной √π. Эта задача эквивалентна задаче построения числа π, которая тоже была решена (в отрицательном смысле), но только в конце XIX века. Почему она была решена позже, чем другие задачи, оставленные нам древними? Потому что люди очень долго не понимали структуру числа π. В начале XIX века было доказано, что можно построить те и только те точки плоскости, у которых обе координаты могут быть получены из единицы за конечное число операций плюс, минус, умножить, разделить, взять квадратный корень. Берете единицу. Вам разрешается ее складывать с самой собой. Так получатся все натуральные числа. Если будете вычитать — все отрицательные. Рассмотрим дроби. Дроби математики называют специальным термином — рациональные числа. То есть это числа, которые представляются в виде «целое делить на целое». Например, число 2 — рациональное, так как может быть представлено, как 2/1 или 4/2. То есть все целые числа также являются рациональными. Давайте посмотрим, где будут жить точки «целое число пополам». Во-первых, будут жить в целых, потому что любое целое, это как бы «удвоенное целое пополам». Во-вторых, они будут жить посередине между соседними целыми (рис. 116).

Рис. 116. Изображение чисел вида m/n при n = 2. Если m четно, получаются целые числа (обозначены кружками). Все прочие числа такого вида изображены вертикальной черточкой.

А если я еще раз разделю пополам? Я могу нарисовать, где живут числа, полученные из целых делением на 3, на 5, на 1000 и т. д. Но удивительным фактом, который был известен уже древним, является то, что не все числа можно представить в виде дроби. Например, я построю квадрат со стороной 1 и возьму его диагональ. Ни одна обыкновенная дробь не равна длине диагонали квадрата. Заметьте, что число, равное диагонали квадрата, строится циркулем и линейкой (так как сам квадрат циркулем и линейкой мы построить можем).

Но оно не является рациональным числом. Это было помещено в первой части книги. То есть мы умеем теперь строить квадратные корни, потому что диагональ квадрата выражается квадратным корнем.

Любое рациональное число можно построить циркулем и линейкой. Давайте, например, построим −11/7. Знак минус просто означает, что число надо откладывать не вправо от нуля, а влево. Чтобы построить 11/7 достаточно построить 1/7 и отложить этот отрезок 11 раз. А чтобы построить 1/7, придется использовать очень удобную: теорему Фалеса (которая изучается в школе). Сейчас мы ею воспользуемся.

Теорема Фалеса (в простейшей формулировке). Если на одной из двух прямых в плоскости отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки (рис. 117).

Рис. 117. Две прямые (горизонтальная и наклонная) выходят из начала координат и пересечены системой параллельных прямых. Если на одной из прямых мы отсекли равные отрезки, то на другой прямой отрезки тоже будут равны между собой (Теорема Фалеса).

Мне дан единичный отрезок. Отложу его по горизонтальной оси от начала координат и проведу произвольную наклонную прямую (тоже из начала координат) (рис. 117).

На этой прямой отложу от начала семь равных отрезков (неважно, какой длины) и конец последнего отрезка соединю с концом единичного (горизонтального) отрезка.

После этого провожу прямые, параллельные той, что соединила концы горизонтального (единичного) отрезка и наклонного отрезка, и проходящие через конец предпоследнего из семи отрезков; затем — через конец пред-предпоследнего, и так далее.

По теореме Фалеса получается, что все получившиеся на горизонтальном единичном отрезке кусочки равны друг другу — то есть мы получили 1/7.

Корень строится немножко сложнее. Беру произвольное число а, которое я уже построил циркулем и линейкой и из которого я хотел бы извлечь квадратный корень. Откладываю сперва от него единичный отрезок (рис. 118; для примера рассмотрен случай a = 5).

Рис. 118. Отрезок a = 5 отложен между х = −3 и х = 2; единичный отрезок — между х = 2 и х = 3. Строим полуокружность радиуса 3. Проводим перпендикуляр из точки х = 2 до точки пересечения с окружностью. Это и есть отрезок длины √5. Все три треугольника — прямоугольные, и все они подобны друг другу.

Теперь я рассматриваю новый отрезок длины а + 1 как диаметр окружности. Делю его пополам (это мы делать умеем) и строю верхнюю полуокружность.

Из точки х = 2 (отделяющей отрезок «а» от отрезка 1) восстанавливаю перпендикуляр. Получаю отрезок с концами на окружности и отрезке.

Теорема: длина полученного отрезка равна √5.

Доказательство. Обозначим за А и В концы диаметра, за М и С — концы проведенного нами перпендикуляра (С ниже, чем М). Треугольник АВМ подобен треугольнику AMС, так как у них острые углы совпадают, а один из углов прямой. (Угол АМВ прямой, как и любой угол, вписанный в полуокружность.) Значит, и третьи углы равны. По той же причине и треугольник АВМ подобен треугольнику МВС. Значит, можно записать отношение катетов малых треугольников

1/х = х/а

(где «x» — длина проведенного нами перпендикуляра); x² = а, x = √а, что и требовалось доказать.

Теперь мы умеем строить всякие страшные «многоэтажные чемоданы». Любое выражение, которое является результатом конечного числа операций плюс, минус, умножить, делить и взять квадратный корень, можно построить циркулем и линейкой. Например,

Основная теорема о построениях циркулем и линейкой утверждает, что верно и обратное: то есть если какую-то точку удалось построить циркулем и линейкой, то координаты этой точки должны быть получены с помощью конечного числа операций плюс, минус, умножить, разделить и взять корень. Но есть точки на прямой, которые таким образом не выражаются, а значит, и не строятся при помощи циркуля и линейки. Так, число π не является результатом конечного числа таких операций (ни миллиона, ни миллиарда!), и, следовательно, построить его невозможно. Доказательство этого факта придумали только в конце XIX века.