Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 30)

Наше пространство, возможно, является искривленным, то есть служит примером нетривиального трехмерного многообразия. Может ли к нему быть применена гипотеза Пуанкаре, доказанная Перельманом? Вернемся к «двумерным мирам». Если я беру камеру от колеса (рис. 108), продеваю в него нитку и завязываю, то я никогда не смогу ее снять. А если я завяжу нитку на сфере, я сниму ее без проблем. Всё, что нам осталось предположить про наш мир, чтобы применить к нему гипотезу Пуанкаре, это принять на веру, что в нашей вселенной «трюк с завязыванием петли» не пройдет, и любую петлю можно стянуть. Описанное свойство поверхности — сферы, но не камеры! — носит название односвязности[26].

Рис. 108. Пусть наш Космос имеет форму «бублика», только не двумерного, а трехмерного, расположенного в пространстве более высокой размерности. Как бы могли подтвердить этот факт земные космонавты? По наличию «дыры» в этом бублике.

Так вот, если наш трехмерный мир конечен и односвязен, то мы попадаем в условия теоремы, Пуанкаре — Перельмана. И тогда он обязательно является 3-мерной сферической поверхностью 4-мерного пространства-шара.

Обычная сфера радиуса 1 задается уравнением: х² + у² + z² = 1.

А 3-мерная того же радиуса вот так: х² + у² + z² + k² = 1. (Подумайте, почему координат на единицу больше, чем размерность!)

Раньше это была гипотеза Пуанкаре и относилась она только к топологии. Теперь — это теорема Пуанкаре — Перельмана. И теперь ее можно пытаться применять в космологии.

Часть II

«Знание геометрии артиллеристу и инженеру необходимо, а каждому, кто только чему-нибудь учиться хочет, нужно; сия наука есть истинное основание всем наукам в свете, она научает нас здраво разсуждать, верно заключать и неопровергаемо доказывать; она сохраняет нас от многих заблуждениев, ибо геометристу труднее какое-нибудь предложение доказать обманчивыми доводами, нежели философу.

Эвклидовы элементы суть основании сей несравненной науки — необходимо учащимся предлагать должно, и стараться, чтоб они их знали совершенно…»

Лекция 1

Евклид, нам нужно поговорить

А.С.: Сейчас мы рассмотрим несколько сюжетов. Некоторые мы разберем сразу, а некоторые оставим и потом к ним вернем-

Первый сюжет называется фотосъемка.

Давайте представим себе такую ситуацию: на прямой дороге расположено несколько контрольных пунктов (КП). Над этим отрезком дороги непрерывно идет аэрофотосъемка (рис. 109).

Рис. 109. Участок усиленного наблюдения.

И вот однажды сверху засекли шпиона (рис. 110).

Рис. 110. «Возле самой границы овраг. Может, в чаще скрывается враг!»

Требуется понять, где конкретно он находится на дороге. Из визуальных соображений ясно, между какими двумя КП находится шпион, но нам нужна точная координата. Мы видим только фотоснимок. Мы можем запросить некоторое количество информации, например, мы можем запросить координаты некоторых КП. Вопрос: сколько координат нам для этого достаточно запросить. Задача вполне практическая. Фотосъемка достаточно сложное преобразование, относящееся к проективным.

Что это такое? Давайте немного разберемся (см. рис. 111).

При фотографировании происходит перенос каждой точки местности вдоль лучей по направлению к точке съемки. Прямая, конечно, переходит в прямую при таком проецировании. Но вот соотношения отрезков-расстояний становятся другими.

Ясно, что одной координаты для определения местоположения недостаточно. Фокус в том, что двух координат тоже недостаточно.

Рис. 111. Схема аэрофотосъемки. Два четырехугольника — это область, снимаемая на фотопленку (внизу), и границы кадра фотопленки (вверху). Эти две плоскости, как правило, не параллельны друг другу. Из-за этого искажаются соотношения расстояний между точечными объектами. Прямая внизу — охраняемая дорога, на которой расположены три КП (достаточно далеко друг от друга). Черный кружок указывает на место обнаружения подозрительного точечного объекта. Пунктирные линии изображают отраженные лучи света, исходящие от точечных объектов на дороге и фиксируемые на кадре пленки.

А вот три координаты — в самый раз. Потому что у этого преобразования — у проецирования — есть то, что математики называют «инвариант».

Если вкратце сказать, «о чём» математика, то она о том, чтобы выявлять инвариантность ситуации. То есть какие-то соотношения, которые остаются неизменными. Вот вы так измерили (расстояния между КП), так сфотографировали, этак сфотографировали — некоторое соотношение координат точек на всех снимках будет одно и тоже. Я сейчас просто напишу, что остается неизменным. На самом деле это можно строго доказать.

На всех фотографиях, для любых фотоаппаратов неизменным остается так называемое двойное отношение «ДвОт» четырех точек (три из них — координаты КП, четвертая — координата подозреваемого в шпионаже). Оно выражается формулой

Рис. 112. Рассчитали число «z», и под кустом с такой координатой выловили подозрительного гражданина.

Если не знаешь, ни за что но угадаешь! Это число, которое можно взять и посчитать. Оно будет одинаковым и для местности, и для фотографии. Поэтому я запрошу координаты трех КП, потом вычислю соотношение на фотографии (на которой отражены и положения КП, и расположение неизвестного объекта), приравняю его к выражению с реальными координатами и точно определю реальную координату искомого объекта (а именно, число z).

Врезка 9. Как агент ДвОт ловит шпионов.

Обозначим через х, у, t координаты ближайших КП, в районе которых был замечен шпион.

Но тогда надо ответить на два вопроса: где находится начало отсчета, и какая будет единица измерения длины? Ответ: ЭТО НЕ ИГРАЕТ РОЛИ. В самом деле, двойное отношение координат (ДвОт) не изменится, если от всех четырех координат отнять одно и то же число; оно не изменится также, если все координаты умножить на одно и то же число. Поглядите на формулу ДвОт (формула (5)), и вы сразу поймете, почему это происходит. Итак, давайте запросим координаты точек х, у, t, измеренные в километрах до ближайшей погранзаставы. Допустим, они равны 17, 23, 32 соответственно. А как же мы найдем ДвОт, если «z» нам неизвестно? А вот так:

А теперь внимательно изучим кадр аэрофотосъемки, где были зарегистрированы три КП и один Ш (шпион). Их координаты будем выражать в миллиметрах, а первое КП будем считать началом отсчета (для простоты). Обозначим эти четыре координаты за А, Б, С, Д (где, как мы решили, А = 0). Прочие (ненулевые) координаты мы просто измеряем с помощью миллиметровой линейки, приложенной к фотоснимку. Допустим, мы получили числа (0, 13 мм, 16 мм, 31 мм). Следовательно, мы можем найти ДвОт уже не в виде формулы, а в виде числа:

Приравнивая буквенное выражение ДвОт к его числовому выражению, получаем уравнение первой степени для нахождения «z»:

Отсюда получаем z ≈ 24,4 км.

После чего агент ДвОт сообщает начальнику погранзаставы, что подозрительного человека имеет смысл поискать на расстоянии 24 км и 400 м от заставы. Где он и был найден спящим под кустом, чтобы, дождавшись ночи, начать свою деятельность.

Свойства ДвОт станут понятнее, если рассмотреть следующий пример (рис. 113).

Здесь производится «одномерная» фотосъемка линии ORST из точки К на «линию кадра» OMNL. Конечно, в реальной ситуации будет не линия, а плоскость кадра, и лежать она будет значительно ближе к точке К. Но суть дальнейшего исследования можно изложить и на таком условном рисунке.

Рис. 113. Изображен прямоугольный равнобедренный треугольник КОТ. Длина катета равна 4 единицы. Из прямого угла опущена высота OL на гипотенузу. Из верхней вершины треугольника К проведены две пунктирные линии KR и KS, делящие основание на отрезочки длиной 1, 1 и 2 ед. Основание треугольника лежит на плоскости, которую фотографирует самолет (рис. 111), вершина К — местоположение самолета, а высота OL лежит в плоскости, в которой находится кадр фотопленки (вторая плоскость случайно может оказаться параллельной первой; но гораздо чаще этого не случается). Точки пересечения линий KR и KS с высотой OL обозначены за М и N соответственно. Длины отрезков ОМ, MN, NK равны 6а, 4а, 5а соответственно, где а = (2√2)/15 (для полноты картины!).

Прежде всего отметим, что если бы линия кадра была параллельна фотографируемой линии, то соотношение расстояний между точками O, R, S, Т и точками O, М, N, L было бы одинаковым (и равным 1 : 1 : 2), и никакого «двойного отношения» нам бы не понадобилось.

В случае же, когда параллельности плоскостей нет, произойдет искажение этого соотношения.

Вычислим, насколько сильным оно будет. Уравнения прямых KR, KS легко получить по формуле «уравнение в отрезках»:

x/1 + y/4 = 1 (KR) и x/2 + y/4 = 1 (KS).[27] Уравнение же высоты и того проще — оно имеет вид «у = x».

Поэтому мы легко находим координаты точек M, N: М(4/5, 4/5) и N(4/3, 4/3), а также обычное тройное отношение отрезков ОМ : MN : NL = 6 : 4 : 5 (а не 1 : 1 : 2, как было «на местности»). Можно теперь ввести координаты на прямой OL таким образом, что точка М получит координату 6, точка N координату 10, а точка L координату 15. При этом поменяется масштаб, но он на двойное отношение четырех точек влияния не оказывает.

Теперь мы убедимся, что «ДвОты» для точек О, R, S, Т и для точек О, М, N, L будут СОВПАДАТЬ, несмотря на то, что обычные отношения для них не совпали.