Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 29)

Человечество научилось красить плоскость в 7 цветов; ни в 6, ни в 5, ни в 4 оно красить плоскость не умеет и не знает, возможно ли такое.

Андрей Михайлович Райгородский, который очень любит эту проблему, считает, что возможно покрасить плоскость в 4 цвета. Но это пока никаким абсолютным доказательством, не подтверждено.

Рис. 107

Чтобы покрасить в 7 цветов, делается (рис. 107) 6-угольное замощение плоскости (шестиугольный паркет). Подбирается размер 6-угольника и предъявляется аккуратная раскраска.

С этой задачей связана еще одна проблема. Посмотрите на рис. 106 не как на схему соединения вершин «двойного веретена», а как на карту некоего 5-угольного острова, на котором расположились 9 различных государств (каждый связный кусочек, даже самый маленький, является государством). Стало быть, на географической карте этого острова каждое из государств надо было бы, по-хорошему, закрасить своим собственным цветом. Но государств на свете имеется ужасно много, а количество цветов, различаемое человеком, ограничено. Да и при изготовлении карты полиграфисты хотели бы иметь сильно ограниченный набор цветов (резко отличающихся друг от друга). Возникает чисто математический вопрос («проблема четырех красок»):

Можно ли любую карту на плоскости раскрасить в 4 цвета так, чтобы страны, имеющие общую границу ненулевой длины, были разных цветов? Или нужно 5 цветов? (То, что 3 цветов мало, довольно быстро показывается на примере.)

Вопрос: можно ли карту 5-угольного острова раскрасить 2; 3; 4 цветами? (см. рис. 106).

Проблема четырех красок решена в 1976 году. Путем длиннейшего компьютерного перебора, который увенчал длинное математическое рассуждение, было доказано, что четырех цветов хватает для любой карты на плоскости. Даже математическая часть была столь сложна, что всерьез взялись за ее проверку только через 10 лет. Несколько «дырок» нашли, но все они были успешно «залатаны».

Чтобы застраховаться от ошибки в компьютерной части, написали две полностью независимые программы — ни о какой ручной проверке речи быть уже не могло. Наконец, в 1990-х годах первая часть тоже была автоматизирована, а в 2000-х всё доказательство целиком было записано на формальном языке и верифицировано программой Coq (представьте себе, есть такая программа, которая верифицирует формальные доказательства!).

Следующий набор проблем связан с простыми числами и с делимостью.

Что такое простое число? Простое число — это такое целое положительное число, которое делится только на два числа: на себя и на единицу. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…

Еще Евклид знал, что простых чисел бесконечное количество. Но, тут есть одно «но». Заметили, что простые числа любят появляться парочками через один. Например, 11 и 13, или 41 и 43. Такие числа назвали «близнецами». (Числа 2 и 3 «близнецами» не называют, потому что это единственный случай, когда расстояние между соседними простыми числами равно единице — кстати, почему?) Нерешенная проблема заключается в том, что никто не знает, бесконечно ли множество простых «близнецов».

Если мы перебираем подряд простые числа, то то и дело встречаем пары близнецов. Так вот, никто не может доказать, что какая-то конкретная пара «близнецов» последняя, или что таких пар бесконечное количество.

С удалением от нуля простые числа встречаются всё реже и реже. В конце XIX века Адамар и Валле-Пуссен доказали закон распределения простых чисел. Согласно этому закону, у произвольного числа от 1 до n в районе большого натурального числа n шанс оказаться простым равен 1/ln n.

Функция «логарифм» постепенно растет, поэтому данная дробь постепенно убывает, стремясь к 0, то есть вероятность встретить простое число падает вплоть до нуля.

ПРИМЕР. Пусть n = 20. Тогда шанс встретить простое число среди первых 20 натуральных чисел равен 1/ln 20, что примерно равно 1/2,996 = 0,3338. Значит, ожидается, что среди первых 20 чисел простых будет 20 · 0,3338 = 6,676. На самом деле их ровно 8.

А вот простые «близнецы» встречаются не регулярно — более нерегулярно, чем сами простые числа. Разрыв между ними то маленький, то большой. Вопрос: стремится ли к нулю минимальный разрыв? В 2013 году было доказано, что нет.

Следующая проблема. Если вы перебираете четные числа, то их можно разбить на два слагаемых: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7. Всегда получается представить четное число в виде суммы двух простых:

22 = 11 + 11, 36 = 19 + 17, 66 = «напишите сами, какие», и так далее.

Пока все четные числа, которые смог проверить компьютер, удалось разложить в сумму двух простых. Гипотеза И. М. Виноградова состоит в том, что любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Виноградов доказал, что любое нечетное число можно представить в виде суммы 3 простых чисел. А вот про четные пока не могут доказать.

Совершенные числа

Сколько совершеннолетий в жизни человека? Многие думают, что одно — 18-летие. На самом деле совершеннолетий в жизни человека — два! Это «6-летие» и «28-летие». Потому что числа эти — «совершенные».

Что же такое совершенное число? Совершенное число — это число, которое равно сумме своих делителей, меньших, чем само это число. Какие делители у числа 6, считая единицу, но не считая его самого? 1…

Подсказка из аудитории: 1, 2, 3.

А.С.: Мы видим, что 1 + 2 + 3 = 6. Какие делители у числа 28? 1, 2, 4, 7, 14. Всё. И снова выполняется равенство такого же типа:

1 + 2 + 4 + 7+14 = 28.

В жизни человека ровно два совершенных возраста, потому что следующее совершенное число равно 496.

У математиков есть тост на совершеннолетие. Они, правда, празднуют 28, а не 18 лет. Тост всегда такой: «Чтоб тебе дожить до следующего совершеннолетия». Но вроде как никому еще не удавалось.

Так, а в чём же загадка? Априори совершенными числами могут быть как четные числа, так и нечетные. Более того, все четные уже описаны.

Над этим потрудились Евклид и Эйлер. Первый обратил внимание на следующую изящную формулу: 2^p-1(2^p − 1) (произносится она весьма своеобразно: «два в степени (пэ минус один) умножить на [(два в степени пэ) минус один]»). Буква «пэ» означает некоторое простое число. Первый множитель можно раздробить на самые мелкие из возможных множители (равные двум). А второй множитель хотелось бы взять таким, чтобы его вообще нельзя было раздробить, то есть в виде простого числа. (Я думаю, Евклид рассуждал именно так. Если когда-нибудь повстречаюсь с ним, непременно спрошу его об этом.) Вот и высказал Евклид такую гипотезу:

Если число (2^p-1) простое, то число 2^p-1(2^p−1) — совершенное.

И что вы думаете? Так оно и оказалось! А потом за дело взялся Эйлер и доказал теорему посложнее: любое четное совершенное число можно записать в таком виде. Чтобы вас немного «попугать», давайте проверим формулу Евклида при p = 13. Получается четное число 33550336. Странные цифры, правда? Кто не верит, что это число совершенное, проверьте.

А с нечетными не всё так хорошо. Когда я учился в матклассе, у нас были листочки с задачами. И вот на одном листочке была задача с тремя звездочками: «Докажите, что нечетных совершенных чисел не существует».

Я посидел дома денек, другой. Пришел в школу и говорю учителю: «Что-то… я не могу доказать, честно...» А он, мне в ответ: «А… Да, это никто не может доказать! Я на всякий случай дал. Вдруг кто-нибудь решит…»

Вот такая проблема! Существуют ли нечетные совершенные числа? Компьютеры пока перебирают варианты. Если компьютер найдет, то проблему снимут. А если не найдет, то надо доказывать, что их не существует. В конце этой темы я хочу задать задачу-шутку (а решение — не шутка): бывают ли совершенные числа, которые в десятичной системе записываются одними семерками?

Напоследок две решенные недавно задачи.

Возьмем много-много одинаковых шаров. Начнем приставлять их друг к другу с разных сторон (в пространстве).

Сколько одинаковых шаров можно приставить вплотную к одному шару такого же размера? Она называется задачей Ньютона. Ньютон очень долго переписывался с Д. Грегори. Ньютон был уверен, что можно приставить только 12 шаров, а Грегори утверждал, что 13. В результате доказали, что 13-й шар чуть-чуть не влезает. Ну, разумеется, возникает естественный вопрос, а в 4-мерном пространстве сколько шаров влезет? Задача решена в 2013 году нашим соотечественником О. Мусиным. Он еще жив и вполне себе в рабочем настроении. То есть в 4-мерном пространстве она решена, а в 5-мерном, кажется, еще нет.

А теперь, наконец, Гипотеза Пуанкаре.

Что мы знаем о нашем мире? Во-первых, что он 3-мерный. Во-вторых, у него нет края. Края в том смысле, в котором его воспринимает таракан, подползая к краю стола. Мир везде одинаковый. То есть таракан ползет по сфере или по бесконечной плоскости. А люди «ползают» по трехмерной сфере или по бесконечному пространству (а где именно — надо бы уточнить).

А еще наш мир ориентированный. То есть что бы вы ни делали в этом 3-мерном мире, ваша правая нога никогда не станет левой.

Исследования в области теоретической физики (так называемые уравнения космологии Фридмана и других ученых) не исключают того, что наш мир конечен. Можно даже представить себе, что сверхдалекие звезды, которые видны справа и слева от Земли — это одни и те же звезды. И, может быть, мы сможем увидеть на небе Землю, улетая от нее вертикально вверх, долго-долго летя и возвращаясь на эту же Землю с другой ее стороны! Это трудно себе представить, но такая гипотеза не противоречит современным научным данным.