Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 11)

Умножим все уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Умножим и правую, и левую часть. Справа будет 12. Слева будет: 10у − 15у + 6у. Отсюда

у = 12.

Чудеса, да? И никакого мошенничества!

Слушатель: Что-то тут есть от фокуса.

А.С.: Курс «Математика для гуманитариев» — это курс черной магии плюс ее разоблачение. В чем здесь фокус? Природа фокуса в том, что сократились все шестиугольники. Получается, они ни на что не влияют. Можно любое количество шестиугольников вклеить дополнительно в любой футбольный мяч, так как все х сокращаются[11]. А с «у» вы не можете сделать ничего, потому что сколько бы пятиугольников ни было у нас в запасе, их количество должно удовлетворять уравнению. А математики еще 3 тысячи лет назад научились решать линейные уравнения. У этих уравнений в нормальной ситуации всегда одно решение: у = 12 — единственное решение нашего уравнения. Поэтому сколько бы вас ни просили сшить футбольный мяч из 11 пятиугольников — не получится.

Слушатель: А если пятиугольников будет 24?

А.С.: Вы сошьете два футбольных мяча. Один не сошьется. Где-то будут торчащие, несшиваемые части.

Давайте теперь посмотрим на обычную бесконечную во все стороны плоскость. С одной стороны, это более простой объект, чем сфера, но, с другой стороны, она бесконечна во все стороны. Бесконечность — это такой краеугольный камень математики. И как с ней можно быть «на ты» — это очень важная тема. Кажется, плоскость, она и есть плоскость, посмотрел вокруг — везде плоскость. Но ведь она бесконечная… А как, кстати, можно понять, что земля не плоская?

В принципе, как я понимаю, то что древние люди считали Землю плоской — это сказки. Люди всегда знали, что она не плоская. Когда по морю идет корабль, сначала на горизонте появляются паруса. Как еще, кроме как искривлением, можно это объяснить?

Слушатель: Может быть, Земля не ровная именно в этом месте..

А.С.: От того, что ты видишь паруса, до понимания, что Земля может быть устроена как шар, уже, в общем, недалеко.

Люди, на самом деле, в прошлом совершали и более великие открытия. Знаете, когда в первый раз (по крайней мере, документально) была высказана идея о конечности скорости света? В 1676 году датский астроном Тихо Браге стал наблюдать затмения спутников Юпитера. И заметил странности в их периодичности: то затмения наступали позже прогнозируемого момента, то раньше. Тогда он предложил совершенно невероятное объяснение. Он предположил, что такое могло бы быть, если бы скорость света была конечна. Так как Земля и Юпитер то приближаются друг к другу, то отдаляются, мы видим объект, который ближе, раньше, чем тот, который находится дальше. За счет этого и возникает неполная периодичность в затмениях. Но тогда нужно было признать, что значение этой скорости настолько велико, что оно превосходит всякое наше воображение. И Браге оценил его как 225 тысяч километров в секунду. Он назвал величину, которая равна 75% от верного значения. Но тогда ученый мир был еще не готов к таким смелым идеям, и к этому предположению отнеслись с большим сомнением.

Или другая история.

У вас в сумке, наверное, живет зарядка от телефона или наушники. В каком они будут состоянии? Обычно получается страшный запутанный провод.

Вопрос: можно ли его как-то распутать, если вы еще и концы провода свяжете, чтобы он стал замкнутым, как окружность? Чтобы он стал после этого распутывания нормальной, идеальной окружностью?

Слушатель: Нельзя.

А.С.: Иногда можно, иногда нельзя. Это — задача из теории узлов. Какие-то виды узлов можно распутать, какие-то нельзя. Сейчас я расскажу историю, которая может оказаться неправдой. Я слышал ее на лекции примерно 13 лет назад. Знаменитая проблема узлов, топологических типов узлов, встала в первый раз на корабле пирата Дрейка в конце XVI века. Один из матросов этого корабля тоже занимался узлами. Он завязывал много разных морских узлов и заметил, что некоторые из них — по сути один и тот же узел. Надо просто в одном месте потянуть, в другом приспустить шнур, и из первого узла получится второй (имеется в виду, что при этом концы узла должны оставаться связанными). Такие узлы называются «эквивалентными». И пирату в голову пришла идея классифицировать все виды узлов. Какие друг в друга переводятся без разрезания, а какие нет. Ему это не удалось, в чем, якобы, он честно признался.

Прошло 400 лет. И только совсем недавно был сделан большой прорыв в решении задачи об узлах. Сделали его отечественные математики Максим Концевич, Виктор Васильев и Михаил Гусаров.

Идея решения в том, что берут два узла, пишут для них некоторые математические выражения, и если они разные, то и узлы тоже разные.

Вернемся к плоскости. «Простой» вопрос: какими многоугольниками можно замостить плоскость?

Что значит «замостить многоугольниками»? Я имею в виду следующее. Вы заходите в магазин и выбираете себе паркет. Понравившийся вам паркет состоит из одинаковых дощечек такой формы (рис. 42):

Кто-то в страшном сне придумал такую форму. И таких дощечек у вас немыслимое количество. Вопрос: «Можно ли собрать из них паркет? Или они при сборке входят в противоречие сами с собой?»

Рис. 42. Замысловатая паркетная плитка.

Слушатель: Ну, скорее всего, центр еще получится, а вот по краям комнаты будут проблемы.

А.С.: Вы, наверное, уже видите, что не всякими плитками можно замостить плоскость.

Но доказать, что какой-то конкретной плиткой нельзя замостить — довольно сложная задача. На самом деле, до сих пор не классифицированы даже все виды пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Найдено несколько пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, но неизвестно, есть ли другие. Открытая проблема[12]. Но тем не менее методами Леонарда Эйлера можно доказать следующую теорему.

Теорема. Не существует ни одного выпуклого 7-угольника, которым можно замостить плоскость. Более того, восьми-, девяти-, десяти- и т. д. угольника тоже не существует.

А что такое «выпуклый»? Выпуклая фигура это такая фигура, у которой, если вы выбрали любые две ее точки, то весь отрезок между ними лежит внутри этой фигуры, не выходит за ее пределы.

Рис. 43. Слева — невыпуклая фигура, справа — выпуклая.

Выпуклость — одно из фундаментальных понятий математики. Такое простое определение, а на нём построена огромная сложнейшая теория с зубодробительными теоремами.

Почему же теорема требует выпуклости? Представьте себе царскую корону (рис. 44). Паркетина такой формы хотя и является 7-угольником, но он не выпуклый. Ниже мы увидим, что такими паркетинами МОЖНО замостить плоскость. Значит, если не требовать выпуклости, доказать указанную выше теорему нельзя — она просто неверна. Нельзя огульно утверждать, что паркетов из 7-угольников не бывает. Не бывает только из выпуклых.

Рис. 44. До царской короны страшно даже пальцем дотронуться!

Сколько углов? Семь. Однако такой плиткой можно без проблем замостить плоскость.

Переворачиваем фигурку и вставляем корону в корону, а потом еще раз, два… (см. рис. 45).

Рис. 45.… и получилась страшная зубастая пасть! Продолжаем ее до бесконечности вправо и влево.

Слушатель: А в конце как?

А.С.: До бесконечности. Мы же говорим о бесконечной плоскости. Полосу сделать у нас получилось… (бесконечную в обе стороны). Ну, а если можно полосу, то мы ее размножаем неограниченно вниз и вверх, и всё. Мы «запаркетили» всю плоскость. А теперь я нарисую выпуклый семиугольник (рис. 46).

Рис. 46. А вот этим нельзя замостить плоскость!

Априори совершенно не понятно, почему им нельзя замостить плоскость? Почему это так? Почему никакого семиугольника нельзя предложить в качестве дощечки для паркета? Если Ваша невеста просит Вас: «Милый, я так хочу выпуклый семиугольный паркет в нашу ванну!», — то это вариант «вежливого посыла» — ибо такого быть не может. Сейчас мы докажем эту теорему. И в этом доказательстве у нас в первый раз возникнет бесконечность «во весь рост». Как доказываются теоремы не существования чего-то? Какой прием доказательства таких теорем?..

Слушатель: От противного?

А.С.: Точно. Предположим, что существует выпуклый семиугольник, которым можно замостить плоскость. Не знаю какой, но какой-то есть. Предположим и приведем это предположение к противоречию. Итак, посмотрим на плоскость, которая замощена этими семиугольниками. Посмотрим на нее в «перевернутый бинокль» и увидим часть плоскости, как будто очень большую квартиру (см. рис. 47).

Я предупреждаю, такими доказательствами гоняют на ночь чертей. Приготовьтесь.

Начнем с того, что попробуем посчитать, сколько в квартире многоугольников. Давайте исходить из того, что наш семиугольник имеет длину 1 метр, а размер квартиры примерно 1 км.

Рис. 47. «Чертогон» в самом разгаре. Для справок можно почитать рассказ Н. С. Лескова с таким же названием.

На самом деле, но важно, какого что размера. Важно, чтобы вторая величина была неизмеримо больше, чем первая.

В данном случае «длина» семиугольника в 1000 раз меньше «длины» квартиры.

Слушатель: Что мы считаем длиной 7-угольника или квартиры?

А.С.: Например, самую большую диагональ. Это не очень важно. Тут математика немножко напоминает физику. Нужно несущественные детали не замечать, а на существенные обращать внимание. Когда у физика есть ниточка, она обычно имеет толщину ноль. На самом деле у нее, конечно, есть толщина, но физикам она не важна. Вот и нам не важно. Возьмем какое-то измерение семиугольника (например, любую из его сторон или любую диагональ). Ведь все эти измерения НАМНОГО МЕНЬШЕ, чем «длина квартиры» — что бы мы ни понимали под этой длиной. На полу квартиры в нормальной ситуации помещается очень много паркетин. Форма пола квартиры тоже неважна, поэтому будем считать его кругом радиуса R (где R может быть как угодно велико).