Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 10)

Можно порекомендовать слушателям купить свежеиспеченный бублик с маком и, прежде чем его съесть, внимательно осмотреть и понять, как именно проходят по его поверхности ребра данной триангуляции. Но специалист-тополог может представить себе эту триангуляцию даже с закрытыми глазами!

Проверьте, возьмите любую ненужную велосипедную камеру, разрежьте и попытайтесь развернуть. Сохранится тот факт, что грань выглядит как квадрат или как круг, то есть она, как говорят математики, топологически тривиальна. Она выглядит почти как обычная плоская фигура. А вот если мы снимем ребро (т. е. сотрем его с поверхности тора) и потом разрежем по оставшемуся ребру, у нас возникнет нетривиальная фигура в виде кольца. (Кстати, слово «тривиальный» восходит к слову «тривиум», обозначающему начальный уровень образования в средневековых университетах.)

Колечко на плоскости (рис. 38) не является топологически тривиальным, у него внутри дырка. Получается, что нам запрещено убирать это ребро, потому что мы изменим тривиальный объект на нетривиальный. Математика прошла долгий путь, прежде чем смогла понять, чем формально квадрат отличается от кольца.

Рис. 38. Ребро, охватывающее «дырку от бублика», стерли. Вдоль оставшегося ребра разрезали. Полученную трубку разогнули. Сильно увеличив радиус одного из концов трубки и прижав ее к плоскости, получили из нее кольцо. (Можно стереть вместо этого другое ребро: убедитесь в том, что получится то же самое, даже наглядно проще!)

Но если мы примем к сведению этот путь, то сможем воспользоваться его результатами. Сможем сказать, что можно снимать ребро тогда и только тогда, когда объект, который возникает, будет топологически тривиален, то есть будет похож на квадрат по своей топологической структуре. Именно поэтому я не имею права стирать на торе ребро.

Итак, чему равно В − Р + Г для нашей картинки (рис. 38)? Сколько у нас вершин?

Слушатели: Одна.

А.С.: Граней?

Слушатель: 4?

А.С.: Нет, одна грань. Эта одна и та же грань. Посмотрите, из любой точки грани я могу пройти в любую другую, не пересекая рёбра. А это значит, что грань одна.

На торе сейчас всего одна грань, одна вершинка и два ребра. Поэтому В − Р + Г = 0.

И всегда для тора будет ноль.

А к чему я приду на сфере, когда сниму все возможные ребра и вершины? Какой объект получится? (То есть мы не хотим останавливаться на сети в виде двух граней, охватывающих сферу сверху и снизу, как выше, а хотим сделать ее еще проще.) Я утверждаю, что в итоге останется просто голая сфера с одной вершиной. Все ребра будут сняты.

Слушатель: И как получится два?

А.С.: Вот как. У вас одна вершина, одна грань и ноль ребер. 1− 0 + 1 = 2 (см. рис. 39).

Рис. 39

Почему я не могу снять и точку тоже? Потому что, если я ее сниму, останется сфера, которая топологически не похожа на квадрат. А вот, если я сферу проколол… Что происходит с камерой мяча, который проткнули иголкой? Он сдувается и превращается (если сильно увеличить место прокола и наложить на плоскость) в лоскут — в плоскую фигуру. Сфера отличается от плоского куска только одной точкой. Очень хорошо это понимают грузины, буряты и тувинцы. Они делают большие пельмени (хинкали, позы и буузы).

Рис. 40. Сфера зажата между двумя круглыми гранями (передняя, малая и задняя, большая). Их разделяет n-угольник (в нём, как было сказано выше, n ребер и n вершин). Странно только, что n = 1. Как это понимать, обсуждается в лекции.

Как их делают? Берут кусок теста, поднимают за края, слепляют, и получается сфера. Так что в топологии можно сказать, что сфера отличается от круга всего одной точечкой. Отсюда и возникает одна точка и ноль ребер.

Давайте к одной вершине добавим одно ребро (рис. 40). Что изменилось? Добавилось одно ребро и одна грань. То есть у нас одна вершина, одно ребро и две грани. Странно смотрится замкнутое ребро на рис. 40? Давайте тогда поставим еще одну вершину (рис. 41).

Рис. 41. Случай n = 2 (назовем это «два двуугольника»).

Итак: 2 вершины, 2 ребра, 2 грани: 2 – 2 + 2 = 2.

Не бывает двугранников? Да еще образованных двумя «двуугольниками»? Хорошо. Чтоб не было сомнений, добавим еще две вершинки. Получится квадрат на сфере, то есть n = 4.

4 вершины, 4 ребра, 2 грани: 4 – 4 + 2 = 2. Упорно получается значение «2».

Можно остановиться в любой момент, посчитать количество вершин, ребер и граней. Но вы должны понимать, что всегда можно привести к ситуации, в которой останется одна вершина. Поэтому у любой картинки на сфере эйлерова характеристика равна двум, ибо эту картинку можно свести к простейшему случаю «одна вершина, одна грань, ноль ребер».

Мы получаем противоречие. На торе всегда ноль, а на сфере — два. Но 2 не равно 0. Значит, это разные топологические фигуры, что, впрочем, каждый из вас и так знал. Но вопрос не в том, чтобы доказать очевидный факт, а в том, чтобы наработать язык, который поможет нам этот факт заметить в других пространствах. В частности, в пространстве большего числа измерений. А в большем числе измерений верно в точности то же самое, только появляется то, что называется «трехмерные грани». И получается следующее выражение:

В − Р + Г − Т.

Здесь Т — количество трехмерных граней. Так выглядит эйлерова характеристика для четырехмерного пространства, в котором лежит трёхмерный объект. В общем случае у формулы тот же вид В − Р + Г − Т +… и так далее, в n-мерном пространстве, которое довольно сложно представить. Если изучить, что происходит при стирании вершины, ребра, грани, трехмерной грани, будет обнаруживаться, что значение нашего выражения не изменится. Вот основываясь на примерно таких вещах, но гораздо более сложных, была установлена справедливость гипотезы Пуанкаре.

В 2002 году, когда доказали гипотезу Пуанкаре, газета «Известия» напечатала о ней статью. Помнится, в СССР было 2 основных газеты: «Правда» и «Известия». И все знали, раз написано в газете «Известия», значит факт. Но в 2002 году «Известия» отступили от этого замечательного правила, написав математическую формулировку гипотезы Пуанкаре в таком виде, в котором она являла собой полную чушь. Они не удосужились позвонить ни одному грамотному математику и очень сильно опозорились (впрочем, мало перед кем).

А теперь — обещанное в первой лекции доказательство того, что в футбольном мяче ровно 12 пятиугольных лоскутков.

Рисуем на сфере картину футбольного мяча. Он должен состоять из шестиугольных и пятиугольных лоскутков. В любой вершине должны сходиться ровно 3 ребра. В остальном он может быть совершенно произвольным.

Давайте обозначим за x — число шестиугольников, за у — число пятиугольников.

Сколько тогда граней у нашего многогранника, нарисованного на сфере, то есть на футбольном мяче?

Слушатель: Граней?

А.С.: Да.

Слушатель: х + у.

А.С.: Правильно. Ровно столько, сколько в сумме количеств шести- и пятиугольников.

Г = х + у

(Г — количество граней).

Чему равно количество вершин и чему равно количество ребер? Посчитаем наивно. Сколько вершин у шестиугольника?

Слушатели: 6.

А.С.: 6. Всего х шестиугольников. Значит, у всех шестиугольников вершин…

Слушатель: 6x.

А.С.: А у пятиугольников?

Слушатель: 5у.

А.С.: Значит, пишем 6x + 5у, но это не совсем то, что надо.

Обозначим поэтому не «В», а «М»,

М = 6x + 5у.

А.С.: Почему это не то, что надо?

Слушатели: Потому что вершины совпадают.

А.С.: Если мы разрежем мяч на лоскутки или, наоборот, не начнем сшивать, то сколько будет вершин у всех лежащих на столе лоскутков? Именно столько, 6x + 5у. А когда мы сошьем, некоторые вершины совпадут. Что надо сделать с этим числом, чтобы получить правильное число вершин?

Слушатель: Разделить на 3.

А.С.: Да. Правильно, потому что ровно — не больше не меньше, а ровно — 3 разных грани сходятся в каждой вершине:

Сколько ребер? Первый вопрос: сколько ребер до того, как мы сшивали? Столько же, сколько было до сшивания вершин:

М = 6x + 5у.

У любого многоугольника вершин и ребер одинаковое количество. А на что делить?

Слушатели: На 2:

Каждое ребро мы считали ровно два раза.

Теперь мы воспользуемся формулой Эйлера. Формула Эйлера утверждает, что В − Р + Г = 2. Подставим в нее выражения через «x» и «у»:

Цель этой формулы — доказать, что у = 12. Давайте решать.

6x : 3 = 2x,

6x : 2 = Зx,

2x − Зx + x = 0.

Иксы ушли. Осталось уравнение относительно «у»:

(5y)/3 − (5y)/2 + y = 2.