Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 178)

«обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики» (377),

а не замирать, по Фангу, в безмолвном ужасе перед сфинксом

«единой и неделимой и, в конечном итоге, непостижимой тотальности»

математики или же вместо одной крайности – излишней «арифметизации» впадать в другую – в крайность «геометризма»[113].

Науки о бытии или сущности числа можно представить, согласно Лосеву, в виде диалектической триады:

· арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях,

· дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях в скалярной форме,

· векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном.

Здесь второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики», также следует считать утраченными. Однако достаточно определенный анализ, касающийся диалектической сущности, например, дифференциала и интеграла также отыскивается в книге «Музыка как предмет логики». Утрату содержательной части второго раздела отчасти восполняет сохранившаяся работа Лосева «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно-малых», ныне опубликованная.

Внутри первой сферы интенсивного числа Лосев выделяет очередную триадическую структуру:

· арифметика как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе,

· алгебра как учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии, о числе функционально выраженном,

· алгебраический анализ (теории форм, инвариантов и др.) как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении.

Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики», степень детализации построений лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце обширного тома. Все дальнейшее кануло в Лету. А нам осталось предпринять еще одно посещение мира числовых триад, нам остается назвать и последние структуры в лосевском описании.

Внутри арифметики, согласно общей диалектической схеме Лосева, следует различать:

· натуральный ряд как бытие сущности числа, как акт ее полагания;

· типы чисел (отрицательные, рациональные, мнимые и др.) как инобытие чисел натурального ряда;

· действия с числами как становление сущности числа, типы числовых комплексов в разнообразных направлениях и комбинациях счета.

Сохранившийся текст «Диалектических основ математики» заканчивается как раз на материалах третьего из названных разделов. По части арифметики, можно считать, автор вполне реализовал свой план.

На полученную последовательность – анфиладную последовательность одна в другую врастающих триад – еще нужно наложить объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получилась полной: ведь вся математика, показывает и доказывает Лосев, есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа. Число как первая категория, первая «осмысленная, оформленная положенность, категориально оформленная положенность» (105), как «слепительное», напомним, «Да» составляет саму основу математических объектов. Всё есть число. Остается только оговорить: ту перво-категорию, тот «акт полагания подвижного покоя самотождественного различия», что пронизывает, по Лосеву, любые закоулки математики, не обязательно называть именно «числом». Действительно, в угоду пуританской строгости можно окрестить названную фундаментальную логико-диалектическую конструкцию каким-либо специальным образом, к примеру назвать ее по случаю и в честь Лосева «L-выражением» (впрочем, «выражение» – это еще слишком лосевский термин) или «L-кортежем»[114]. Далее придется поступить так, как уже приходилось действовать в области математической логики, т.е. в области формальной, нелосевской метаматематики, причем именно в 30-х годах. А именно, там вместо интуитивно ясного, но строго не определенного понятия «вычислимой функции» принялись тщательно изучать свойства так называемых общерекурсивных функций, определяемых уже алгоритмически точно. Следующим шагом было показано, что у вновь введенного формализма достаточно изобразительной мощи, чтобы заместить собой исконно расплывчатое понятие «вычислимости». Наконец, между классами содержательных и формальных функций была провозглашена эквивалентность (в форме «тезиса Черча»), – именно провозглашена, а не доказана, поскольку именно доказательство эквивалентности невозможно ввиду принципиальной несводимости, принципиально различной природы сравниваемого. Желающим увековечить свое имя в новом «тезисе» можно предложить аналогичную проверку для числа и L-кортежа. Впрочем, изучая «Диалектические основы математики», нетрудно убедиться, что Лосев сам положил много усилий для демонстрации справедливости подобного «тезиса» и повсеместно обнаруживал, как математический материал «с огромной точностью воспроизводит» логико-диалектические прообразы (286).

Оценивая теперь лосевский проект метаматематики и оценивая предложенный философом неблизкий путь от максимально общих принципов «философии числа» до мельчайших фактов самой частной (и самой первой) из математических наук, арифметики, мы можем, наконец, судить и о замысле – он масштабен, и о степени его воплощения – при многих потерях и необходимых оговорках, всё самое трудное свершено, всё самое главное было сформулировано и предано бумаге. Обозревая труды, в невольном одиночестве исполненные Лосевым, можно с оптимизмом предположить, что «задача философского обоснования математики» если и не разрешена единолично им, то вполне может быть разрешима коллективными усилиями на путях, проложенных лосевской метаматематикой, а саму диалектику как основное орудие этой метаматематики уже теперь

«можно считать… настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти»

– и, как мы теперь знаем, успешно вошла –

«в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа» (414).

6.

Вместо заключения

Итак, определенный период творческой биографии Лосева, пройденный, по его собственной квалификации, под знаком ярко выраженного «отвлеченно-диалектического эроса», вполне закономерно завершился систематическими логико-математическими исследованиями. Как бы ни относиться к некоторым лосевским сочинениям, «гипертрофированным в смысле логики и диалектики» (В.М. Лосева), к этому всеохватному «унифицированному строительству из диалектических блоков» (С.С. Хоружий), ясно и достоверно следующее: тот давний и мощный творческий эрос, в конечном итоге породивший «Диалектические основы математики», позволил Лосеву занять достойное место в ряду немногих подлинных мыслителей, для которых постижение интегрального целого, обретение Логоса в Хаосе было превыше всего. До Лосева в этот ряд входили и входят преимущественно естествоиспытатели – отечественные созидатели систем, прежде всего Д.И. Менделеев, Е.С. Федоров, В.И. Вернадский, Н.И. Вавилов, А.А. Любищев, среди современных исследователей – Г.М. Идлис, Ю.А. Урманцев, Ю.И. Кулаков. Последний из названных, вспоминая предысторию созданной им теории физических структур, высоко оценивал совет своего учителя И.Е. Тамма, выдающегося физика-теоретика: в поисках «единого универсального языка» природы нужно вооружаться примером «прежде всего русских философов», которые

«о многом догадывались, хотя не могли сформулировать свою идею всеединства»

достаточно строго[115]. Пример Лосева показывает, что русская философия оказалась способна не только «о многом догадываться», но и «многое сформулировать».

КОММЕНТАРИИ

Работа А.Ф. Лосева над книгой «Диалектические основы математики» проходила в 1930-е годы. Началом ее можно считать заметку-эссе «О форме бесконечности», которая в дальнейшем целиком вошла в § 98 книги. Рукопись заметки точно датирована: начало работы – 31 июля 1932 г., окончание – 2 августа 1932 г.; даты соответствуют времени пребывания А.Ф. Лосева в Белбалтлаге (лагерь на ст. Медвежья Гора на берегу Онежского озера) примерно за год до освобождения из заключения. Уже на следующий день, 3 августа 1932 г., Лосев приступил к написанию текста под названием «Диалектика основных арифметических действий» (окончен 7 августа), в дальнейшем, практически без изменений, составившего §§ 115 – 118 книги. Вероятно, книга в целом (по крайней мере, в том объеме, который известен нам к настоящему времени) была закончена осенью 1935 г., о чем косвенно свидетельствует тот факт, что окончательное подробное оглавление книги (рукопись) сохранилась в архиве автора в виде блока, завернутого в газету «Правда» от 9 октября 1935 г. Подписанное В.М. Лосевой «Предисловие» к книге датировано 29 января 1936 г.

Общий замысел автора по философскому исследованию основ математики в некоторой мере отражает следующий план, сохранившийся в архиве А.Ф. Лосева среди бумаг, относящихся к книге (публикация А.А. Тахо-Годи, подготовка к публикации В.П. Троицкого; рукопись не датирована).

ВВЕДЕНИЕ

I. Общая теория числа

· I. Отграничения