Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 165)

Если теперь обратиться к линейному преобразованию и обычным порядком составить квадратную таблицу коэффициентов той системы уравнений, которой определяется преобразование (называя ее матрицей преобразования), то окажется, что сумма квадратов элементов каждой строки и столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк или разных столбцов равна нулю. Пусть у нас матрица третьего порядка, и пусть ее элементы суть косинусы углов, образованных новыми осями со старыми. Тогда соответственно мы получаем некоторый инвариант при координатных преобразованиях. Допустим, что координаты неподвижны, а движется само пространство как целое. Тогда это преобразование будет определяться все теми же тремя уравнениями и соответствующим определителем (+1). Определитель (–1) будет указывать не только на движение, но и на симметрию относительно начала. Очень важна тут еще и такая теорема: если от переменных x к переменным x′ переходим [с] помощью линейного преобразования с матрицей a и далее к x′′ с матрицей b, то x′′ можно и прямо получить из x при помощи линейного преобразования с матрицей ba. Как видим, параллелизм между линейными преобразованиями и матрицами идет очень далеко.

Можно показать, что если под инвариантом понимать только рациональные функции координат и коэффициентов (при однородности тех и других), то в этих функциях всегда будет общий множитель, зависящий только от коэффициентов подстановки и всегда являющийся той или другой степенью определителя подстановки. Такие инварианты, как известно, называются относительными, а показатель упомянутой степени носит название веса инварианта. Задаваясь вопросом о нахождении всех таких инвариантов, мы опять сталкиваемся с детерминантами. Пусть, напр., на плоскости имеется несколько точек. Оказывается, что простейшие инварианты в этом случае можно получить при помощи детерминантов второго порядка, составленных из заданных координат этих точек. Эти детерминанты дают и полную систему инвариантов.

Обладая двумя точками на плоскости: 1, 2, мы получаем основной инвариант в виде двойной площади треугольника с точками 0, 1, 2. А площадь треугольника и есть половина детерминанта, составленного соответствующим образом из координат этих точек. Беря большее число точек и разыскивая полную систему аффинных инвариантов, мы найдем, что она состоит из всех их детерминантов. Если остановиться на проективном преобразовании (дробно-линейные подстановки) и ограничиться, напр., опять двумя переменными, т.е. плоскостью, то при абсциссе на прямой x = ξ/τ и p парах этих переменных детерминант

Δ_ik = |ξ_ik τ_ik| (i, k = 1, … p)

явится тоже полной системой основных инвариантов. Но так как числовое значение Δ_ik, тут отпадает, то проективное значение остается за Δ_ik = 0. А это значит, что i и k совпадают, каковое совпадение точек мы уже выше отметили как вытекающее из их линейной зависимости.

Даже различие трех основных геометрий (ср. выше, § 71) совсем не обходится без детерминантов. Имея в виду квадратичную форму

α² + β² + γ² – εδ²,

которая при ε = 0 характеризует Эвклидову геометрию, при ε > 0 – геометрию Лобачевского, а при ε < 0 – Риманову, мы находим, что детерминант этой формы для неэвклидовой геометрии

Δ = |1 1 1 1| = –ε,

вообще говоря, отличен от нуля; он либо положительный, либо отрицательный.

Отметим еще, что ранг матрицы точек оказывается тоже инвариантом по отношению к линейным преобразованиям. Также и ранг матрицы линейных полиномов по отношению к их линейным преобразованиям. И вообще алгебра дает большой материал для связывания матриц с инвариантами преобразований.

b) Этих примеров достаточно, чтобы иллюстрировать глубочайшую связь детерминантов-матриц с инвариантами. Известный английский математик, много потрудившийся в этой области, называл инварианты прямо «гипердетерминантами», и только Сильвестр стал называть их теперешним именем. Ф. Клейн же утверждает, что теория детерминантов вообще есть основа для теории инвариантов. Эта интимная связь обеих ветвей математики объяснена у нас диалектически как результат одинакового категориального происхождения того и другого. И детерминант-матрица, и инвариант возникли на почве одной и той же категории ставшей сущности числа, поскольку и то и другое предполагает совокупное полагание неизменно количественных и изменяющихся фактических сторон числа в один внутренно измененный факт количества, в комбинированное ставшее, или в числовую систему как в такую.

Матрица заканчивает собою развитие обще-арифметической категории ставшего. Это ставшее, или наличное, бытие всегда является дробимым единством, координированной раздробленностью, так как оно всегда только фиксирует и делает устойчивыми этапы, пройденные становлением при всей прихотливости направлений этого последнего. Поэтому система чисел есть самая первая и необходимая характеристика арифметически ставшей сущности числа. Речь может идти тут, стало быть, только о разных принципах этой системы, но сама системность, сама скомбинированность чисел всегда остается в арифметике для категории ставшего безусловно необходимой. Но матрица есть не просто система чисел. Это такая система, которая дана именно как система (а не как, напр., одно число, или какое-нибудь отношение чисел, или закон системы). Но как раз это обстоятельство и свидетельствует о том, что мы здесь уже у границы всей той арифметической области, которая определена категорией ставшего. Когда подобный принцип выявляет себя не частично и раздельно, но себя как именно себя, т.е. целиком и полностью, это значит, что уже исчерпана та область, которая была определена этим принципом. И, следовательно, продолжая нагнетать тот же принцип в прежнем направлении, мы наталкиваемся на «критическую точку», на диалектический «узел», который изменит наше диалектическое движение на обратное и заставит покинуть категорию матрицы и вместе с тем вообще категорию ставшей сущности числа.

В самом деле, пусть мы захотим, чтобы понятие системы чисел, к которому мы пришли вместе с категорией ставшего, возымело еще большее значение. Она и без того проявила себя как именно себя. Но пусть мы захотели, чтобы она проявила себя еще больше. Что это могло бы значить? Это может значить только то, что она будет проявлять себя не просто как себя, но уже проявлять иное как себя, или себя как иное, ибо кроме источника проявления есть только то, что именно не есть самый источник, т.е. иное, чем источник. Итак, мы хотим теперь, чтобы система чисел проявляла себя как систему чисел в ином, чтобы она определяла не себя как систему, а иное как систему чисел. Но тогда получится, что мы получим несколько разных систем чисел, управляемых одним законом, получим целый ряд рядов, целый ряд классов чисел, управляемый единым законом. Закон этот мы уже не будем называть «отношением чисел», как мы поступали в пределах категории ставшей сущности. Закон этот есть то, что со времен Гаусса носит название композиции, охватывая собою несколько тонких и достаточно глубоко разработанных математических дисциплин.

V.

УЧЕНИЕ О КОМПОЗИЦИЯХ

(ВЫРАЖЕННАЯ СУЩНОСТЬ ЧИСЛА)

§ 123.

Общая ориентация

Поскольку учение о композициях есть заключительный отдел арифметики, выявляющий наиболее зрелые в диалектическом смысле формы числа, а именно выразительные формы, постольку надо особенно тщательно усвоить себе понятие композиции, связывая его по возможности в единое целое со всей арифметикой вообще.

a) Арифметика вся вырастает на перво-принципе, который у нас носит название единицы. В чистом виде единица вполне аналогична точке, не имеющей ни одного измерения, т.е. она в себе нерасчленима, хотя и является принципом различимости. Ее многосложная диалектическая судьба сводится к ряду погружений в инобытие и ряду новых возникновений из него – в обновленном виде. Погрузившись впервые в такое инобытие и натолкнувшись там на абсолютное препятствие (а таковым является для нее она же сама, поскольку она хочет в этом инобытии осуществиться, т.е. найти себя же саму), она отскакивает от инобытия к себе самой и превращается в новый тип числа, который поэтому в сравнении с натуральным рядом уже содержит в себе два смысловых слоя. А этот тип числа, устремившись в свое собственное инобытие и тем самым развернувши себя в арифметическое действие, снова наскакивает в этом инобытии на самого себя (по той же причине) и, отскакивая от него, т.е. от себя в инобытии, вновь возвращается к себе, содержа отныне в себе уже не два, а три смысловых слоя.

Первые два смысловых слоя были само число натурального ряда и многообразная скомбинированность его из единиц этого ряда. Три смысловых слоя, образовавшиеся в ставшей сущности, суть указанные два плюс их осуществленность в новом инобытии, в результате чего первые два становятся в определенное отношение к третьему слою, т.е. в результате чего образуется некое отношение, которое является законом построения целой комбинации чисел (напр., ряда). Разные диалектические ступени внутри этой ставшей сущности постепенно и все более и более конкретно осуществляют это отношение чисел на этой комбинации чисел.