В этом же ряду особенностей матричного исчисления необходимо отметить то, что произведение матриц может обращаться в нуль (матрица равна нулю, когда все ее элементы равны нулю) даже в том случае, когда матрицы-сомножители и не суть нули. Напр., при любых a и b
Это обстоятельство вполне аналогично комплексной области, относительно которой Вейерштрасс доказал даже следующую теорему: при обычных законах сложения и умножения, когда, кроме того, нуль есть единственный делитель нуля, комплексных чисел с тремя единицами не существует (так как они сводятся или к вещественным числам, или к комплексным типа a + bi). По этой теореме, стало быть, выходит, что если вообще существует комплексное число больше, чем с двумя единицами, то тут при коммутативности умножения существуют делители нуля, отличные от нуля, т.е. деление тут неоднозначно, Фробениус и Пирс расширили теорему Вейерштрасса в том смысле, что доказали единственность гиперкомплексной системы при некоммутативности умножения, но с однозначностью деления; эта система – кватернионы с вещественными коэффициентами. Стало быть, только числа типа a + bi, строго говоря, могут считаться допустимыми в арифметике, если не придавать ей матричного расширения. Однако матрицы при всей их важности для разных отделов математики и естествознания и связанности с ними и по своей структуре (таковы, напр., функциональные матрицы) все же коренятся в арифметике как в сфере, вообще говоря, непосредственной значимости чисел.
b) Матрицу можно понимать как совокупность детерминантов. Имея квадратную матрицу с n2 элементами, можно получить один детерминант n-го порядка и известное количество детерминантов низшего порядка, которое легко вычисляется, если принять во внимание, что число детерминантов 1-го порядка равно n2 (или mn, если матрица прямоугольная), число детерминантов 2-го порядка равняется квадрату числа сочетаний из m по 2 и т.д. Матрица имеет свой ранг. Матрица считается ранга r, если в ней есть по крайней мере один отличный от нуля детерминант, в то время как прочие детерминанты в ней высшего порядка все равны нулю. Всякая матрица ранга r есть сумма r матриц ранга 1. Таково формальное отличие матрицы от детерминанта, становящееся внутренно понятным только с указанным привлечением «векторного» представления.
Но особенно важно для понимания матрицы и детерминанта еще одно обстоятельство, играющее большую роль в математической практике.
a) Именно, общая категориальная основа изучаемой области арифметики определяет собою одну особенность, на которую мы не указывали и которая получит свое настоящее значение в алгебре. Дело в том, что ставшее, полагая твердые границы для становления, впервые реально осуществляет диалектику постоянства, неизменности. Когда мы имеем дело с числом как таковым (натуральные числа, разные типы числа), мы хотя и имеем перед собой нечто устойчивое, но эта устойчивость тут еще не положена диалектически; она существует в числе вместе со всеми другими категориями. Также и в отношении арифметических действий нужно сказать, что хотя они и существуют благодаря становлению, т.е. благодаря некоторого рода движению, действию, изменяемости, но сама изменяемость тут не утверждена специфически. Только когда неизменное-в-себе и изменчивое-в-себе, т.е. бытие и становление, числа и действия, объединятся в одно общее диалектическое обстояние, мы тогда сможем говорить в собственном смысле об изменяемости и неизменности. Другими словами, здесь мы наталкиваемся на бытие, в котором то и другое положено, утверждено. Выражаясь математически, ставшее впервые делает возможным суждение об инвариантности.
Пусть дан тот или иной геометрический образ. Сам по себе он, конечно, неподвижен. Однако, чтобы эта неподвижность была действительно диалектически положена, необходимо, чтобы существовала такая сфера, где эта неподвижность четко противополагалась подвижности. Только тогда из взаимоопределения этих явлений мы получаем источник фиксации того и другого. Именно, пусть наш геометрический образ как-нибудь меняется, испытывает преобразования. Если при этом нечто остается в нем неизменным и мы видим, что именно, то тогда, ясно, неизменное у нас окажется зафиксированным, диалектически утвержденным. И если раньше этот момент был неподвижен в себе, то теперь он уже неподвижен в себе и для себя, что стало возможным только потому, что он предварительно оказался неподвижным для иного. Пусть, например, мы заметили, что при любых увеличениях и уменьшениях радиуса окружности отношение самой окружности к диаметру остается неизменным. Стало быть, это есть некоторый инвариант. Пусть мы имеем два полинома с двумя переменными, и пусть эти последние потерпели некоторое преобразование. Как бы мы ни меняли в этом смысле наши полиномы, оказывается, что, произведя соответствующие вычисления, мы найдем, что некоторая функция коэффициентов наших полиномов остается совершенно неизменной. Она, стало быть, инвариант. И т.д.
И вот спрашивается: если категория ставшего приводит нас к понятию инвариантности, то не имеет ли ближайшее отношение к этому последнему и теория детерминантов и матриц, которая тоже ведь возникла на диалектической категории ставшего?
b) Пожалуй, несколько удивляет то обстоятельство, что теория инвариантов сравнительно слабо связана с детерминантами и матрицами или что, по крайней мере, эта связь не выдвигается на подобающее место. Нужно прямо сказать, что с диалектической точки зрения связь инвариантов с детерминантами и матрицами самая непосредственная, как бы математики ни сводили эту связь на удобство вычислительных схем. Если не входить в подробности, изложенные выше, а взять самый общий признак детерминанта, то ведь это есть совмещение двух слоев – количественно-смыслового и фактически полагающего. Но как раз это совмещение и обусловливает собою указанную выше категорию инвариантности. Самое суждение об инвариантности делается возможным только в то мгновение, когда смысл, перешедший в становление и фактическое осуществление, вдруг остановился и, перейдя в ставшее, в факт, превратился в ту устойчивость, на фоне которой стало доступно судить об изменяющихся моментах. Детерминант и матрица суть именно такие диалектические формы с двойным накладыванием; в них определенное число или система чисел даны как осуществленные при помощи системы чисел, т.е. уже в самом их понятии заложена некоторая инвариантность: неизменное число, являющееся детерминантом, осуществлено в результате некоей процедуры комбинирования чисел, являясь неизменным среди изменчивого. Но тут, в детерминанте и матрице, это отношение неизменного и изменяемого дано только в категориальном виде, т.е. в фиксированном, в застывшем виде, так что изменяемые элементы даны здесь не в процессе своего изменения, но в устойчивом результате этого изменения.
Отсюда само собой делается понятным то, что инвариантная значимость детерминанта и матрицы выяснится только тогда, когда мы заставим их функционировать в какой-нибудь иноприродной среде и посмотрим, как меняется структура и числовое значение этих математических образований в зависимости от воздействия этой среды.
Два-три примера из этой области будут нелишними.
a) Популярнее всего здесь учение о т.н. линейной зависимости и линейном преобразовании. Линейная зависимость есть не что иное, как обобщение понятия о пропорциональности. Линейным же преобразованием с n переменными называется преобразование такого типа:
x1′ = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn
x2′ = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn
…
xn′ = an1x1 + an2x2 + … + anmxn
Эти (x1, … xn) мы можем понимать, во-первых, как разные измерения n-мерного пространства, так что указанное преобразование будет говорить о переходе одного вектора данного пространства в другой вектор того же пространства. Эти же переменные, далее, можно понимать как координаты точки того же пространства n измерений, так что наше преобразование есть переход от одной точки к другой. Можно, в-третьих, считать, что переменные являются компонентами одного и того же вектора при разной системе координат. Тогда наше преобразование есть преобразование самих координат.
Спросим себя: каково то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы m систем с n постоянными находились между собою в линейной зависимости. Оказывается, что в случае когда m ≤ n, то m систем с n постоянными только тогда линейно зависимы, когда все определители m-го порядка матрицы
||x11 x12 … x1n||
||x21 x22 … x2n||
…
||xm1 xm2 … xmn||
равны нулю. Мы не будем отвлекаться доказательством этой теоремы, как оно ни просто, но отметим этот удивительный факт, который, к сожалению, всегда понимается слишком количественно и, так сказать, вычислительно: матрица со своими детерминантами явилась здесь некоторым инвариантом, потому что эти (x1, … xn) могли ведь иметь какое угодно значение, но раз составленные из них системы линейно зависимы, то определенная комбинация их всегда равна нулю. Опуская случай m > n (так как здесь системы будут всегда линейно зависимы), укажем на то, что линейная зависимость имеет и вполне реальный количественный смысл, так что указанное матричное условие определяет собою и некоторые геометрические инварианты. Напр., две точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они совпадают; три точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они лежат на одной прямой; четыре точки – если они лежат на одной плоскости; пять и более точек всегда линейно зависимы. Везде тут будут иметь значение указанная матрица и ее детерминанты.
